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八年级数学下学期期中模拟试卷
范围：新教材人教版八下19~21章（二次根式+勾股定理+平行四边形）
考试时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．
根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式求解即可．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得．
故选：D．
2．如图，正五边形的边，的延长线交于点．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：在五边形中，，
∴．
3．以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（ ）
A．，，． B．2，3，4 C．5，12，13 D．8，13，17
【答案】C
【详解】解：A．由，则不能组成直角三角形，不符合题意；
B．由则2，3，4不能组成直角三角形，不符合题意；
C．由，则5，12，13能组成直角三角形，符合题意；
D．由，则8，13，17不能组成直角三角形，不符合题意．
故选：C．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：A、不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意；
故选：D．
5．下列关于的叙述，正确的是（ ）
A．若，则是菱形 B．若，则是矩形
C．若，则是矩形 D．若，则是菱形
【答案】C
【分析】本题考查特殊平行四边形的判定，只需根据矩形、菱形的判定定理逐一判断选项即可.
【详解】解：∵已知四边形是平行四边形，
对于选项A：∵，可得，∴有一个内角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，故A错误；
对于选项B：∵，∴对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形，故B错误；
对于选项C：∵，∴对角线相等的平行四边形是矩形，因此是矩形，故C正确；
对于选项D：若，无法推出平行四边形的邻边相等，也不能得到特殊平行四边形的判定条件，无法判定为菱形，故D错误．
6．如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）
A． B．4 C．7 D．14
【答案】A
【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解．
【详解】解：∵四边形为菱形，且周长为28，
∴，
∵H为边的中点，
∴．
7．实数满足，则以为边长的直角三角形的第三边长为（ ）
A． B． C．或 D．4
【答案】C
【分析】先利用非负数的性质求出的值，再分情况结合勾股定理计算第三边长，注意分类讨论避免漏解．
【详解】解：∵绝对值和算术平方根都是非负数，且满足，
∴，，
解得，，
分两种情况讨论：
① 当为直角三角形的斜边长时
由勾股定理得，第三边长为；
② 当第三边长为直角三角形的斜边长时
由勾股定理得，第三边长为；
综上，第三边长为或．
8．如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接，
由作图步骤可知，是的平分线，
，
在和中，，
，
，
在中，，，
，
，
设，则，
由勾股定理得，，
解得，即．
9．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（ ）．
A．16 B．30 C．48 D．60
【答案】C
【分析】本题考查与直角三角形有关的图形的面积问题，熟练掌握勾股定理，找到规律是解题的关键：把图②中各个小正方形标上字母，设正方形的边长为，正方形的边长为，根据勾股定理，得到，得到正方形的面积+正方形的面积，进而得到图①中所有正方形的面积和，依次类推，每一次操作后，所有正方形的面积和都比前一次操作增加4，进行求解即可．
【详解】解：如图，把图②中各个小正方形标上字母，设正方形的边长为，正方形的边长为．
正方形的面积为，正方形的面积为．
由题意得：正方形的边长为2，并且是直角三角形的斜边．
正方形的面积为4．
根据勾股定理可得：．
∴正方形的面积+正方形的面积；
图①中所有正方形的面积和．
同理可得：正方形的面积＋正方形的面积正方形的面积，正方形的面积＋正方形的面积正方形的面积，
正方形的面积＋正方形的面积＋正方形的面积＋正方形的面积正方形的面积＋正方形的面积．
图②中所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和．
即一次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和．
同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4．
次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和．
次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和．
故选C
10．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．现有如下3个结论：；；五边形的周长是44，其中正确的个数为（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【详解】解：由折叠可知：，，，
，
在和中，，
，
，
，故正确；
，
，
由折叠可得，，
，故正确；
正方形边长是12，
，
设，则，，
由勾股定理得：，
即：，
解得：，
，，，
五边形的周长是：，故正确；
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若和都是最简二次根式，则__．
【答案】
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，二元一次方程组的应用，代数式求值，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义得到，解得，代入计算即可．
【详解】解：和都是最简二次根式，
，
解得，
，
故答案为：．
12．如图，已知的周长为，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是____________．
【答案】6
【详解】解：∵的周长为，
∴，
由题意可得：点在的垂直平分线上，
∴，
∴的周长．
13．已知，则整数n的值为________．
【答案】4
【分析】根据，对进行估值即可解答．
【详解】解：
∵，即，
∴，
∵，
∴．
