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河南洛阳市第一高级中学英才部2025-2026学年高二下学期4月月考
数学试卷
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A． B．1 C．2 D．3
2．函数的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图像在点处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．函数在上不单调，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．设m为正整数，(x＋y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，(x＋y)2m＋1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m＝
A．5 B．6 C．7 D．8
7．将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种 B．120种 C．240种 D．480种
8．若点是曲线上任意一点，则点到直线距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．函数的图象在点处的切线平行于直线，则点的坐标可以为（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则下列说法中正确的有（ ）
A．的展开式中不含的项
B．的展开式中的常数项为84
C．的展开式中的二项式系数最大的项是第四项和第五项
D．的展开式中的各项系数之和与二项式系数之和相等
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数只有两个极值点
B．方程有且只有两个实根，则的取值范围为
C．方程共有4个根
D．若，，则的最大值为2
三、填空题
12．4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列个数有_________种．
13．的展开式中的系数为________________（用数字作答）．
14．函数恰有两个极值点，则的取值范围是__________．
四、解答题
15．已知的展开式的二项式系数和比的展开式的二项式系数和大992.求的展开式中，
(1)二项式系数最大的项；
(2)系数的绝对值最大的项.
16．设函数=[]．
（1）若曲线在点（1，）处的切线与轴平行，求；
（2）若在处取得极小值，求的取值范围．
17．已知.
(1)求；
(2)求；
(3)求.
18．已知函数．
(1)求曲线在点处的切线方程；
(2)设，讨论函数在上的单调性；
(3)证明：对任意的，有．
19．已知函数.
(1)当时，求证：；
(2)若对于恒成立，求的取值范围；
(3)若存在，使得，求证：.
参考答案
1．C
2．C
3．D
4．B
5．C
6．B
7．C
8．C
9．AC
10．BD
11．ACD
12．288
13．-28
14．
15．（1）令，则的系数和为，而的二项式系数和为，
由题设，，可得，则，解得，
所以的展开式通项为，
要使二项式系数最大即，则.
（2）要使系数的绝对值最大，即最大，则，可得，
所以，又，即，故系数的绝对值最大的项为.
16．解：（Ⅰ）因为=[]，
所以f ′（x）=［2ax–（4a+1）］ex+［ax2–（4a+1）x+4a+3］ex（x∈R）
=［ax2–（2a+1）x+2］ex．
f ′(1)=(1–a)e．
由题设知f ′(1)=0，即(1–a)e=0，解得a=1．
此时f (1)=3e≠0．
所以a的值为1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．
若a>，则当x∈(，2)时，f ′(x)<0；
当x∈(2，+∞)时，f ′(x)>0．
所以f (x)<0在x=2处取得极小值．
若a≤，则当x∈(0，2)时，x–2<0，ax–1≤x–1<0，
所以f ′(x)>0．
所以2不是f (x)的极小值点．
综上可知，a的取值范围是（，+∞）．
17．（1）在展开式中，含的项为，
所以.
（2）令，
当时，，当时，，
所以.
（3）
.
因为，所以，
故
18．（1）解：因为，所以，
即切点坐标为，
又，
∴切线斜率
∴切线方程为：
（2）解：因为，
所以，
令，
则，
∴在上单调递增，
∴
∴在上恒成立，
∴在上单调递增.
（3）解：原不等式等价于，
令，，
即证，
∵，
，
由（2）知在上单调递增，
∴，
∴
∴在上单调递增，又因为，
∴，所以命题得证.
19．（1）由，得.
要证，只需证.
令，则.
当时，，则单调递减，
当时，，则单调递增，
所以，故，
因此.
（2）
令，则
①当时，由，得，
因此，满足题意.
②当时，由，得，
因此，则在上单调递增.
若，则，
则在上单调递增，
所以，满足题意；
若，则，
因此在存在唯一的零点，且，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，不合题意.
综上，的取值范围为.
（3）由（2）知，设，
则在上单调递减，在上单调递增，
注意到，
故在上存在唯一的零点.
注意到，且在上单调递增.
要证明，只需证，
因为，所以只需证，
即证.
因为，即，
所以，只需证，
只需证（*）
由（1）得，
因此，
设，
则，所以在上单调递增，
所以，
从而，即，因此（*）得证，
从而.

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