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(共53张PPT)
专题十二 二次函数中的存在性问题
二次函数综合题是中考重要考查题型，通常放在压轴题考查，二次
函数有关知识是初高中数学紧密衔接部分，在初中代数中有着举足轻重
的地位，是中等学生和优秀学生的分界点．常考的内容有函数的性质、
求解析式、存在性问题、函数与几何等．常用的数学思想方法有数形结
合思想、化归思想、分类讨论思想、转化思想等．在众多考点中，存在
性问题作为考查重点从未缺席，解决存在性问题主要分三步：
(1)根据条件画出符合题意的草图；
(2)根据条件建立等量关系，用方程的思想来解决常见几何图形存
在性问题；
(3)存在性问题一般都会对分类讨论思想进行考查，思考过程中要
仔细全面．
1． (广东中考)已知二次函数y＝x2－2mx＋m2－1.
(1)当二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)时，求二次函数的
解析式．
解：(1)∵二次函数的图象经过坐标原点O(0，0)，
∴代入二次函数y＝x2－2mx＋m2－1，得m2－1＝0.
解得m＝±1.
∴二次函数的解析式为y＝x2－2x或y＝x2＋2x.
(2)如图，当m＝2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求
C，D两点的坐标．
(2)把m＝2代入二次函数y＝x2－2mx＋m2－1，得
y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1.
∴抛物线的顶点坐标为D(2，－1)．
当x＝0时，y＝3.∴点C的坐标为(0，3)．
∴点C的坐标为(0，3)，点D的坐标为(2，－1)．
(3)在(2)的条件下，x轴上是否存在一点P，使得PC＋PD最短？若
点P存在，求出点P的坐标；若点P不存在，请说明理由．
(3)当P，C，D三点共线时，PC＋PD最短．
如图，过点D作DE⊥y轴于点E，则PO∥DE.
∴△COP∽△CED． ∴ ＝ .
∵C(0，3)，D(2，－1)，
∴CO＝3，DE＝2，CE＝3－(－1)＝4.
∴ ＝ .∴PO＝ .
∴当PC＋PD最短时，点P的坐标为(，0).
2． 一题多问如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于点A，
B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C(0，3)．
(1)如图1，过点A与抛物线顶点M的直线交y轴于点D． 若点N是
抛物线上一动点，在对称轴上是否存在点G，使得以点D，M，N，G
为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点G的
坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴M(1，4)．
令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0.解得x1＝－1，x2＝3.
∴A(－1，0)，B(3，0)．设直线AM的解析式为y＝kx＋d(k≠0)，
则 解得
∴直线AM的解析式为y＝2x＋2.当x＝0时，y＝2，
∴D(0，2)．设N(m，－m2＋2m＋3)．
∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴G(1，n)．
当DM为对角线时，DM，NG的中点重
合．∴ 解得 ∴G(1，3)．
当DN为对角线时，DN，MG的中点重
合．∴ 解得 ∴G(1，1)．
当DG为对角线时，DG，NM的中点重
合．∴ 解得 ∴G(1，5)．
综上所述，点G的坐标为(1，3)或(1，1)或(1，5)．
(2)如图2，连接AC，在抛物线的对称轴上是否存在点G，使
△ACG为等腰三角形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明
理由．
解：存在．由(1)知，抛物线的对称轴为直线x＝1，
设点G(1，n)．
由(1)知，A(－1，0)，B(3，0)．
∵C(0，3)，∴由勾股定理，得AC2＝10，
AG2＝4＋n2，CG2＝1＋(n－3)2.
∵△ACG为等腰三角形，当AC＝AG时，则10＝4＋n2.解得n＝
± .∴G(1， )或G(1，- ).当AC＝CG时，则10＝1＋(n－3)2.解
得n1＝0，n2＝6(此时点A，C，G在一条线上，舍去)．
∴G(1，0)．当AG＝CG时，则4＋n2＝1＋(n－3)2.解得n＝
1.∴G(1，1)．
综上所述，点G的坐标为(1， )或(1，- )或(1，0)或(1，1)．
(3)如图3，连接AC，若点G为抛物线对称轴上的一个动点，点H
为平面内一点，是否存在点H，使以点A，C，G，H为顶点的四边形
为菱形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．分AC＝AG，AC＝CG，AG＝CG三种情况．
设H(xH，yH)．由(2)知，当AC＝AG时，G(1， )或G(1，-
).
由菱形对角线互相平分，得AH，CG的中点重合．
∴ 或
解得
∴H(2，3+ )或H(2，3- ).
同理，当AC＝CG时，G(1，0)，H(0，－3)．
当AG＝CG时，G(1，1)，H(－2，2)．
综上所述，点H的坐标为(2，3+ )或(2，3- )或(0，－3)或(－
2，2)．
【方法解读】
1． 二次函数中平行四边形的存在性问题：
代数法：(1)先把平行四边形4个顶点的坐标用未知数表示出来．
(2)求点：①由平行四边形对角线互相平分和中点坐标公式求顶点
坐标；②通过点的平移，构造全等三角形求点坐标．
【拓展】几何法：找边平移
分情况讨论：①当DM为平行四边形的边；②当DM为平行四边
形的对角线．根据平行四边形一组对边平行且相等通过平移边确定
点的位置．
2． 二次函数中等腰三角形的存在性问题：
代数法：(1)先把等腰三角形3个顶点的坐标用未知数表示出来．
(2)求点：由等腰三角形两腰相等(这里要分类讨论哪2条边是腰)和
线段长坐标公式求顶点坐标．
【拓展】几何法：两圆一线
①当AC＝AG，以点A为圆心，AC长为半径画圆，与对称轴交于
点G；②当AC＝CG，以点C为圆心，AC长为半径画圆，与对称轴交
于点G；③当AG＝CG，作AC的垂直平分线，与对称轴交于点G.
