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(共32张PPT)
专题八 作图题
本专题主要考查初中阶段学生对基本作图的掌握情况和实践操作能
力，常考题型为①尺规作图；②网格作图；③用无刻度直尺作图；④用
三角板作图，其中，选择题、填空题、解答题均可能出现．
解答题通常会出在作图的基础上进一步计算(或证明)的题型，其中
的技巧有
(1)作中点、到两端点距离相等的点、中线、中位线要转化为作线
段的垂直平分线；
(2)作平行线要转化为作一个角等于已知角；
(3)求作高转化为过一点作已知直线的垂线．
当需要进一步求值或证明时，解题关键是熟悉基本几何图形的性
质，运用尺规作图中的结果，逐步推理、计算即可．当需要进一步探究
结论时，则先要大胆猜想，再逐步推理验证即可．
尺规作图
1． (2024辽宁)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD>AB，AD
＝a，AB＝10.以点A为圆心，AB长为半径作图，与BC相交于点E，
连接AE. 以点E为圆心，适当长为半径作弧，分别与EA，EC相交于
点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于 的长
为半径作弧，两弧在∠AEC的内部相交于点P，作射线
EP，与AD相交于点F，则FD的长为 ．
(用含a的代数式表示)
a－10
2． (2025齐齐哈尔)如图，在 ABCD中，BC＝2AB＝8，连接
AC，分别以点A，C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧交于点
E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的
中点，则AC的长为 ．
4
3． (2024达州)如图，线段AC，BD相交于点O，且AB∥CD，
AE⊥BD于点E.
(1)尺规作图：过点C作BD的垂线，垂足为点F，连接AF，CE；
(不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母)
解：(1)如图所示，CF即为所求．
(2)若AB＝CD，请判断四边形AECF的形状，并说明理由．(若前
问未完成，可画草图完成此问)
(2)四边形AECF是平行四边形．理由如下：
∵AB∥CD，∴∠B＝∠D．
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°.
又AB＝CD，∴△ABE≌△CDF(AAS)．∴AE＝CF. ∴四边形
AECF是平行四边形．
4． (2025福建)如图，矩形ABCD中，AB＜AD．
(1)求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点
F，H落在BD上；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)
解：(1)如图，正方形EFGH即为所求．
(2)若AB＝2，AD＝4，求(1)中所作的正方形的边长．
(2)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°.∴BD＝ ＝
＝2 .
∴OB＝OD＝ .
∵tan ∠ADB＝ ＝ ，∴OE＝ .
∵四边形EFGH是正方形，∴OE＝OH＝ ，EO⊥OH. ∴EH＝ OE＝ .∴正方形EFGH的边长为 .
5． (2024福建)如图，已知直线l1∥l2.
(1)在l1，l2所在的平面内求作直线l，使得l∥l1∥l2，且l与l1间的距
离恰好等于l与l2间的距离；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图
痕迹)
解：(1)如图1，直线l即为所求．
(2)在(1)的条件下，若l1与l2间的距离为2，点A，B，C分别在l，
l1，l2上，且△ABC为等腰直角三角形，求△ABC的面积．
(2)①如图2，当∠BAC＝90°，AB＝AC时，∠B＝45°.
∵l∥l1∥l2，直线l1与l2间的距离为2，且l与l1间的距离等于l与l2间的距离，
∴根据图形的对称性知，BC＝2.
∴AB＝AC＝BC· sin 45°＝ .
∴S△ABC＝ AB·AC＝1.
②当∠ABC＝90°，BA＝BC时，如图3，分别过点A，C作直线
l1的垂线，垂足为M，N. ∴∠AMB＝∠BNC＝90°.
∵l∥l1∥l2，直线l1与l2间的距离为2，且l与l1间的距离等于l与l2间的
距离，∴CN＝2，AM＝1.∵∠MAB＋∠ABM＝90°，∠NBC＋∠ABM
＝90°，∴∠MAB＝∠NBC． 又AB＝BC，
∴△AMB≌△BNC(AAS)．∴BM＝CN＝2.在Rt△ABM中，由勾股定
理，得AB2＝AM2＋BM2.∴AB＝ .
∴S△ABC＝ AB·BC＝ .
③如图4，当∠ACB＝90°，CA＝CB时，同理可得S△ABC＝ .
综上所述，△ABC的面积为1或 .
6． (2025绥化)尺规作图(温馨提示：以下作图均不写作法，但需保
留作图痕迹)
【初步尝试】如图1，用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直
线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分．
【拓展探究】如图2，若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度
的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于
点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1∶4.
