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江西吉安市五所县二中 2024-2025 学年下学期高一第二次联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1．已知复数 ，则下列说法正确的是（ ）
A．复数 的虚部是 B．
C． D．在复平面内，复数 对应的点在第二象限
2．如图， 是水平放置的 的直观图，则 的周长为（ ）
A． B．
C． D．
3．若关于 x的方程 在 有两个不等实根，则实数 m的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，则下列四个命题中错误的命题
是（ ）
A．在 中，若 ，则
B．若 ， ， ，则 有唯一解
C．若 ，则 是等腰三角形或直角三角形
D．若 ，则角
5．若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
7．在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 ，且当 时，
的最小值为 1，则 （ ）
A． B． C． D．
8．下列四个命题中，正确的是（ ）
试卷第 1页，共 3页
①若 、 ，则 .
②若 ，则 .
③若 ， ，且 ，则 与 的夹角为
④已知向量 ， 不共线， ， ， ，则 三点共线
A． B． C． D．
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9．下列说法正确的有（ ）
A．
B．
C．若 ， ，则
D．若 ， ，则
10．如图，为边长为 2的等边三角形，以 AC的中点 O为圆心，1为半径作一个半圆，点 P
为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． 的最小值为 2
D．若 ，则当 B，O，P三点共线时，
11．已知锐角 ，角 A，B，C所对应的边分别为 a，b，c，下列命题正确的是（ ）
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B． ，则 是等腰三角形
C．若 ，则 的取值范围
D．若 ，则 的取值范围是
三．填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12．已知一扇形的半径为 ，周长为 ，则该扇形的圆心角为______rad．
13．已知向量 ， 为单位向量，且 在 上的投影向量为 ，则 ______．
14．设 的内角 所对的边分别为 .若 ，
则角 __________
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四．解答题：本题共 5 小题，15 题 13 分，16、17 题各 15 分，18、19 题各 17 分，共 77 分，
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．设 ，已知 ， 是平面内两个不共线的向量， ， ，
，且 ， ， 三点共线.(1)求 的值；(2)若 ， ，①求向
量 与 的夹角的余弦值；②已知点 的坐标为 ，若四边形 为平行四边形，
求点 的坐标.
16．已知 .
（I）化简 ；（II）若 ，且 是第二象限角，求 的值.
17．已知 ， ，函数 .
(1)求函数 的解析式及周期 ；(2)若 ，且 ，求 的值.
(3)角 、 、 分别为 、 、 三边所对的角，若 ， ，求 周长的最
大值.
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18．已知斜三角形 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ；且
．
（1）求角 ；（2）若 的面积为 ，周长为 15，求 的值．
19．已知函数 ， 的定义域分别为 ， ，若对任意的 ，总存在 ，
使得 成立，则称 为 的“可归零函数”.已知函数
，
(1)若函数 ，判断 能否为 的“可归零函数”？并说明理由；
(2)若函数 ， ，且 是 的“可归零函数”，证明： ；
(3)当 时，若函数 ， ，且 是 的“可归
零函数”，求实数 的取值范围
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联考数学答案与解析
一、单选题
1．B 对于选项 A，虚部不带 ，是与虚数单位 相乘的实数部分，因此复数 的虚部
是 ，知 A错误；对于选项 B， ，知 B正确；对于选项 C，
，知 C错误；对于选项 D，在复平面内，复数
对应的点为 在第四象限，知 D错误.故选 B.
2．B 如图，根据斜二测画法得到 为直角三角形，两直角边长分别为 4和 6，所以斜
边长为 ，则 的周长为 ．故选 B．
3．C ，
方程 在 有两个不等实根，即 与
的图象有两个交点，因为 ，所以 ，所以
，要使方程
在 有两个不等实根，如下图，即则 .故选 C.
4．D 对于选项 A，在 中，由正弦定理知 ，结合大边对大角可得
，故命题正确，知 A不符合题意；对于选项 B，因为 ， ， ，由正弦
定理 ，得 ，由 知， 只有一解，
所以 有一个解，故命题正确，知 B不符合题意；对于选项 C，因为 ，
由正弦定理得： ，则 ，因为 ，可知 或
，即 或 ，所以 是等腰三角形或直角三角形，故命题正确，
知 C不符合题意；对于选项 D，因为 ，由余弦定理得：
，即 ，因为 ，所以 或 ，故命题错误，D
符合题意.故选 D.
5．D 由题意可得 ，解得 ，显然
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， ，
于是 .故选 D.
6．C 因为 ，所以 ，
，
故 .故选 C.
7．A 在 中，由 ，所以 ，则 ，
设 ，所以 ，所以 的最小
值为点 到直线 的距离，因为 的最小值为 1，所以
.故选 A.