3． 二次函数中菱形的存在性问题：
点H为任意一点，所以优先求点A，C，G三个顶点，要使以点
A，C，G，H为顶点的四边形是菱形，分情况讨论：①当CG为对角
线时，AC＝AG；②当AG为对角线时，AC＝CG；③当AC为对角线
时，AG＝CG.
同等腰三角形的存在性的计算方法，利用两邻边相等求得第三个顶
点的坐标，再由平移或中点坐标公式可得菱形的第四个顶点的坐标．
(4)如图4，抛物线的顶点为点M，连接BC，在直线BC上是否存在
点P，使以点P，A，M为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出
点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：存在．由(1)知，M(1，4)，A(－1，0)，B(3，0)．
由B(3，0)，C(0，3)，易得直线BC的解析式为y＝－x＋3.
设P(p，－p＋3)．
则PA2＝(p＋1)2＋(－p＋3－0)2＝2p2－4p＋10，
AM2＝(－1－1)2＋(0－4)2＝20，
PM2＝(p－1)2＋(－p＋3－4)2＝2p2＋2.
当∠PAM＝90°时，PA2＋AM2＝PM2.
∴2p2－4p＋10＋20＝2p2＋2.解得p＝7.∴P(7，－4)．
当∠AMP＝90°时，PM2＋AM2＝PA2.
∴2p2＋2＋20＝2p2－4p＋10.解得p＝－3.∴P(－3，6)．
当∠APM＝90°时，PA2＋PM2＝AM2.
∴2p2－4p＋10＋2p2＋2＝20.解得p1＝－1，p2＝2.
∴P(－1，4)或(2，1)．
综上所述，点P的坐标为(7，－4)或(－3，6)或(－1，4)或(2，1)．
(5)如图5，抛物线的顶点为点M，连接BC，若点P为直线BC上的
一个动点，点H为平面内一点，是否存在点H，使以点P，A，M，H
为顶点的四边形为矩形？若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明
理由．
解：存在．分PA⊥AM，AM⊥MP，PA⊥MP三种情况，即
∠PAM＝90°，∠AMP＝90°，∠APM＝90°三种情况．
设H(xH，yH)．
由(4)知，当∠PAM＝90°时，P(7，－4)．
由矩形对角线互相平分，得AH，PM的中点重合．
∴ 解得 ∴H(9，0)．
同理，当∠AMP＝90°时，P(－3，6)，H(－5，2)．
当∠APM＝90°时，P(－1，4)，H(1，0)或P(2，1)，H(－2，
3).
综上所述，点H的坐标为(9，0)或(－5，2)或(1，0)或(－2，3).
4． 二次函数中直角三角形的存在性问题：
代数法：(1)画图：两线一圆
①当∠PAM＝90°，过点A作AM的垂线交BC于点P；②当
∠AMP＝90°，过点M作AM的垂线交BC于点P；③当∠APM＝
90°，以AM为直径作圆，交BC于点P.
(2)先把直角三角形3个顶点的坐标用未知数表示出来．
(3)求点：由直角三角形勾股定理(这里要分类讨论哪条边是斜边)和
线段长坐标公式求顶点坐标．
【拓展】几何法：以∠PAM＝90°为例，先画出满足条件的点
P(如图)，利用一线三垂直可得△ANM∽△PQA即可求解．
5． 二次函数中矩形的存在性问题：
点H为任意一点，所以优先求点P，A，M三个顶点，要使以点
P，A，M，H为顶点的四边形是矩形，分情况讨论：①当PA⊥AM
时，∠PAM＝90°；②当AM⊥MP时，∠AMP＝90°；③当
PA⊥MP时，∠APM＝90°.
同直角三角形的存在性的计算方法，利用勾股定理或相似求得
第三个顶点的坐标，再由平移或中点坐标公式可得矩形的第四个顶
点的坐标．
(6)如图6，连接BC，抛物线上有一动点N，且点N在第一象限，
连接NB，若∠NBC＝15°，求点N的坐标．
解：∵OB＝OC＝3，∴∠CBO＝∠BCO＝45°.
又∠NBC＝15°且点N在第一象限，
∴∠OBN＝60°.
如图6，过点N作NP⊥x轴于点P.
设N(m，－m2＋2m＋3)，易得P(m，0)．
∴PB＝3－m.
在Rt△BPN中，∠PBN＝60°.∴tan 60°＝ ＝ ＝ .
∴m1＝3(舍去)，m2＝ －1.
将m＝ －1代入y＝－x2＋2x＋3中，得y＝－(-1)2＋2(-1)＋3＝
－3＋4 .∴点N的坐标为(-1，-3+4 ).
(7)如图7，抛物线的顶点为点M，连接AC，BC，BM，CM，在
x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCM相
似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：由(1)，得A(－1，0)，B(3，0)，M(1，4)．
∵C(0，3)，∴易求得CM＝ ，CB＝ ，BM＝2 .