解：初步尝试：如图1，直线OP即为所求．
拓展探究：如图2，弧CD即为所求．
仅用直尺作图
7． (2024吉林)图1、图2均是4×4的正方形网格，每个小正方形的
顶点称为格点．点A，B，C，D，E，O均在格点上．图1中已画出
四边形ABCD，图2中已画出以OE为半径的⊙O，只用无刻度的直尺，
在给定的网格中按要求画图．
(1)在图1中，画出四边形ABCD的一条对称轴．
解：(1)如答图1，直线EF即为所求．(答案不唯一)
(2)在图2中，画出经过点E的⊙O的切线．
解：(2)如答图2，直线GH即为所求．
8． (2025江西)如图，在6×5的正方形网格中，点A，B，C均在
格点上，请仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．(保留作图痕迹)
(1)在图1中作出BC的中点；
解：(1)如答图1，点D即为所求．
(2)在图2中作出△ABC的重心．
解：(2)如答图2，分别取BC，AC的中点D，E，连接AD，BE相
交于点O，则点O即为所求．
解题技巧
作格点线段的中点的方法
(1)用矩形对角线互相平分找格点线段的中点，如图1；
(2)用中位线的性质找格点线段的中点，如图2；
(3)用中心对称全等三角形找格点线段的中点，如图3.
9． (2024江西)如图，AC为菱形ABCD的对角线，请仅用无刻度的
直尺按要求完成以下作图．(保留作图痕迹)
(1)如图1，过点B作AC的垂线；
解：(1)如图1，BD即为所求．
(2)如图2，点E为线段AB的中点，过点B作AC的平行线．
解：(2)如图2，BM即为所求．
10． (2024武汉)如图是由小正方形组成的3×4网格，每个小正方形
的顶点叫做格点．△ABC三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给
定网格中完成四个画图任务，每个任务的画线不得超过三条．
(1)在图1中，画射线AD交BC于点D，使AD平分△ABC的面积；
解：(1)如答图1，作线段HI，使四边形HBIC是矩形，HI交BC于
点D，作射线AD，点D即为所求．
(2)在(1)的基础上，在射线AD上画点E，使∠ECB＝∠ACB；
(2)如答图2，作OP∥BC，AR⊥OP于点Q，连接CQ交AP于点
E，点E即为所求．
(3)在图2中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再
画射线AF交BC于点G；
(3)如答图3，在AC下方取点F，使AF＝CF＝ ，连接CF，连接并延长AF，AF交BC于点G，点F，G和射线AF即为所求．
(4)在(3)的基础上，将线段AB绕点G旋转180°，画对应线段MN.
(点A与点M对应，点B与点N对应)
(4)如答图4，作OP∥BC，交射线AG于点M. 作ST∥AG，交BC于
点N，连接MN，线段MN即为所求．
11． (2024天津)如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点
A，F，G均在格点上．
(1)线段AG的长为 ；
(2)点E在水平网格线上，过点A，E，F作圆，经过圆与水平网格
线的交点作切线，分别与AE，AF的延长线相交于点B，C，△ABC
中，点M在边BC上，点N在边AB上，点P在边AC上．请用无．刻．度．的
直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，P，使△MNP的周长最
短，并简要说明点M，N，P的位置是如何找到的 ．(不要求证明)
如图，根据题意，
切点为点M. 连接ME并延长，与网格线相交于点M1，取圆与网格线的
交点D和格点H，连接DH并延长，与网格线相交于点M2，连接
，分别与AB，AC相交于点N，P，则点M，N，P即为所
求
解：如图，点M，N，P即为所求．(共32张PPT)
专题九 圆的综合
切线的证明是中考常考考点，常见的题型有两类：(1)直线与圆有
公共点：连半径，证垂直；(2)不知道直线与圆是否有公共点：作垂
线，证半径．除了切线的证明外，圆的综合题常考求线段的长度、证明
线段之间的关系，证明角之间的关系等，解决这类的关键是通过弧找到
相关的角之间的关系，从而实现转化．
切线的判定
1． (证两线平行)如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直
径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC，交AC的延长
线于点E，连接BD，CD． 求证：DE是⊙O的切线．
证明：如图，连接OD．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠EAD．
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA．
∴∠ODA＝∠EAD． ∴AE∥OD．
∴∠AED＋∠EDO＝180°.
∵DE⊥AE，∴∠E＝90°.
∴∠EDO＝90°，即OD⊥DE.
∵OD是⊙O半径，∴DE是⊙O的切线．
2． (证两角的和等于直角)如图，AB是⊙O的直径，C是圆上一
点，过点C的直线CD交BA延长线于点D，且∠DCA＝∠B，求证：
CD是⊙O的切线．
证明：
如图，连接OC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠CAB＋∠B＝90°.
又OA＝OC，
∴∠CAB＝∠ACO.
