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安徽合肥市第八中学2025-2026学年第二学期强化训练一高三数学试卷
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A．4 B． C． D．
3．若平面向量两两夹角相等，且，则（ ）
A． B．36 C．或6 D．3或36
4．已知函数，且，，，则，，的大小关系为（）
A． B．
C． D．
5．已知直线与圆交于两点，若成等差数列，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，内角所对的边分别为，若，则面积的最大值为（ ）
A．3 B． C． D．
7．在三棱锥中，底面为正三角形，平面 ，若四点都在球的表面上，则点到平面的距离为（ ）
A．5 B． C． D．
8．已知为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积， 若 ，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．连续投掷一枚均匀的骰子3次，记3次掷出点数之积为，掷出点数之和为，则（ ）
A．事件“为奇数”发生的概率
B．事件“”和事件“”相等
C．事件“”发生的概率为
D．事件“”和事件“”独立
10．已知函数，则（ ）
A．，使得为单调函数
B．，的图象恒有对称中心
C．当时，
D．若，，是方程的三个不同的根，则
11．在棱长为的正方体中，点 是侧面（含边界）上的动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点，使得
B．若 平面 ，则点的轨迹长度为
C．若所成的角为，则点P的轨迹长度为
D．若以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为．
三、填空题
12．已知随机变量，a、b是正实数，满足，则的最小值为______.
13．设，则__________．（用含的式子表示）
14．如图，已知过抛物线（）的焦点的直线与抛物线交于两点，过点A作抛物线的准线的垂线，垂足为，抛物线的准线与轴交于点，为坐标原点，记，，分别为，，的面积.若，则直线的斜率为______.
四、解答题
15．设是各项都为正数的递增数列，已知，且满足关系式.
(1)求及数列的通项公式；
(2)令，求数列的前项积.
16．如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，分别为的中点，平面平面．
(1)求证：；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)若截面与交于点，且，求的值．
17．现有8张大小质地完全相同的卡片，其中4张是红色，4张是蓝色.从中随机摸出3张卡片放入一个不透明的袋子中，记袋子中红色卡片的张数为，然后进行如下操作：从袋子中随机摸出一张卡片（每张卡片被摸到的概率相等），观察其颜色后，将该卡片放在袋外，再从袋外取一张另一种颜色的卡片放入袋中（即若摸出红色卡片，则放回蓝色卡片；若摸出蓝色卡片，则放回红色卡片），袋子中始终保持3张卡片．记经过次这样的操作后，袋子中红色卡片的张数为．
(1)求；
(2)当时，求随机变量的分布列和数学期望；
(3)求随机变量的数学期望．
18．已知椭圆的长轴长为4，焦距为，过点的直线与椭圆交于，两点，过点作轴，交椭圆于另一点（异于点，）.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：直线过定点，并求点的坐标；
(3)求面积的取值范围.
19．已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时.
（ⅰ）求曲线的斜率为e的切线方程；
（ⅱ）当时，，证明：
参考答案
1．D
2．B
3．C
4．B
5．C
6．A
7．C
8．D
9．AC
10．ABD
11．AD
12．
13．
14．
15．（1）由已知，
令代入得，即，解得或（舍去），
令代入得，即，解得或（舍去），
已知是各项都为正数的递增数列，且，故从第二项开始每一项都大于1，故，
对式子两边开根号得，
即，整理得，故：，
又，故数列是首项为1，公差为1的等差数列，
故，所以
（2）因为
所以
故
16．（1）为中点，.
又平面平面，且交线为平面，
平面，而平面，平面，
；
为中点，则有；
；
（2）如图以为坐标原点，过作直线与平行，以分别为轴建立空间直角坐标系，
，
则，.
.
设平面的一个法向量为，
则有，令，可得.
，设平面的一个法向量为，
则有，可取，
，
平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.
（3），
.
．
.
17．（1）依题意，.
（2）当时，若摸出红色卡片，则的值为1，若摸出蓝色卡片，则的值为3，
所以，，
所以的分布列为
1 3
数学期望为.
（3）的取值为0，1，2，3．
，，
，．
的取值为0，1，2，3．
，
，
，
，
所以随机变量的数学期望为.
18．（1）由题意得，，则，，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）
由题意可得直线的斜率存在且不为0，
设直线的方程为，，，则，
联立得，，，
，则直线：
整理，
所以直线恒过，.
（3）
，
点到直线的距离，
，
令，则，
令，则，
在上单调递增，所以，
所以面积的取值范围为.
19．（1）由题意可知：函数的定义域为，且，
当时，，可知在上单调递减；
当时，由解得；由解得；
可知在上单调递增，在上单调递减；
当时，由解得；由解得；
可知在上单调递减，在上单调递增；
综上，当时在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）当时，，
（i）设曲线在点处的切线斜率为e，
则，显然，
令，
当时，，
可知在上单调递增，且，
可知的根为1，所以，
且，所以切线方程为；
（ⅱ）设，
令，
当时，则，可得；
当时，则，可得；
可知对任意恒成立，所以，当且仅当时，等号成立，
由（1）可知：在上单调递增，在上单调递减，
当时，，且，
可知，
令，则，
且，则，且，可得，
要证，只需要证，
即证，即证明，
令，则，
令，则，
当时，；当时，；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，即，
可知在内单调递增，则，即成立，
综上所述：

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