∴CM2＋CB2＝BM2.∴∠MCB＝90°.
∵A(－1，0)，C(0，3)，∴OA＝1，OC＝3.
∴ ＝ ＝ .∴ ＝ .
又∠AOC＝∠MCB＝90°，∴△COA∽△BCM.
∴当点Q1与点O重合，即点Q1的坐标为(0，0)时，
△CQ1A∽△BCM.
如图7，过点C作CQ2⊥AC，交x轴于点Q2.∴△ACQ2为直角三
角形．
∵CO⊥AQ2，∴∠ACQ2＝∠AOC．
又∠CAQ2＝∠OAC，∴△Q2CA∽△COA．
又△COA∽△BCM，∴△Q2CA∽△BCM.
∴ ＝ ，即 ＝ .解得Q2A＝10.∴Q2(9，0)．
综上所述，当点Q的坐标为(0，0)或(9，0)时，以A，C，Q为顶
点的三角形与△BCM相似．
6． 二次函数中的角度问题：
(1)角度相等：常与线段的平行或特殊三角形结合，最终将角度问
题转化为线段问题；
(2)角度固定值：常见的角度有15°，30°，45°，60°，90°，
常放在特殊三角形中，利用三角形三边关系或三角函数求解；
(3)角度的倍数关系：利用三角形的内外角关系和等腰三角形的性
质求解．
7． 二次函数中相似三角形的存在性问题：
(1)找等角：其中直角三角形找对应的直角，一般三角形中会存在
隐含的等角；
(2)表示边长：直接或间接设出所求的点的坐标，然后表示出线
段长；
(3)建立关系式并计算：对于对应关系不确定的三角形相似，需要
按照等角的两边分别对应成比例列比例式，分情况讨论，然后进行计算
求解．
解题技巧
存在性问题通法：
(1)一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的解析
式，设出该点的坐标；
(2)用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；
(3)结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该
点坐标是否符合题意；
(4)结合其他相关知识解题．
3． (2025青海)在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)
与x轴交于A，B两点，点B的坐标为(1，0)，点C(2，5)在抛物线上．
(1)求抛物线的解析式．
解：(1)将B(1，0)，C(2，5)代入y＝ax2＋bx－3(a≠0)，得
解得
∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.
(2)①求点A的坐标；
②当y＜0时，根据图象直接写出x的取值范围 ．
(2)令y＝0，则x2＋2x－3＝0.解得x1＝－3，x2＝1(舍去)．
∴点A的坐标为(－3，0)．
－3＜x＜1
(3)连接AC交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使△ACP是以
AC为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P
坐标，若不存在，请说明理由．
(3)存在符合条件的点P，
点P的坐标为(0，7)或(0，－3)．
提示：设点P的坐标为(0，m)．∵A(－3，0)，C(2，5)，∴AC2＝(2
＋3)2＋(5－0)2＝50，AP2＝ + ＝9＋m2，CP2＝(0－
2)2＋(m－5)2＝m2－10m＋29.∵△ACP是以AC为直角边的直角三角
形，∴分以下两种情况讨论：当AP为斜边时，则AP2＝AC2＋CP2.∴9＋
m2＝50＋m2－10m＋29.解得m＝7.∴P1(0，7)．当CP为斜边时，则CP2
＝AC2＋AP2.∴m2－10m＋29＝50＋9＋m2.解得m＝－3.∴P2(0，－
3)．综上所述，存在符合条件的点P，点P的坐标为(0，7)或(0，－3)．
4． (广东中考)如图，已知顶点为C(0，－3)的抛物线y＝ax2＋
b(a≠0)与x轴交于A，B两点，直线y＝x＋m过顶点C和点B．
(1)求m的值．
解：(1)将点C(0，－3)代入y＝x＋m，得m＝－3.
(2)求函数y＝ax2＋b(a≠0)的解析式．
(2)将y＝0代入y＝x－3，得x＝3.
∴点B的坐标为(3，0)．
将(0，－3)，(3，0)代入y＝ax2＋b中，
得
解得
∴函数y＝ax2＋b的解析式为y＝ x2－3.
(3)抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点
M的坐标；若不存在，请说明理由.
解：存在．分以下两种情况：
∵B(3，0)，C(0，－3)，
∴OB＝OC＝3，∠OBC＝∠OCB＝45°.
①如图，若点M1在点B上方，设M1C交x轴
于点D，则∠OCD＝45°－15°＝30°.
∴OD＝OC·tan 30°＝ .∴点D的坐标为
(，0)．"设直线"DC"的表达式为
y＝ 3(k1≠0)．
将(，0)代入，得k1＝ .∴y＝ x－3.联立，
得 解得 (不合题意，舍去)
∴M1(3 ，6).
②如图，若点M2在点B下方，设M2C交x轴于点E，则∠OCE＝
45°＋15°＝60°.∴OE＝OC·tan 60°＝3 .
设直线EC的表达式为y＝k2x－3(k2≠0).
将(3 ，0)代入，得k2＝ .∴y＝ x－3.联立，得
解得
(不合题意，舍去)∴M2(，-2).
综上所述，点M的坐标为(3 ，6)或(，-2).
5． (2024内江)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝－2x＋6
的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过
A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点
C，交AB于点E.