∵∠DCA＝∠B，
∴∠DCO＝∠ACO＋∠DCA
＝∠CAB＋∠B＝90°，
即CD⊥OC．
∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线．
3． (证两个三角形全等)如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作
⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE∥AD交CD于点
E，连接BE. 直线BE与⊙O相切吗？并说明理由．
解：直线BE与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OD． ∵CD与⊙O相切于点D，
∴∠ODE＝90°.
∵AD∥OE，∴∠ADO＝∠DOE，∠DAO＝∠BOE.
∵OD＝OA，∴∠ADO＝∠DAO. ∴∠DOE＝∠BOE.
又OD＝OB，OE＝OE，∴△DOE≌△BOE(SAS)．∴∠OBE＝
∠ODE＝90°.
∵OB是⊙O的半径，∴直线BE与⊙O相切．
4． 一题多解(作垂线，证半径)如图，∠APO＝∠BPO，PA与⊙O
相切于点M，连接OM. 求证：PB是⊙O的切线．
法1：证明：如图，过点O作ON⊥PB于点N. ∵PA与⊙O相切于点M，∴OM⊥PA．
∵∠APO＝∠BPO，
∴PO是∠APB的平分线．∴ON＝OM.
∵OM为⊙O的半径，∴ON为⊙O的半径．
∵ON⊥PB，∴PB是⊙O的切线．
法2：证明：如图，过点O作ON⊥PB于
点N. ∵ON⊥PB，∴∠PNO＝90°.
∵PA与⊙O相切于点M，∴OM⊥PA． ∴∠PMO＝∠PNO＝90°.
∵∠APO＝∠BPO，PO＝PO，∴△PMO≌△PNO(AAS)．∴ON＝OM.
∵OM为⊙O的半径，∴ON为⊙O的半径．∵ON⊥PB，∴PB是
⊙O的切线．
圆与三角形结合
5． (2024大庆)如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB为⊙O的
直径，将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，点D在⊙O上．连接CD，
交AB于点E，延长BD，CA，两线相交于点P，过点A作⊙O的切线
交BP于点G.
(1)求证：AG∥CD；
(1)证明：∵将△ABC沿直线AB翻折到△ABD，∴AB⊥CD．
∵AB为⊙O的直径，AG是⊙O的切线，∴AG⊥AB． ∴AG∥CD．
(2)求证：PA2＝PG·PB；
(2)证明：∵AG是⊙O的切线，
∴AG⊥AB．
∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°.
∴∠ABD＝90°－∠DAB＝∠GAD．
由折叠的性质，得∠ABD＝∠ABC． ∴∠CBD＝2∠ABD．
∵四边形ADBC是⊙O的内接四边形，∴∠PAD＝180°－∠CAD＝
∠DBC＝2∠ABD．
∴∠PAG＝∠PAD－∠GAD＝2∠ABD－∠ABD＝∠ABD．
又∠APG＝∠BPA，∴△APG∽△BPA． ∴ ＝ ，即PA2＝
PG·PB．
(3)若 sin ∠APD＝ ，PG＝6.求tan ∠AGB的值．
(3)解：∵ sin ∠APD＝ ＝ ，
∴设AD＝a，则AP＝3a.
∴PD＝ ＝2 a.
∴tan ∠APD＝ ＝ ＝ .
由折叠的性质，得AC＝AD＝a.∴PC＝PA＋AC＝3a＋a＝4a.
∵在Rt△PCB中，tan ∠CPB＝ ＝ ，∴BD＝CB＝ ＝ a.
∵AD⊥BD，GA⊥AB，∴∠AGB＝90°－∠GAD＝∠DAB． ∴tan
∠AGB＝tan ∠DAB＝ ＝ ＝ .
6． (广东中考)如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，
弦BD＝BA，AB＝12，BC＝5，BE⊥DC交DC的延长线于点E.
(1)求证：∠BCA＝∠BAD；
(1)证明：∵BD＝BA，∴∠BDA＝∠BAD．
∵∠BCA＝∠BDA，∴∠BCA＝∠BAD．
(2)求DE的长；
(2)解：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝5，∴CA＝ ＝ ＝13.
∵∠BDE＝∠CAB，∠BED＝∠ABC＝90°，∴△BED∽△CBA．
∴ ＝ ，即 ＝ .解得DE＝ .
(3)求证：BE是⊙O的切线．
(3)证明：如图，连接OB，OD．
在△ABO和△DBO中，
∵AB＝DB，BO＝BO，OA＝OD，
∴△ABO≌△DBO(SSS)．∴∠ABO＝∠DBO.
∵∠ABO＝∠OAB＝∠BDC，∴∠DBO＝∠BDC． ∴OB∥ED．
∵BE⊥ED，∴EB⊥BO. ∵BO是⊙O的半径，∴BE是⊙O的切线．
7． (广东中考)如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的
外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O于点D，连接AD交BC于点
E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF.