14．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是___________ °．
【答案】120
【详解】解：连接，由题意得，
∵菱形的边长，
∴，平分，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：120．
15．如图是一个长、宽、高分别为、、（即，，）的无盖长方体木箱，在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从点爬到点所经过的最短路程是_____．（木板的厚度忽略不计，结果保留根号）
【答案】
【分析】本题考查了长方体的侧面展开图，勾股定理与最短路径问题，解题的关键是将长方体展开，利用两点之间线段最短找到最短路径．
先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程，再由勾股定理求解．
【详解】解：先将长方体的侧面和侧面展开，再作点C关于的对称点N，连接交于点M，则，
所以，
根据两点之间线段最短可知，当三点共线时，的值最小，即的值最小，此时就是蚂蚁爬行的路线，线段的长即为最短路程，
在中，，根据勾股定理得，
故答案为：．
16．如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．若，，，则__________________．
【答案】
【详解】如图所示，连接，
点和点关于直线对称，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
由勾股定理得，
，
．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分）
17．计算：
(1)；
(2)．
【分析】本题考查了算术平方根、负整数指数幂、零指数幂、二次根式的混合运算以及平方差公式的应用，熟练掌握实数的运算法则和运算顺序是解答本题的关键．
（1）分别根据算术平方根的定义、负整数指数幂的运算法则、零指数幂的运算法则对各项进行化简，再进行加减运算；
（2）先根据二次根式的除法法则、平方差公式对各项进行化简，再合并同类二次根式．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式．
18．如图，在中，，分别是边，的中点，连接并延长到点，使，连接、、．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若,求四边形的面积.
【分析】（1）由是的中点可得，再由可得到四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得证；
（2）根据勾股定理求出，利用三角形中位线定理求出，再由菱形的性质进行计算即可．
【详解】（1）证明：是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
为的中点，，
，
四边形是菱形；
（2）解： ，，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
∵分别是边，的中点，
∴
∴，
∴菱形的面积.
19．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；；
【类比归纳】
（1）填空： ， ．
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ．
【拓展提升】
（3）化简：（请写出化简过程）．
【分析】（1）根据题目所给的方法将根号下的数凑成完全平方的形式进行计算；
（2）根据题目给的a，b与m、n的关系式，用一样的方法列式算出结果；
（3）将写成，8写成，就可以凑成完全平方的形式进行计算．
【详解】（1）解：；
；
（2）解：
；
（3）解：
．
20．（1）如图1，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C为格点（即正方形的顶点）．求证：为等腰直角三角形．
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D为格点．请仅用无刻度的直尺在直线上求作一点P，使得，简单说明理由．
（3）如图3，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D为格点．请仅用无刻度的直尺在直线AB上求作一点Q，使得最小，简单说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理证明，即可得到结论；
（2）取格点F，连接交于点P，连接，由垂直平分得到，则，由即可得到结论；
（3）取格点N，连接，由证明垂直平分，则点N、C关于轴对称，连接交于点Q，连接，则，即可证明结论成立．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴为等腰直角三角形．
（2）如图，取格点F，连接交于点P，连接，则点P即为所求，
∵垂直平分，
∴
∴，
∵
∴；
（3）如图，点Q即为所求，
取格点N，连接，
∵
∴垂直平分，
∴点N、C关于轴对称，
连接交于点Q ，连接，则，
则为最小．
21．如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行．
(1)请问“远方”号沿哪个方向航行？
(2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？
【详解】（1）解：由题知，海里，海里，，，
，
，
是直角三角形，且，
，
即“远方”号沿东南方向航行．
（2）解：根据题意得：海里，海里，
在中，，
∴海里，
即此时“前行”号与“远方”号的距离是25海里．
22．如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为6，，求的长．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，．
，，
．
又，
．
在中，，
．
在和中，
．
（2）解：正方形的边长为6，，，
．
连接，
∴．
，
，
解得．
由（1）得，
．
23．如图，在中，，，点，在对角线上，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时点从点出发以相同速度向点运动，到点时运动停止，运动时间为秒．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求为何值时，四边形为矩形．
【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时点从点出发以相同速度向点运动，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：当或时，四边形为矩形，
理由：要使四边形为矩形，只需要，