(1)求这条抛物线所对应的函数表达式．
解：(1)令y＝0，则－2x＋6＝0.解得x＝3.
令x＝0，则y＝6.∴A(3，0)，B(0，6)．
把A(3，0)，B(0，6)代入y＝－x2＋bx＋c，得
解得
∴这条抛物线所对应的函数表达式为y＝－x2＋x＋6.
(2)是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点
D的坐标；若不存在，请说明理由.
(2)存在点D，使得△BDE和△ACE相似．设点D(t，－t2＋t＋6)，则E(t，－2t＋6)，C(t，0)．∴EC＝－2t＋6，AC＝3－t，DE＝－t2＋3t.
∵△BDE和△ACE相似，∠BED＝∠AEC，∴△ACE∽△BDE或
△ACE∽△DBE.
①如图1，当△ACE∽△BDE时，∠BDE＝∠ACE＝
90°.∴BD∥AC． ∴点D的纵坐标为6.∴－t2＋t＋6＝6.解得t1＝0(舍
去)，t2＝1.∴D(1，6)．
②如图2，当△ACE∽△DBE时，∠BDE＝∠CAE.
过B作BH⊥DC于点H. ∴∠BHD＝90°.
∵点D(t，－t2＋t＋6)，∴点H(t，6)，BH＝t，DH＝－t2＋t.
∴ ＝tan ∠BDE＝tan ∠CAE＝ .∴ ＝ ＝2.
∴－2t2＋2t＝t.解得t3＝0(舍去)，t4＝ .∴D(， ).
综上所述，点D的坐标为(1，6)或(， ).
(3)点F是第一象限内抛物线上的动点(不与点D重合)，过点F作x
轴的垂线交AB于点G，连接DF，当四边形EGFD为菱形时，求点D
的横坐标．
(3)如图3，∵四边形EGFD为菱形，
∴DE∥FG，DE＝FG，DE＝EG.
设点D(m，－m2＋m＋6)，E(m，－2m＋6)，F(n，－n2＋n＋6)，G(n，－2n＋6)．∴DE＝－m2＋3m，FG＝－n2＋3n.∴－m2＋3m＝－n2＋3n，即(m－n)(m＋n－3)＝0.
∵m－n≠0，∴m＋n－3＝0，即n＝3－m.∵A(3，0)，B(0，6)，∴AO＝3，BO＝6.∴AB＝ ＝3 .
过点G作GK⊥DE于点K，∴KG∥AC． ∴∠EGK＝∠BAC． ∴ ＝ cos ∠EGK＝ cos ∠BAC＝ ，即 ＝ .∴EG＝ (n－m)＝ (3－2m)．
∵DE＝EG，∴－m2＋3m＝ (3－2m)．
∴m2－(3+2 )m＋3 ＝0.
解得m1＝ (不合题意，舍去)，
m2＝ .∴m＝ .
∴点D的横坐标为 .(共34张PPT)
专题十 一次函数与反比例函数综合
函数是初中代数三大板块中重要的部分，是中考考查的热点和重难
点．一次函数与反比例函数综合是常考题型，考查的内容主要有：求解
析式、求交点坐标、比较函数值的大小、存在性问题等，用到的数学思
想主要有：数形结合思想、方程思想、化归思想等．
1． 反比例函数y＝ 与一次函数y＝2x＋1的图象有一个交点B(－
2，m)，则k的值为 ．
6
2． (2025贵州)如图，一次函数y＝x(x≥0)与反比例函数y＝ (x＞
0)的图象交于点C，过反比例函数图象上点A作x轴垂线，垂足为点
D，交y＝x的图象于点B，点A的横坐标为1.有以下结论：①线段AB
的长为8；②点C的坐标为(3，3)；③当x＞3时，一次函数的值小于反
比例函数的值．其中结论正确的个数是 （　C　）
C
A． 0
B． 1
C． 2
D． 3
3． (2024长春)如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，点
A(4，2)在函数y＝ (k>0，x>0)的图象上．将直线OA沿y轴向上平
移，平移后的直线与y轴交于点B，与函数y＝ (k>0，x>0)的图象交
于点C． 若BC＝ ，则点B的坐标是 （　B　）
A． (0， )
B． (0，3)
C． (0，4)
D． (0，2 )
B
4． (2024枣庄)列表法、表达式法、图象法是三种表示函数的方
法，它们从不同角度反映了自变量与函数值之间的对应关系．下表是函
数y＝2x＋b与y＝ 部分自变量与函数值的对应关系：
(1)求a，b的值，并补全表格；
解：(1)当x＝－ 时，2x＋b＝a，即－7＋b＝a.
当x＝a时，2x＋b＝1，即2a＋b＝1.
∴ 解得
(2)结合表格，当y＝2x＋b的图象在y＝ 的图象上方时，直接写
出x的取值范围．
x - a 1
2x＋b a 1 7
-2 - 7
(2)当y＝2x＋b的图象在y＝ 的图象上方时，x的取值范围为－
＜x＜0或x＞1.
5． (2025广元)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx
＋2的图象分别与x轴，y轴交于点A，点C，与反比例函数y＝ (x＜
0)的图象交于点B(－2，3)．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
解：(1)∵一次函数y＝kx＋2的图象与反比例函数y＝ (x＜0)的图
象交于点B(－2，3)，
∴3＝－2k＋2，3＝ .∴k＝－ ，m＝－6.