(1)求证：ED＝EC；
(1)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB．
∵∠BCD＝∠ACB，∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠ADC． ∴ED＝EC．
(2)求证：AF是⊙O的切线；
(2)证明：如图1，连接OA．
∵AB＝AC，∴ ＝ .∴OA⊥BC．
∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠F.
∴∠ACD＝∠CAF＋∠F＝2∠CAF.
∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB．
∴∠CAF＝∠ACB． ∴AF∥BC． ∴OA⊥AF.
∵OA是⊙O的半径，∴AF是⊙O的切线．
(3)如图2，若点G是△ACD的内心，BC·BE＝25，求BG的长．
(3)解：∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，
∴△ABE∽△CBA． ∴ ＝ .∴AB2＝BC·BE.
∵BC·BE＝25，∴AB＝5.如图2，连接AG.
∴∠BAG＝∠BAD＋∠DAG，
∠BGA＝∠GAC＋∠ACB．
∵点G是△ACD的内心，∴∠DAG＝∠GAC．
∵∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∴∠BAD＋∠DAG＝∠ACB＋∠GAC，
即∠BAG＝∠BGA． ∴BG＝AB＝5.
圆与四边形结合
8． (2023广东)综合探究
如图1，在矩形ABCD中(AB＞AD)，对角线AC，BD相交于点
O，点A关于BD的对称点为A′，连接AA′交BD于点E，连接CA′.
(1)求证：AA′⊥CA′.
(1)证明：∵点A关于BD的对称点为点A′，
∴AE＝A′E，AA′⊥BD．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OC． ∴OE∥A′C．
又AA′⊥BD，∴AA′⊥CA′.
(2)以点O为圆心，OE长为半径作圆．
①如图2，⊙O与CD相切，求证：AA′＝ CA′；
(2)①证明：如答图1，设⊙O与CD切于点F，连接OF，并延长FO交AB于点G.
∴OF⊥CD，OF＝OE.
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OB＝ BD，AB∥CD，AC＝BD，OA＝ AC．
∴OG⊥AB，∠FDO＝∠GBO，OA＝OB． ∴∠GAO＝∠GBO.
又∠DOF＝∠BOG，∴△DOF≌△BOG(ASA)．
∴OG＝OF. ∴OG＝OE.
由(1)知，AA′⊥BD． 又OG⊥AB，
∴∠EAO＝∠GAO.
∵∠EAB＋∠GBO＝90°，∴∠EAO＋∠GAO＋∠GBO＝90°.
∴3∠EAO＝90°.∴∠EAO＝30°.
由(1)知，AA′⊥CA′.∴tan ∠EAO＝＝ .∴AA′＝ CA′.
②如图3，⊙O与CA′相切，AD＝1，求⊙O的面积．
②解：如答图2，设⊙O切CA′于点H，
连接OH. ∴OH⊥CA′.
由(1)知，AA′⊥CA′.∴OH∥AA′.
又AA′⊥BD，∴OE∥CA′.∴△COH∽△CAA′，
△OAE∽△CAA′.∴ ＝ ＝ ， ＝ ＝ .
∴AA′＝2OH，CA′＝2OE.
∵OE＝OH，∴AA′＝CA′.∴∠A′AC＝∠A′CA＝45°.∴∠AOE＝
∠A′CA＝45°.∴AE＝OE.
设AE＝OE＝x，则OD＝OA＝ ＝ x.∴DE＝OD－OE＝
(-1)x.
在Rt△ADE中，由勾股定理，得x2＋[(-1)x]2＝1.
∴x2＝ ，即OE2＝ .∴S⊙O＝π·OE2＝ π.
9． 一题多解(2024绥化)如图1，O是正方形ABCD对角线上一点，
以O为圆心，OC长为半径的⊙O与AD相切于点E，与AC相交于点F.
(1)求证：AB与⊙O相切．
(1)法1：证明：如图1，连接OE，过点O作OG⊥AB于点G.
∵⊙O与AD相切于点E，∴OE⊥AD．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAC＝∠DAC＝45°.∴OE＝OG.
∵OE为⊙O的半径，∴OG为⊙O的半径．
又OG⊥AB，∴AB与⊙O相切．
法2：证明：如图1，连接OE，过点O作OG⊥AB于点G.
∵⊙O与AD相切于点E，∴OE⊥AD． ∴∠AEO＝∠AGO＝90°.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠DAC＝45°.
又AO＝AO，∴△AOE≌△AOG(AAS)．∴OE＝OG.
∵OE为⊙O的半径，∴OG为⊙O的半径．
又OG⊥AB，∴AB与⊙O相切．
(2)解：如图1.∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠DAC＝45°.
∵⊙O与AD相切于点E，∴∠AEO＝90°.
∴由(1)知，AE＝OE. 设AE＝OE＝OC＝r.
在Rt△AEO中，AE2＋OE2＝AO2.∴AO2＝r2＋r2.
∵r＞0，∴AO＝ r.
又正方形ABCD的边长为 ＋1.∴AC＝ ＝ (+1).
∵OA＋OC＝AC，∴ r+r＝ (+1).∴r＝ .∴⊙O的半径为 .
(2)若正方形ABCD的边长为 ＋1，求⊙O的半径．
(3)如图2，在(2)的条件下，若点M是半径OC上的一个动点，过点
M作MN⊥OC交 于点N. 当CM∶FM＝1∶4时，求CN的长．
(3)法1：解：如图2，连接ON，设CM＝k.
∵CM∶FM＝1∶4，∴CF＝5k.
∴OC＝ON＝2.5k.∴OM＝OC－CM＝1.5k.
在Rt△OMN中，由勾股定理，得MN＝2k.
在Rt△CMN中，由勾股定理，得CN＝ k.又FC＝5k＝2r
＝2× ＝2 ，∴k＝ .∴CN＝ × ＝ .(共26张PPT)
专题六 证明角或线段相等
证明角相等或线段相等，常见的类型有四种：
(1)所要证明的等角或等线段落在不同三角形中，一般通过证三角
形全等证之；
(2)所要证明的等角或等线段落在同一个三角形中，一般通过证等
边对等角或等角对等边证之；
(3)所要证明的等角或等线段是四边形的对边、对角线或对角，一
般证明四边形是特殊四边形；
(4)所要证明的等角或等线段是圆中的角(圆心角或圆周角)或圆中的
线段(弦)，一般通过圆中的元素转化证之(同圆中弧、弦、圆心角、圆周
角之间的关系)．
证两个三角形全等
1． (2025湖北)如图，AB＝AD，AC平分∠BAD． 求证：∠B＝
∠D．
证明：∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC．
在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SAS)．
∴∠B＝∠D．
2． (2024宜宾改编)如图，点D，E分别是等边三角形ABC边
BC，AC上的点，且BD＝CE，BE与AD交于点F.
(1)求证：AD＝BE.
证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠BCE＝60°.
又BD＝CE，∴△ABD≌△BCE(SAS)．
∴AD＝BE.
(2)∠AFE的度数是 ．
60°
证等角对等边或等边对等角
3． 如图，在△ABC中，CD是角平分线，DE∥BC，交AC于点
E.
(1)求证：DE＝CE；
(1)证明：∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD．
∵BC∥DE，∴∠CDE＝∠BCD．
∴∠ACD＝∠CDE. ∴DE＝CE.
(2)若∠AED＝64°，求∠DCB的度数．
(2)解：∵DE∥BC，∠AED＝64°，
∴∠ACB＝∠AED＝64°.
∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝ ∠ACB＝32°.
4． (2024广安)如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和
BC上的点，且BE＝BF. 求证：∠DEF＝∠DFE.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，∠A＝∠C．
∵BE＝BF，∴AB－BE＝BC－BF，即AE＝CF.
∴△ADE≌△CDF(SAS)．
∴DE＝DF. ∴∠DEF＝∠DFE.
5． 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，把纸片沿直线AC折
叠，点B落在点E处，AE交DC于点O，且AO＝5 cm.
(1)求证：OA＝OC；
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD．
∴∠BAC＝∠OCA．
由折叠的性质知，∠BAC＝∠OAC．
∴∠OAC＝∠OCA． ∴OA＝OC．
(2)求AB的长．
(2)解：由(1)知，CO＝AO＝5 cm.
∵在Rt△AOD中，AD＝4 cm，AO＝5 cm，
∴OD＝ ＝3(cm)．
∴CD＝CO＋OD＝5＋3＝8(cm)．∴AB＝CD＝8 cm.
证特殊的四边形
6． 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作
DE∥AC，且DE＝ AC，连接CE，OE，连接AE交OD于点F.
(1)求证：OE＝CD；
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OC＝ AC，∠COD＝90°.
∵DE＝ AC，∴DE＝OC．
∵DE∥AC，∴四边形OCED是平行四边形．
又∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形．∴OE＝CD．
(2)若菱形ABCD的边长为8，∠ABC＝60°，求AE的长．
(2)解：在菱形ABCD中，AB＝BC，
∠ABC＝60°.∴△ABC是等边三角形．
∴AC＝AB＝8，AO＝4.
∴在Rt△AOD中，OD＝ ＝4 .