8．A 对命题①:当 时，零向量与任意向量平行，此时 、 ，但 与 不一定平
行，知①错误；对命题②:对等式两边平方得 ，
，
若 ，则 ，因此 ，即 ，知②正确；对命题③:
两边同时平方得： ，代入 ， 得
，计算得 ,又 ，故 ，知③错
误；对命题④: ，即 ，
又二者有公共点 ，故 三点共线，知④正确.故选 A.
二、多选题
9．BCD 对于 A，
，
已知 ， ， ，代入可得：
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，知 A错误；对于 B，由于
，由辅助角公式可得 ，知 B正确；对于 C，已知
，则 ，由于 ，根据同角三角函数基本公式
可得 ，又因为 ，根据两角和
的余弦公式，可得
，
知 C正确；对于 D，已知 ，根据正切公式 ，可得
，又因为 ，
所以 ，根据两角和的正弦公式，可得：
，知 D正确.综上,故选 BCD.
10．ACD 对于 A， ，知 A正确；
对于 B，由 A知， ，
，知B错误；
对于 C，以 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则 , ,设
，
所以 ，当 时， 的最小值为 2，知 C正确；
对于 D，当 三点共线时， , ，所以
，
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又因为 ，所以 ，所以 ，所
以 ，知 D正确.综上,故选 ACD.
11．BC 对于选项 A,由 ，得 ，因 为锐角三角形，故
，
而 在 上单调递增，所以 ，所以 ，必要性成立，知选项
A错误；对于选项 B，由 ，由正弦定理得
，
因为 为锐角三角形，故 ，故 ，故得 ，即
，所以 ， ，因为 ，所以
，故 或 ；当 时， ，此时 为直
角三角形，不合要求舍去，由 ，则 是等腰三角形，知选项 B正确；
对于选项 C，若 ，由余弦定理得 ，则 ，又
，故 ，则 ，由正弦定理得 ，故 ，
即 ，因为 ，故
，即 ，
为锐角三角形，故 ， ，则 ，
，因为 ，所以 ，解得 ，由
得 ，解得 ，又 ，综上， ，其中 在
上单调递减，故 ，知选项 C正确；对于选项 D， ，
由选项 C知， ，故 ，因为
，所以 ，由对勾函数性质， 在 上单调递减，
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当 时， ，当 时， ，所以 ，
知选项 D错误.故选 BC.
三、填空题
12．3 设扇形的弧长为 ，则扇形的周长为 ，所以 ，所以扇形的圆心角
.故填 3.
13. 由题意得 ,故 , ，
故 .故答案为 .
14． 由 ，得到
，
即 ，由正弦定理化简得到 ，
由余弦定理 ，因 为 ，知.故填 .
四、解答题
15．(1) ；(2)① ；② .
解：（1）由已知得 ，又 ，因为 三点共线，所
以 ，即 .
（2）由已知得 ；
.
②由平行四边形得 ，又 ，所以 ，解得 ，即
16．（I） ；（II） .
解：（I）原式 .
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（II）若 ，且 是第二象限角，所以 ，
所以 ， ，
所以 .
17．(1) ， ；(2) ；(3) .
解：（1）化简 .
周期 .
（2）由 可知， ，化简得
，
， ， ，
故 .
（3）由 可得 ，即 ，又 ，则
，则 ，所以 .由余弦定理知：
， 当且仅当 时“ ”成立，
此时 为等边三角形，又 ,所以 的周长的最大值为 .
18．（1） ；（2） 或 .
解：（1）∵ ，∴ ，
即 ，得 .∵ ，∴ ，∴
.又 ，∴ .
（2）由题可知 ,∴ .由余弦定理得 ，
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由 ，可得 ，∴ ，解得 .
∴ ，结合 ，可解得 或 ，所以 或 .
由正弦定理可得 或 .
19．(1)不能；(2)证明见解析；(3) .
解:(1)不能，理由如下，因为 ，所以 ，当 时，
， ，故 ；因为 ，定义域
为 ，值域为 ，对于任意的 ， ，要使 ，
即 成立，则 ，这与已知 矛盾，所以不存在 ，
使得 成立，故 不能称为 的“可归零函数”.
(2)因 ，而二次项系数 ，则二次函数 图象开口
向上,对称轴为 ,所以 在 上单调递增, ,则 ；
因为 是 的“可归零函数”，所以对任意的 ，总存在 ，使得
，即 成立，所以 ，由 ，
解得 ，又因 ，所以 ；因为 ，所以 ，
要使 值域包含 ，则 ，解得 ；因为 ， ，所以
；因此 得证.
(3)当 时, , ,则 , ，
所以 的值域为 ，则 的值域为 ，
，
因为 是 ， “可归零函数”，所以对任意
，都有 ，即 恒成立，
所以 在 上恒成立，即 在
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上恒成立，当 时，显然不成立；当 时，令 ，则 ，此
时 恒成立，等价于 恒成立 ①，
且 恒成立 ②，由①得 ，解得 ，所以
，由②得 恒成立，因为 ，所以 恒成立，所以
；
综上，实数 的取值范围为 .
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