∴一次函数的表达式为y＝－ x＋2，
反比例函数的表达式为y＝ (x＜0)．
(2)点D(－6，n)是反比例函数y＝ 图象上一点，连接BD，CD，
求△BCD的面积；
(2)∵一次函数y＝－ x＋2的图象分别与x轴、y轴交于点A，点
C，∴A(4，0)，C(0，2)．
∵点D(－6，n)是反比例函数y＝ 图象上一点，∴n＝ ＝
1.∴D(－6，1)．
设直线BD的表达式为y＝ax＋b(a≠0)．
∴ 解得
∴直线BD的表达式为y＝ x＋4.
如图，延长DB交y轴于点E. 当x＝0时，y＝4.∴E(0，
4)．∴S△BCD＝S△ECD－S△BCE＝ (4－2)×6－ ×(4－2)×2＝4.
(3)点P在y轴上，满足△PAB是以AB为斜边的直角三角形，请直
接写出点P的坐标．
(3)所有符合条件的点P的坐标为(0， )或(0， ).
提示：由题意，得PA2＋PB2＝AB2.设P(0，t)．∵A(4，0)，B(－2，3)，∴PA2＝t2＋16，PB2＝(t－3)2＋4，AB2＝(－2－4)2＋(3－0)2＝45.∴t2＋16＋(t－3)2＋4＝45.整理，得t2－3t－8＝0.解得t1＝， ＝.∴所有符合条件的点P的坐标为(0，)或(0，).
6． (2024眉山)如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx
＋b与反比例函数y＝ (x>0)的图象交于点A(1，6)，B(n，2)，与x
轴，y轴分别交于C，D两点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
解：(1)∵一次函数y＝kx＋b与反比例函数
y＝ (x＞0)的图象交于点A(1，6)，B(n，2)，
∴ ＝6.∴m＝6.∴反比例函数的表达式为y＝ .
把B(n，2)代入y＝ ，得2＝ .∴n＝3.∴B(3，2)．
把A(1，6)，B(3，2)代入y＝kx＋b，得 解得
∴一次函数的表达式为y＝－2x＋8.
(2)若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请求出点P的坐标；
(2)如图，作点A关于y轴的对称点G，连接GB交y轴于点P，此时，△PAB的周长最小．
∵点A(1，6)，∴G(－1，6)．设直线BG的表达式为y＝dx＋c(d≠0)．∴ 解得
∴直线BG的表达式为y＝－x＋5.当x＝0时，y＝5.∴点P的坐标为
(0，5)．
(3)将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F
两点，当EF＝ AB时，求a的值．
(3)∵将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，
F两点，∴直线EF的表达式为y＝－2x＋8－a.
∴E(，0)，F(0，8－a)．
∵EF＝ AB，∴ ＝ × .
解得a1＝6，a2＝10.∴a的值为6或10.
7． 一题多解(2025广东)定义：把某线段一分为二的点，当整体线
段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比，这个点
称为中外比点．
(1)如图1，点P是线段MN的中外比点，MP＞PN，MN＝2，求
PN的长．
解：(1)由中外比的定义，
得 ＝ ，即MP2＝MN·PN.
设PN的长为x，则MP＝MN－PN＝2－x.∴(2－x)2＝2x.
解得x1＝3－ ， ＝3+ (舍去)．
∴PN的长为3－ .
(2)如图2，用无刻度的直尺和圆规求作一点C把线段AB分为中外
比．(保留作图痕迹，不写作法)
(2)如答图1，点C为所求．
(3)如图3，动点B在第一象限内，反比例函数y＝ (k＞0，x＞0)的
图象分别与矩形OABC的边AB，BC相交于点D，E，与对角线OB相
交于点F. 当△ODE是等腰直角三角形时，探究点D，E，F是否分别
为AB，BC，OB的中外比点，并证明．
(3)点D，E，F分别是AB，BC，OB的中外比点．证明如下：
①当∠OED＝90°，ED＝OE时，设点E的坐标为(m，n)，则
OC＝n，CE＝m.
∵ED＝OE，∠OED＝90°，∴∠CEO＋∠BED＝90°.
∵∠BDE＋∠BED＝90°，∴∠CEO＝∠BDE.
在△COE和△BED中，
∴△COE≌△BED(AAS)．
∴BD＝CE＝m，BE＝CO＝n，m＜n.∴B(m＋n，n)，A(m＋
n，0)，D(m＋n，n－m)．
又∵点E，D在反比例函数y＝ 的图象上，∴k＝mn＝(m＋n)(n－m)．
∴mn＝n2－m2.∴mn＋m2＝n2，m2＝n2－mn.整理，得 ＝
， ＝ .
又∵ ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，∴ ＝ ， ＝
，即点E，D分别是BC，AB的中外比点．
设点F(t， )(t＞0)，则FH＝ ，OH＝t.
∴AB∥FH. ∴△HFO∽△ABO.
∴ ＝ ，即 ＝ .
∴t2＝m2＋mn.
如答图2，过点F作FH⊥AO于点H，则∠BAO＝∠FHO＝90°.
又∵mn＝n2－m2，∴t2＝m2＋n2－m2＝n2.
∴t＝n.∴F(n，m)．∴OH＝n.