∵在矩形DOCE中，CE＝OD＝4 ，∠OCE＝90°，
∴在Rt△ACE中，AE＝ ＝4 .
7． (2024武汉)问题背景：如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别
是AB，BC的中点，连接BD，EF，求证：△BCD∽△FBE.
问题背景：证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠EBF＝∠C＝90°.
∵点E，F分别是AB，BC的中点，
∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ .
∴△BCD∽△FBE.
问题探究：如图2，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝
90°，点E是AB的中点，点F在边BC上，AD＝2CF，EF与BD交于
点G，求证：BG＝FG.
问题探究：证明：如图，取BD的中点H，
连接EH，HC．
∵点E是AB的中点，点H是BD的中点，
∴EH＝ AD，EH∥AD．
又AD＝2CF，∴EH＝CF. ∵AD∥BC，∴EH∥FC．
∴四边形EHCF是平行四边形．∴EF∥CH. ∴∠GFB＝∠HCB．
又∠BCD＝90°，点H是BD的中点，∴HC＝ BD＝BH.
∴∠HBC＝∠HCB． ∴∠GBF＝∠GFB． ∴GB＝GF.
问题拓展：如图3，在“问题探究”的条件下，连接AG，AD＝
CD，AG＝FG，直接写出 的值．
问题拓展：解： 的值为 .
在圆中通过其他元素转化证明
8． (2024泸州)如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的
直径，过点B作⊙O的切线与AC的延长线交于点D，点E在⊙O上，
AC＝CE，CE交AB于点F.
(1)求证：∠CAE＝∠D；
(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.
∴∠BCD＝90°.∴∠D＋∠CBD＝90°.
∵BD是⊙O的切线，∴∠ABD＝90°.
∴∠ABC＋∠CBD＝90°.∴∠ABC＝∠D．
∵AC＝CE，∴ ＝ .∴∠CAE＝∠ABC． ∴∠CAE＝∠D．
(2)过点C作CG⊥AB于点G，若OA＝3，BD＝3 ，求FG的
长．
(2)解：∵OA＝3，∴AB＝2OA＝6.
在Rt△ABD中，由勾股定理，
得AD＝ ＝ ＝3 .
∵S△ABD＝ AB·BD＝ AD·BC，∴BC＝ ＝ ＝
2 .∴AC＝ ＝ ＝2 .
同理可得CG＝2 .∴AG＝
＝ ＝4.∴BG＝2.
如图所示，过点C作CH⊥AE于点H，
则AE＝2AH.
由(1)，得∠ABC＝∠CAH，∠ACB＝∠CHA＝90°.
∴△ACB∽△CHA． ∴ ＝ ，即 ＝ .∴AH＝2 .∴AE＝4 .
设FG＝x，则AF＝4＋x.∵∠E＝∠CBF，∠EAF＝∠BCF，
∴△AEF∽△CBF. ∴ ＝ ，即 ＝ .∴CF＝ .
在Rt△CGF中，由勾股定理，得CF2＝CG2＋FG2.
∴ ＝(2 )2＋x2.
解得x1＝ ，x2＝4(舍去)．∴FG＝ .
9． (2025陕西)如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的
⊙O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为⊙O的直径，FD与
AC相交于点G，∠F＝45°.
(1)求证：AB＝AC；
(1)证明：如图，连接OD． ∵∠F＝45°，
∴∠DOE＝2∠F＝90°.
∵⊙O与AB相切于点D，∴OD⊥AB．
∴∠ODA＝∠DOE＝90°.∴AB∥OE.
∵OC＝OE，∴∠B＝∠OEC＝∠C． ∴AB＝AC．
(2)若 sin A＝ ，AB＝8，求DG的长．
(2)解：∵ ＝ sin A＝ ，∴OA＝ OD．
∵OF＝OC＝OD，OA＋OC＝AC
＝AB＝8，∠DOF＝90°，
∴ OD＋OD＝8.∴OF＝OD＝3.
∴OA＝ ×3＝5，DF＝ ＝ OF＝3 .∴AD＝
＝ ＝4.
∵AD∥OF，∴∠A＝∠GOF，∠OFG＝∠ADG.
∴△AGD∽△OGF. ∴ ＝ ＝ .
