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内蒙古巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年第二学期4月诊断考试高二数学
一、单选题
1．已知直线与直线，则两条直线的交点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知空间向量，若，则（ ）
A． B． C． D．6
3．如图，在空间中平移到，连接对应顶点．设，，，是的中点，则用向量，，表示为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列满足，，则数列的前12项和为（ ）
A．108 B．28 C．62 D．80
5．记为正项等比数列的前项和，已知，则该数列的公比为（ ）
A．4 B． C．1 D．2
6．已知，则m，n，p（ ）
A．成等差，但不成等比 B．成等比，但不成等差
C．既成等差，又成等比 D．既不成等差，又不成等比
7．某文创社有5款徽章设计稿，4款钥匙扣设计稿，现从中随机选3款设计稿制作成品，则被选中的设计稿中恰有2款徽章设计稿的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．已知甲箱中有3个白乒乓球和4个黄色乒乓球，乙箱中有4个白乒乓球和3个黄色乒乓球.先从甲箱中随机取出1球放入乙箱中，以，分别表示由甲箱中取出的是白球和黄球，再从乙箱中随机取出1球，以表示从乙箱中取出的是白球，则下列结论错误的是（ ）
A．，互斥 B． C． D．
二、多选题
9．已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）．
A． B．
C．是平面的一个法向量 D．
10．记数列的前项和为，若，且，则（ ）
A． B．是等差数列
C． D．
11．已知圆，圆，动圆与圆外切于点，与圆内切于点．记圆心的轨迹为曲线，若曲线与轴的交点为，曲线上任意一点（与不重合）关于轴的对称点为，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程为
B．的最小值为
C．
D．直线与直线斜率的乘积为
三、填空题
12．在公比不等于1的等比数列中，其前项和为，若，则公比_________.
13．设随机变量的概率分布为，k＝1、2、3、4、5，则______．
14．已知某品牌袋装白砂糖的质量指标服从正态分布，则顾客甲随意买一包这种袋装白砂糖，其质量指标满足的概率为________．
附：若，则，，．
四、解答题
15．已知焦距为10的椭圆C：过点.
(1)求椭圆C的标准方程和离心率；
(2)若点P在椭圆C上，，分别为椭圆C的左、右焦点，且，求外接圆的方程.
16．在数列中，，.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)求数列的前项和公式.
17．已知双曲线C：的离心率为，且经过点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)求双曲线C的左顶点到渐近线的距离．
18．如图，在直三棱柱中，，是棱上一点（不包含端点），是的中点．
(1)若是的中点，求证：平面；
(2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的长．
19．为解决当下人口老龄化以及生育率连年下降等问题，我国于2025年7月28日印发了《育儿补贴制度实施方案》．某地为响应国家号召，制订了两套方案以减缓部分家庭由抚养造成的生活压力．两套方案的执行策略如表：
单个家庭生育婴儿数 1 2 3
补贴方案 每月补助300元，共补贴3年 每月补助1100元，共补贴3年 每月补助2600元，共补贴3年
补贴方案 每月补助1000元，共补贴3年
通过人口普查，可近似估计该地单个家庭生育婴儿的数量与概率如表：
单个家庭生育婴儿数 0 1 2 3
概率
由于单个家庭生育四个婴儿及以上的概率过低，可认为此事件为小概率事件，故只需考虑单个家庭生育婴儿总数在的情况．
(1)若采用补贴方案，随机选取一家庭，若该家庭的补助不低于1100元／月，求该家庭共生育2个婴儿的概率；
(2)试从均值的角度讨论哪套补贴方案的补助额更高；
(3)若采用补贴方案的概率为，采用补贴方案的概率为，记单个家庭每月收到的补助额为，求的分布列与期望．
参考答案
1．B
2．A
3．A
4．D
5．D
6．A
7．A
8．C
9．BCD
10．ABD
11．BD
12．
13．/0.1
14．0.8186
15．（1）由题意：.
所以椭圆的标准方程为，其离心率为.
（2）如图：

因为点在椭圆上，所以，又，
所以，，又，
因为，所以为直角三角形.
所以外接圆是以为圆心，5为半径的圆，
其方程为.
16．（1），又，
数列是以为首项，为公比的等比数列.
（2）由（1）得：，.
（3）由（2）得：.
17．（1）因为双曲线C：的离心率为，且经过点，
所以，解得：，
所以双曲线C的方程为．
（2）双曲线C：的左顶点为，渐近线方程为，
所以双曲线C的左顶点到渐近线的距离为．
18．（1）证明：取的中点，连接，则．
又在直三棱柱中，，所以．
因为为的中点，所以，
所以四边形为平行四边形，所以．
又平面，平面，所以平面．
（2）由题知两两垂直，以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，如图所示，
．
设平面的一个法向量为，则
取，则，所以．
设，直线与平面所成角为，
则，
解得或（舍去），所以，
即直线与平面所成角的正弦值为时，的长为．
19．（1）记事件“补贴方案中，一家庭的补助不低于1100元/月”，事件“一家庭共生育2个婴儿”，
则，
所以选取的该家庭的补助不低于1100元/月条件下该家庭共生育2个婴儿的概率为；
（2）设采用补贴方案每月获得的补助额为，则，
故由题可得，
采用补贴方案每月获得的补助额为，则，
因为，所以方案B的补助额更高；
（3）由题可得，
且，，
，，
，
所以的分布列为
X 0 300 1000 1100 2600
P
所以的期望为.

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