当点在的下方时，如图所示，
，
此时四边形为矩形，，
，
，
当点在的上方时，如图所示，
，
此时四边形为矩形，，，
，
，
综上所述：或时，四边形为矩形．
24．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上．
(1)填空：点的坐标为 ， 度．
(2)连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．
①如图2，当时，求的长度；
②求证：四边形是菱形．
【详解】（1）解：∵点，的坐标分别是和，
∴，．
∵°，
∴，
∵以线段为边向右侧作菱形，
∴，，
∴，．
∴．
故答案为：，．
（2）①解：当时，点在上时，作交于，如图，
由（1）可知，，，，
∴， ，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
②证明：连接，设交于点，如图所示，
由（1）可知，四边形是菱形，，，，
∵四边形是菱形，，
∴，，
∴， ，
∴．
∵，
，
∴，
∴．
在和中，，
∴，
∴，．
∵，，
∴四边形是平行四边形，．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．中小学教育资源及组卷应用平台
八年级数学下学期期中模拟试卷
范围：新教材人教版八下19~21章（二次根式+勾股定理+平行四边形）
考试时间：120分钟 总分：120分
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正五边形的边，的延长线交于点．则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（ ）
A．，，． B．2，3，4 C．5，12，13 D．8，13，17
4．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列关于的叙述，正确的是（ ）
A．若，则是菱形 B．若，则是矩形
C．若，则是矩形 D．若，则是菱形
6．如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（ ）
A． B．4 C．7 D．14
7．实数满足，则以为边长的直角三角形的第三边长为（ ）
A． B． C．或 D．4
8．如图，在矩形中，，，以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心、大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，则的长为（ ）
A．4 B．5 C． D．
9．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（ ）．
A．16 B．30 C．48 D．60
10．如图，已知正方形的边长为12，，将正方形的边沿折叠到，延长交于，连接．现有如下3个结论：；；五边形的周长是44，其中正确的个数为（ ）

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若和都是最简二次根式，则__．
12．如图，已知的周长为，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的周长是____________．
13．已知，则整数n的值为________．
14．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成的，根据实际需要可以调节A、E间的距离．若A、E间的距离调节到，菱形的边长，则的度数是___________ °．
15．如图是一个长、宽、高分别为、、（即，，）的无盖长方体木箱，在箱外的点处有一只蚂蚁，箱内的点处有一滴蜂蜜，则蚂蚁从点爬到点所经过的最短路程是_____．（木板的厚度忽略不计，结果保留根号）
16．如图，在中，，，点，，分别在边，，上，连接，，，已知点和点关于直线对称．若，，，则__________________．
三、解答题（本大题共8个小题，共72分）
17．计算：
(1)；
(2)．
18．如图，在中，，分别是边，的中点，连接并延长到点，使，连接、、．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若,求四边形的面积.
19．【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如：；；
【类比归纳】
（1）填空： ， ．
（2）进一步研究发现：形如的化简，只要我们找到两个正数，使，即，那么便有： ．
【拓展提升】
（3）化简：（请写出化简过程）．
20．（1）如图1，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C为格点（即正方形的顶点）．求证：为等腰直角三角形．
（2）如图2，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D为格点．请仅用无刻度的直尺在直线上求作一点P，使得，简单说明理由．
（3）如图3，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D为格点．请仅用无刻度的直尺在直线AB上求作一点Q，使得最小，简单说明理由．
21．如图，某海监局P位于东西方向的海岸线上．“前行”号与“远方”号轮船同时离开海监局P，各自沿一固定方向航行，“前行”号每小时航行16海里，“远方”号每小时航行的速度是“前行”号速度的，它们离开海监局航行半小时后分别位于处，且相距10海里．已知“前行”号沿西南方向航行．
(1)请问“远方”号沿哪个方向航行？
(2)若“前行”号继续沿原方向航行一个小时到达点M，“远方”号继续沿原方向航行1海里到达点G，则此时“前行”号与“远方”号的距离是多少海里？
22．如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G．
(1)求证：；
(2)若正方形的边长为6，，求的长．
23．如图，在中，，，点，在对角线上，点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，同时点从点出发以相同速度向点运动，到点时运动停止，运动时间为秒．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)求为何值时，四边形为矩形．
24．如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上．
(1)填空：点的坐标为 ， 度．
(2)连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．
①如图2，当时，求的长度；
②求证：四边形是菱形．

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