∵OA＝m＋n，∴AH＝m.∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ .∴ ＝ ，即点F是OB的中外比点．
②当∠ODE＝90°，OD＝ED时，点D，E，F分别为AB，
BC，OB的中外比点，同理可证．
③当∠EOD＝90°，则点E，D分别位于y轴，x轴上，与点D，
E在反比例函数图象上不符，因此这种情况不存在．
综上所述，当△ODE是等腰直角三角形时，点D，E，F分别为AB，BC，OB的中外比点．
8． (2024广东)【问题背景】
如图1，在平面直角坐标系中，点B，D是直线y＝ax(a>0)上第一
象限内的两个动点(OD>OB)，以线段BD为对角线作矩形ABCD，
AD∥x轴．反比例函数y＝ 的图象经过点A．
【构建联系】
(1)求证：函数y＝ 的图象必经过点C．
(1)证明：设B(m，am)，则A(m， ).
∵AD∥x轴，∴点D的纵坐标为 .
∴将y＝ 代入y＝ax中，得 ＝ax.
解得x＝ .∴D(， ).∴C(，am).
∴将x＝ 代入y＝ 中，得y＝am.
∴函数y＝ 的图象必经过点C．
(2)如图2，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E. 当点E落
在y轴上，且点B的坐标为(1，2)时，求k的值．
(2)解：∵点B(1，2)在直线y＝ax上，
∴a＝2.∴y＝2x.
∴点A的横坐标为1，点C的纵坐标为2.
∵函数y＝ 的图象经过点A，C，
∴A(1，k)，C(，2).∴D(，k).∴DC＝k－2.
∵把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为点E，∴BE＝BC＝
－1，∠BED＝∠BCD＝90°.∴ ＝ ＝2＝ .
如答图1，过点D作DH⊥y轴，过点B作BF⊥y轴．
∵AD∥x轴，∴点H，A，D三点共线．
∵∠HED＋∠BEF＝90°，∠BEF＋∠EBF＝90°.
∴∠HED＝∠EBF. ∵∠DHE＝∠EFB＝90°.
∴△DHE∽△EFB．
∴ ＝ ＝ ＝2.
∵BF＝1，DH＝ ，∴EH＝2，EF＝ .∴HF＝EH＋EF＝2＋ .
由图知HF＝DC． ∴2＋ ＝k－2.∴k＝ .
【深入探究】
(3)如图3，把矩形ABCD沿BD折叠，点C的对应点为E. 当点E，
A重合时，连接AC交BD于点P. 以点O为圆心，AC长为半径作⊙O.
若OP＝3 ，当⊙O与△ABC的边有交点时，求k的取值范围．
(3)解：由折叠，得AC⊥BD．
∵四边形ABCD为矩形，
∴四边形ABCD为正方形．
∴∠ABP＝∠DBC＝∠ADB＝45°.
∴AB＝BC＝CD＝DA＝ ＝ AP，AP＝PC＝
AC． ∵AD∥x轴，∴直线y＝ax为第一、三象限的夹角平分线．∴y＝x.当⊙O过点B时，如答图2，过点D作DH1∥x轴交y轴于点H1.∵AD∥x
轴，∴H1，A，D三点共线．
∵以点O为圆心，AC长为半径作⊙O，OP＝3 ，∴OP＝OB＋
BP＝AC＋BP＝2AP＋AP＝3AP＝3 .∴AP＝ .∴AB＝AD＝
＝ 2，BD＝2AP＝2 ， AC＝2AP＝
2 .∵AB∥y轴，∴△DH1O∽△DAB．
∴ ＝ ＝ .∴ ＝ ＝ .
∴H1O＝H1D＝4.∴H1A＝H1D－AD＝4－2＝2.
∴A(2，4)．∴k＝2×4＝8.
当⊙O过点A时，根据A，C关于直线OD对称，得⊙O必过点C．
如答图3，连接AO，CO，过点D作DH2∥x轴交y轴于点H2.
∵AO＝OC＝AC，∴△AOC为等边三角形．
∵OP⊥AC，∴∠AOP＝ ×60°＝30°.
∴AP＝tan 30°·OP＝ ×3 ＝ ＝PD，
AC＝BD＝2AP＝2 .
∴AB＝AD＝ ＝ AP＝ ，OD＝OP+ .
∵AB∥y轴，∴△DH2O∽△DAB． ∴ ＝ ＝ .∴ ＝ ＝ .∴H2O＝H2D＝3＋ .∴H2A＝H2D－AD＝3＋ -2 ＝3- .∴A(3- ，3+ ).∴k＝(3- )×(3+ )＝6.
∴当⊙O与△ABC的边有交点时，
k的取值范围为6≤k≤8.(共32张PPT)
专题十一 二次函数最值问题
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的最值
自变量x x为全体实数 x1≤x≤x2
结论 a＞0 a＜0 - 在此范围内 － 不在此范围内
结
论 当x＝－
时，y
最小＝ 当x＝
－
时，y最
大＝
当a>0时，y最小＝
.y的最大值
要看－ －x1与x2
－(- )的大小：当
前者大时，y最大＝
y1；当后者大时，
y最大＝y2 当a<0时，y最大＝
.y的最小值
要看－ －x1与x2
－(- )的大小：当
前者大时，y最小＝
y1；当后者大时，
y最小＝y2 直接
利用
二次
函数
的增
减性
求最
值
一、给出函数解析式(部分含参数)，讨论函数在某个范围内的
最值．
解决此类问题时最好利用函数的图象(数形结合)求之．
1． (2024眉山)定义运算：a?b＝(a＋2b)(a－b)，例如4?3＝(4
＋2×3)(4－3)，则函数y＝(x＋1)?2的最小值为 （　B　）
A． －21
B． －9
C． －7
D． －5
B
2． (2025陕西省模拟)已知二次函数y＝－x2＋4x＋9在t≤x≤t＋2
的范围内的最大值为4，则实数t的值为 （　B　）
A． －1或5
B． －3或5
C． －1或7
D． －3或7
B
3． (2024枣庄)在平面直角坐标系xOy中，点P(2，－3)在二次
函数y＝ax2＋bx－3(a>0)的图象上，记该二次函数图象的对称轴为
直线x＝m.