∴DG＝ DF＝ DF＝ ×3 ＝ .∴DG的长是 .(共31张PPT)
专题七 求线段长度
求线段长度是初中几何重要的考查内容，广东省历年中考试题中，
与求线段长度相关的考点分值一般都超过40分，是几何的重中之重，务
必引起师生的足够重视．求线段长度的主要思路有三种：
(1)图中出现直角三角形或特殊角时，一般考虑用勾股定理或解直
角三角形求之；
(2)图中出现常见的相似几何模型，如A字型、8字型、仿A型、双垂
直型等一般考虑利用相似三角形对应边成比例求之；
(3)求三角形的高、特殊四边形的高时可以考虑用等积法求之．
利用勾股定理与解直角三角形
1． (2024自贡)如图，等边△ABC钢架的立柱CD⊥AB于点D，
AB长12 m．现将钢架立柱缩短成DE，∠BED＝60°.则新钢架减少用
钢 （　D　）
A． (24-12 )m
B． (24-8 )m
C． (24-6 )m
D． (24-4 )m
D
2． (2025辽宁)如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O，AC＝8，BD＝12，点E在线段OA上，AE＝2，点F在线段OC
上，OF＝1，连接BE，点G为BE的中点，连接FG，则FG的长
为 .
3． (广东中考)如图，在直角梯形纸片ABCD中，AD∥BC，∠A＝
90°，∠C＝30°，折叠纸片使BC经过点D，点C落在点E处，BF是
折痕，且BF＝CF＝8.
(1)求∠BDF的度数；
解：(1)∵BF＝CF＝8，∴∠FBC＝∠C＝30°.
由折叠的性质，得∠EBF＝∠CBF＝30°.
∴∠EBC＝60°.
∴∠BDF＝180°－∠EBC－∠C＝90°.
(2)求AB的长．
(2)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠EBC＝60°.
∵BF＝CF＝8，∴BD＝BF· cos 30°＝4 .
∴在Rt△BAD中，AB＝BD· sin 60°＝6.
4． (2024北京)如图，在四边形ABCD中，点E是AB的中点，
DB，CE交于点F，DF＝FB，AF∥DC．
(1)求证：四边形AFCD为平行四边形；
(1)证明：∵点E是AB的中点，DF＝FB，
∴EF是△ABD的中位线．∴EF∥AD．
∵AF∥DC，∴四边形AFCD为平行四边形．
(2)若∠EFB＝90°，tan ∠FEB＝3，EF＝1，求BC的长．
(2)解：∵∠EFB＝90°，
∴∠CFB＝180°－90°＝90°.
在Rt△EFB中，tan ∠FEB＝ ＝3，EF＝1.
∴FB＝3.
由(1)，得EF是△ABD的中位线．∴AD＝2EF＝2.
∵四边形AFCD为平行四边形，∴CF＝AD＝2.
∴在Rt△CFB中，由勾股定理，得BC＝ ＝ .
5． (2025资阳)如图，已知水平地面AM上方有一个水平的平台
BN，该平台上有一个竖直的建筑物CD． 在A处测得建筑物顶端C的
仰角为30°，在B处测得C的仰角为60°，斜坡AB的坡度i＝1∶3，AB
＝10 米，CD⊥BN. (点A，B，C，D在同一竖直平面内)
(1)求平台BN的水平高度；
解：(1)如图，过点B作BE⊥AM于点E，则∠AEB＝90°.
∵斜坡AB的坡度i＝ ＝ ，∴AE＝3BE.
在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，∴(3BE)2＋BE2＝
(10 )2.∴BE＝10.
∴平台BN的水平高度是10米．
(2)求建筑物的高度(即CD的长)．
(2)如图，延长CD交AM于点F.
∵CD⊥BN，BN∥AM，
∴CD⊥AM.
∴四边形BDFE是矩形．∴DF＝BE＝10米，BD＝EF.
设CD＝x米，则CF＝CD＋DF＝(x＋10)米．
∵在Rt△ACF中，∠CAF＝30°，∴AF＝ ＝ ＝ (x
＋10)米．
∵在Rt△BCD中，∠CBD＝60°，
∴BD＝ ＝ ＝ x(米)．
∴EF＝BD＝ x米．
由(1)，得AE＝3BE＝3×10＝30(米)．
∵AF＝AE＋EF，∴ (x＋10)＝30＋ x.解得x＝15 －
15.∴CD＝(15 -15)米．
∴建筑物的高度(即CD的长)为(15 -15)米．
利用相似三角形对应边成比例
6． 如图，点E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点
F，AB＝3，AD＝2，CE＝1.求FD的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝3，∠ADC＝∠C＝90°.
∵CE＝1，∴DE＝ ＝ .
∵AF⊥DE，∴∠AFD＝90°＝∠C． ∴∠ADF＋∠DAF＝90°.
∵∠ADF＋∠EDC＝90°，∴∠EDC＝∠DAF. ∴△EDC∽△DAF.
∴ ＝ ，即 ＝ .∴FD＝ .
7． (长沙中考改编)如图，在矩形ABCD中，点E为DC边上一点，
把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F.
(1)求证：△ABF∽△FCE；
(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD＝BC．
由翻折的性质，得∠AFE＝∠D＝90°.
