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内蒙古巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年第二学期下学期4月诊断考试高一数学
一、单选题
1．下列各选项中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．从棱长为4的正方体中截去到正方体顶点B的距离小于或等于4的部分后，得到几何体，则的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4．一只运动队有男队员42人，女队员56人，按照性别分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，则男运动员应抽取的人数为（ ）
A．18 B．16 C．14 D．12
5．一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1、2；红球有两个，编号为3，4．从盒中不放回的依次取出两个球，表示事件“第一次取出的是红球”，表示事件“取出的两球同色”，表示事件“取出的两球不同色”，则下列说法正确的是（ ）
A．与互斥 B．与互斥 C． D．
6．已知点，，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．若是夹角为的两个单位向量，则和的夹角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
8．在中，，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列关于复数的结论正确的是（ ）
A．的虚部是 B．
C． D．方程的根是
10．关于球的下列说法正确的有（ ）
A．若球的体积为，则球表面积也为
B．若球的半径变为原来的2倍，则球体积变为原来的4倍
C．若一平面截球截得一半径为2的圆面且到此截面的距离为1，则球的表面积为
D．若一正方体的八个顶点都在球的球面上，则球的体积与正方体的体积之比为
11．某人利用运动手表记录了某月每天的运动时长（单位：h），统计结果如下表所示：
运动时长 0.5 1 1.5 2 2.5 3
天数 2 3 10 9 2 4
则下列结论正确的是（ ）
A．该人该月运动时长的极差为8h B．该人该月运动时长的中位数为1.75h
C．该人该月运动时长的平均数为1.8h D．该人该月运动时长的方差小于1
三、填空题
12．设是虚数单位，若复数为纯虚数，那么实________.
13．已知向量满足，且，则__________.
14．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，在该圆锥内有一个体积为的球，则该球的体积的最大值是___________．
四、解答题
15．在中，角的对边分别为．已知，．
(1)求的值；
(2)求的值．
16．宜春明月山是国家森林公园、省级风景名胜区．为更好地提升旅游品质，随机选择100名游客对景区进行满意度评分（满分100分），根据评分，制成如图所示的频率分布直方图．

(1)根据频率分布直方图，求x的值；
(2)若采用按比例分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取3人，再从这3人中随机抽取2人进行交流，求选取的2人评分分别在和内的概率．
17．已知向量，满足，向量的夹角为．
(1)求的值；
(2)求向量与的夹角的余弦值．
18．如图，在中，为的中点，且．
(1)求；
(2)若，求．
19．（1）已知向量满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，求实数的取值范围；
（2）如图，半圆的直径为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，求的最小值．
参考答案
1．C
2．D
3．D
4．D
5．D
6．B
7．A
8．D
9．BD
10．ACD
11．BCD
12．1
13．
14．
15．（1）由，得到，
又，则，所以，显然，
所以，又，则.
（2）由余弦定理，又，，
所以，整理得到，解得，
所以的值为.
16．（1）由频率分布直方图中各小矩形面积和为1，可得，
解得；
（2）因为评分在，的频率分别为0.05，0.1，所以在中抽取（人），设为a，
在中抽取（人），设为B，C．
记事件A表示从这3人中随机抽取2人进行交流，选取的2人评分分别在和内．
从这3人中随机抽取2人，则有，，，共3个样本点，
选取的2人评分分别在和内的有，，共2个样本点，
所以，
即选取的2人评分分别在和内的概率为.
17.（1）由题意可得，，
则；
（2）由已知，，
，
则向量与的夹角的余弦值为.
18．（1）因为为的中点，所以，
则，
即，
因为，所以，
所以，即．
（2）不妨令，则，设，则．
在中，由余弦定理得，
即．①
在中，由余弦定理得，即．②
①②联立，解得，
所以．
19．（1）由题意：
，
又，
由题意，解得，
又当时，即时，与共线，
所以与的夹角为钝角时，实数的取值范围为；
（2）由题意：由为圆心，得，所以，
则，
由，，
所以，
即，当且仅当时，等号成立，
所以，
即的最小值为.

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