(1)求m的值；
解：(1)∵点P(2，－3)在二次函数y＝ax2＋bx－3(a＞0)的图象上，
∴4a＋2b－3＝－3.解得b＝－2a.
∴抛物线为y＝ax2－2ax－3.∴抛物线的对称轴为直线x＝－ ＝
1.∴m＝1.
(2)若点Q(m，－4)在y＝ax2＋bx－3的图象上，将该二次函数的图
象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图象．当0≤x≤4时，求
新的二次函数的最大值与最小值的和；
(2)∵点Q(1，－4)在y＝ax2－2ax－3的图象上，∴a－2a－3＝－4.解得a＝1.∴抛物线为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4.
将该二次函数的图象向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为
y＝(x－1)2－4＋5＝(x－1)2＋1.
∵0≤x≤4，∴当x＝1时，函数有最小值为1.当x＝4时，函数有最大
值为(4－1)2＋1＝10.
∴新的二次函数的最大值与最小值的和为11.
(3)设y＝ax2＋bx－3的图象与x轴交点为(x1，0)，(x2，
0)(x1解：∵y＝ax2－2ax－3的图象与x轴交点为(x1，0)，(x2，0)(x1＜
x2)，∴x1＋x2＝2，x1·x2＝－ .
∴x2－x1＝ ＝ ＝2 .
∵4＜x2－x1＜6，∴4＜2 ＜6，即2＜ ＜3.解得 ＜a
＜1.
4． (2024遂宁)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴分别交
于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，－3)，P，Q为抛物线
上的两点．
(1)求二次函数的表达式；
解：(1)把A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)代入
y＝ax2＋bx＋c，得 解得
∴二次函数的表达式为y＝x2－2x－3.
(2)当P，C两点关于抛物线对称轴对称，△OPQ是以点P为直角
顶点的直角三角形时，求点Q的坐标；
(2)如图1.由y＝x2－2x－3，得抛物线的对称轴为直线x＝1.
∵P，C两点关于抛物线对称轴对称，C(0，－3)，∴P(2，－3).
设Q(n，n2－2n－3)．∵∠OPQ＝90°，∴OP2＋PQ2＝OQ2.∴[(0－2)2＋(0＋3)2]＋[(2－n)2＋(－3－n2＋2n＋3)2]＝(0－n)2＋(0－n2＋2n＋3)2.整理，得3n2－8n＋4＝0.解得n1＝ ，n2＝2(舍去)．∴n＝ .∴Q(，- ).
(3)设点P的横坐标为m，点Q的横坐标为m＋1，试探究：△OPQ
的面积S是否存在最小值，若存在，请求出最小值，若不存在，请说明
理由．
(3)存在．如图2，当点P，Q在x轴下方，且点Q在点P上方时，设点P(m，m2－2m－3)，则点Q(m＋1，m2－4)，设直线PQ交x轴于点H.
设直线PQ的表达式为y＝kx＋b(k≠0)．
把P(m，m2－2m－3)，Q(m＋1，m2－4)代入，得
解得
∴直线PQ的表达式为y＝(2m－1)x－m2－m－3.
令y＝0，得(2m－1)x－m2－m－3＝0.∴x＝ .
∴OH＝ .∴S＝S△OHP－S△OHQ＝ ·OH·(yQ－yP)＝
×()(m2－4－m2＋2m＋3)＝ (m2＋m＋3)＝ +
≥ .∴S存在最小值为 .
当点P，Q在x轴下方，且点P在点Q上方，当点P，Q都在x轴上方或者一个在x轴上方，一个在x轴下方同理可求S＝ ( + m+3)＝ + ≥ ，即S存在最小值为 .
综上所述，△OPQ的面积S存在最小值，且为 .
二、求几何图形的最值，如线段长度，图形面积等．
一般先求出关系式，再根据关系式求最值(要特别注意自变量的取
值范围)．
5． (2024扬州节选)如图，点A，B，M，E，F依次在直线l上，
点A，B固定不动，且AB＝2，分别以AB，EF为边在直线l同侧作正
方形ABCD，正方形EFGH，∠PMN＝90°，直角边MP恒过点C，直
角边MN恒过点H.
(1)若BE＝10，EF＝12，求点M与点B之间的距离；
解：(1)设BM＝x，则ME＝10－x.
∵四边形ABCD，EFGH是正方形，
∴∠ABC＝∠CBM＝90°，
∠HEF＝∠MEH＝90°，AB＝BC＝2.
∴∠CBM＝∠MEH＝90°，∠BCM＋∠CMB＝90°.