∴∠AFB＋∠EFC＝90°，∠EFC＋∠FEC＝90°.
∴∠AFB＝∠FEC． ∴△ABF∽△FCE.
(2)若AB＝2 ，AD＝4，求EC的长．
(2)解：由翻折的性质，得AF＝AD＝4.
∴FB＝ ＝ ＝2.
∴FC＝BC－FB＝AD－FB＝2.
∵△ABF∽△FCE，∴ ＝ .∴ ＝ .∴EC＝ .
8． (2025广元)如图，AB是⊙O的直径，点D是线段BA延长线上
一点，过点D的直线与⊙O相切于点C，过线段OB上一点E作AB的垂
线交DC的延长线于点F，交BC于点G.
(1)求证：∠F＝2∠B；
(1)证明：连接OC，如图．
∵过点D的直线与⊙O相切于点C，
∴OC⊥DC． ∴∠OCF＝90°.
∵FE⊥AB，∴∠OEF＝90°.
∴∠F＋∠COE＝180°.
∵∠AOC＋∠COE＝180°，∴∠AOC＝∠F.
∵∠AOC＝2∠B，∴∠F＝2∠B．
(2)若AO＝4，AD＝OE＝1，求FG的长．
(2)解：在Rt△OCD中，∵OC＝OA＝4，
OD＝OA＋AD＝4＋1＝5，
∴DC＝ ＝3.
∵∠ODC＝∠FDE，∠OCD＝∠FED，
∴△DOC∽△DFE. ∴ ＝
，即 ＝ .解得DF＝10.
∴FC＝DF－DC＝10－3＝7.
∵OB＝OC，∴∠B＝∠OCB．
∵∠OCB＋∠FCG＝90°，∠B＋∠BGE＝90°，∴∠FCG＝∠BGE.
而∠BGE＝∠FGC，∴∠FCG＝∠FGC．
∴FG＝FC＝7.
9． (2024苏州)如图，在△ABC中，AB＝4 ，点D为AB的中
点，∠BAC＝∠BCD， cos ∠ADC＝ ，⊙O是△ACD的外接圆．
(1)求BC的长；
解：(1)∵∠BAC＝∠BCD，∠B＝∠B，
∴△BAC∽△BCD．
∴ ＝ ，即BC2＝BA·BD．
∵AB＝4 ，点D为AB的中点，∴BD＝AD＝ AB＝2 .∴BC2
＝AB·BD＝4 ×2 ＝16.∴BC＝4.
(2)求⊙O的半径．
(2)如图，过点A作AE⊥CD，垂足为E，连接CO，并延长交⊙O于点F，连接AF.
在Rt△AED中， cos ∠CDA＝ ＝ .
∵AD＝2 ，∴ ＝ .∴DE＝1.
∴在Rt△AED中，AE＝ ＝ .
∵△BAC∽△BCD，∴ ＝ ＝ .设CD＝x，则AC＝ x，
CE＝CD－DE＝x－1.
∵在Rt△ACE中，AC2＝CE2＋AE2，
∴( x)2＝(x－1)2＋()2，
即x2＋2x－8＝0.
解得x1＝2，x2＝－4(舍去)．∴CD＝2，AC＝2 .
∵ ＝ ，∴∠AFC＝∠ADC． ∵CF为⊙O的直径，∴∠CAF＝
90°.∴ sin ∠AFC＝ ＝ sin ∠CDA＝ ＝ .
∴CF＝ .∴OC＝ CF＝ ，即⊙O的半径为 .
利用等积法
10． 如图，已知菱形ABCD，对角线AC＝6，BD＝8，
AE⊥BC，垂足为点E.
(1)AB＝ ；
5
(2)求菱形ABCD的面积；
解：(2)∵AC＝6，BD＝8，
∴S菱形ABCD＝ AC·BD＝ ＝24.
(3)求BE的长．
(3)∵AE⊥BC，∴S菱形ABCD＝BC·AE＝24.
又BC＝AB＝5，∴AE＝ .
∴BE＝ ＝ ＝ .
11． (深圳中考)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD与过
点C的切线互相垂直，垂足为点D． 连接BC并延长，交AD的延长线
于点E.
(1)求证：AE＝AB；
(1)证明：如图，连接OC．
∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
∵CD⊥AD，
∴OC∥AD． ∴∠OCB＝∠E.
∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B．
∴∠B＝∠E. ∴AE＝AB．
(2)若AB＝10，BC＝6，求CD的长．
(2)解：如图，连接AC．
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴AC＝ ＝ ＝8.
∵AE＝AB＝10，AC⊥BE，∴CE＝BC＝6.
∵S△ACE＝ CD·AE＝ AC·CE，
∴CD＝ ＝ ＝ .

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