∵∠PMN＝90°，∴∠EMH＋∠CMB＝90°.∴∠BCM＝∠EMH.
∴△BCM∽△EMH. ∴ ＝ ，即 ＝ .
∴x2－10x＋24＝0.解得x1＝6，x2＝4.经检验，x＝6或x＝4是原方
程的解．∴点M与点B之间的距离为6或4.
(2)若BE＝10，当点M在点B，E之间运动时，求HE的最大值．
(2)设BM＝x，则ME＝10－x.由(1)知，△BCM∽△EMH. ∴ ＝ ，即 ＝ .∴HE＝－ +5x＝- (x－5)2＋ .
∴当BM＝5时，HE有最大值，最大值为 .
6． (2025连云港)一块直角三角形木板，它的一条直角边BC长2
m，面积为1.5 m2.
(1)甲、乙两人分别按图1、图2用它设计一个正方形桌面，请说明
哪个正方形面积较大；
解：(1)∵BC＝2 m，面积为1.5 m2，
∴AC＝ ＝1.5 (m).
∴AB＝ ＝2.5 (m)．
设正方形的边长为a m.
在图1中，∵四边形CDEF是正方形，∴DE∥CF，∠ADE＝∠C＝
90°，DE＝CD＝a，AD＝1.5－a.
∵∠A＝∠A，∴Rt△ADE∽Rt△ACB． ∴ ＝ ，即 ＝ .解得a＝ .
在图2中，∵四边形GDEF是正方形，∴DE∥GF. ∴∠CED＝∠B，∠EDC＝∠A． ∴Rt△DEC∽Rt△ABC．
∴ ＝ .∴ ＝ ＝ ，即 ＝ .
∴DC＝0.6a.
∴AD＝AC－DC＝1.5－0.6a.
∵∠A＝∠A，∠AGD＝∠C＝90°，
∴Rt△ADG∽Rt△ABC．
∴ ＝ .∴ ＝ ，即 ＝ .解得a＝ .
∵ ＞ ，∴图1的正方形面积较大．
(2)丙、丁两人分别按图3、图4用它设计一个长方形桌面．请分别
求出图3、图4中长方形的面积y(m2)与DE的长x(m)之间的函数表达
式，并分别求出面积的最大值．
(2)在图3中，∵四边形CDEF是长方形，∴DE∥CF，∠ADE＝∠C＝90°.
∵∠A＝∠A，∴Rt△ADE∽Rt△ACB． ∴ ＝ .∴ ＝ ＝
.∴AD＝ x.∴DC＝AC－AD＝ .
∴长方形的面积y＝DE·DC＝x· ＝ ＝－ (x－1)2＋ .
∵－ ＜0，∴当x＝1 m时，长方形的面积有最大值为 m2.
在图4中，同理得Rt△DEC∽Rt△ABC． ∴ ＝ .∴ ＝ ＝
.∴DC＝ x.∴AD＝AC－DC＝ - x.
同理得Rt△ADG∽Rt△ABC． ∴ ＝ .∴ ＝ ＝ .∴DG＝
AD＝ (- x).
∴长方形的面积y＝DE·DG＝x· (- x)＝ + .
∵－ ＜0，∴当x＝ m时，长方形的面积有最大值为 m2.
三、实际问题的最值，如销售利润等．
一般先求出关系式，再根据关系式求最值(要特别注意自变量的取
值范围)．
7． (2024盐城)请根据以下素材，完成探究任务．
制定加工方案
生产
背景 背景
1 ◆某民族服装厂安排70名工人加工一批夏季服装，有
“风”“雅”“正”三种样式
◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服
装2件，或“雅”服装1件，或“正”服装1件
◆要求全厂每天加工“雅”服装至少10件，“正”服装总件
数和“风”服装相等
生产
背景 背景
2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂
的获利情况为：
①“风”服装：24元/件；
②“正”服装：48元/件；
③“雅”服装：当每天加工10件时，每件获利100元；如果
每天多加工1件，那么平均每件获利将减少2元
信息整
理 现安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表
如下：
服装种类 加工人数/人 每人每天加工量/件 平均每件获利/元
风 y 2 24
雅 x 1
正 1 48
探究任
务 任务1 探寻变量关系 求x，y之间的数量关系
任务2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为w元，求w
关于x的函数表达式
任务3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案
解：任务1：根据题意，得加工“正”服装的有(70－x－y)人．
∵“正”服装总件数和“风”服装相等，∴(70－x－y)·1＝2y.整理，得
y＝－ x+ .
任务2：根据题意，得“雅”服装每天获利为x[100－2(x－10)].
又y＝－ x+ ，∴w＝2y·24＋(70－x－y)·48＋x[100－2(x－10)].
整理，得w＝(－16x＋1 120)＋(－32x＋2 240)＋(－2x2＋120x)＝
－2x2＋72x＋3 360(x＞10)．
任务3：由任务2，得w＝－2x2＋72x＋3 360＝－2(x－18)2＋4 008.
∴当x＝18时，获得最大利润，此时y＝－ ×18+ ＝ .∴x≠18.
∵－ ＜0，∴开口向下，∴取x＝17或x＝19.
当x＝17时，y＝ ，不符合题意．当x＝19时，y＝ ＝17，符
合题意．∴70－x－y＝34.
答：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工
人加工“正”服装，即可获得最大利润．

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