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(共22张PPT)
模块一 计算题
专题一 实数的计算与定义运算
请同学们翻到《主书》P177
01
专题指导
02
专题冲关
目录
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实数的计算要理解和运用运算法则、运算顺序，能熟练运用运算
律．要掌握乘方、算术平方根、立方根、绝对值、特殊角的三角函数
值、零指数幂、负指数幂等相关知识．定义运算要理解新定义的运算法
则和运算顺序，计算时要按规定的运算要求进行运算．
一、实数的计算
1． (2025苏州)计算：|-5|+ - .
解：原式＝5＋9－4
＝10.
2． (2025湖南)计算：(－2 025)0＋|－1|－tan 45°.
解：原式＝1＋1－1
＝2－1
＝1.
3． (2025新疆)计算：(－2)2＋|-1|- + .
解：原式＝4＋1－2＋1
＝4.
4． (2025贵州)计算：|-3|- ×6+ .
解：原式＝3－ ×6＋2
＝3－3＋2
＝2.
5． (2025河南)计算： ＋(π－1)0－ × .
解：原式＝2＋1－3
＝0.
6． (2025北京)计算：|-3|+ + －2 sin 30°.
解：原式＝3＋3 +2-2×
＝3＋3 ＋2－1
＝4＋3 .
7． (2025齐齐哈尔)计算： －|1- |+2 sin 45°- .
解：原式＝3－(-1)＋2× －9
＝3－ +1+ －9
＝－5.
8． (2025长沙)求值：|2 －1|+ －()2－(π－2 028)0.
解：原式＝2 －1＋5－3－1
＝2 .
二、新定义运算
9． (2024甘肃)定义一种新运算*，规定运算法则为：m*n＝mn－
mn(m，n均为整数，且m≠0)．例：2*3＝23－2×3＝2，则(－2)*2
＝ ．
8
10． (2025泸州)对于任意实数a，b，定义新运算：a※b＝
给出下列结论：①8※2＝8；②若x※3＝6，则x＝6；③a※b＝(－a)※(－b)；④若(2x－4)※2＜5x，则x的取值范围为x＞ .其中正确结论的个数是 （　B　）
A． 1
B． 2
C． 3
D． 4
B
11． (2024广州)定义新运算：a?b＝ 例如：－
2?4＝(－2)2－4＝0，2?3＝－2＋3＝1.若x?1＝－ ，则x的值为 　-

12． (2025湛江市三模)定义新运算：m*n＝m2－2m－3n，例
如：3*4＝32－2×3－3×4＝－9.若关于x的一元二次方程x*a＝3有两
个不相等的实数根，则a的取值范围是 （　C　）
A． a>
B． a≥
C． a>－
D． a≥－
C
13． (2025宁夏)定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差
恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数231，
因为3－1＝2，所以它是“极差数”．
【理解定义】三位数265是否为“极差数”？ 不是
【建模推理】
(1)设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则
a与b，c的关系式为 ；
a＝b－c
(2)任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
解：任意一个“极差数”都能被11整除．理由如下：
设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字
是c.
∵a＝b－c，∴100a＋10b＋c＝100b－100c＋10b＋c＝110b－99c
＝11(10b－9c)．
∴100a＋10b＋c能被11整除．∴任意一个“极差数”都能被11整
除．
14． (2024威海)【定义】我们把数轴上表示数a的点与原点的距离
叫做数a的绝对值．数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离AB＝a
－b(a≥b)．特别地，当a≥0时，表示数a的点与原点的距离等于a－0.
当a<0时，表示数a的点与原点的距离等于0－a.
【应用】如图，在数轴上，动点A从表示－3的点出发，以1个单位
/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点B从表示12的点出发，
以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．
(1)经过多长时间，点A，B之间的距离等于3个单位长度？
解：(1)设经过x秒，则A表示的数为－3＋x，B表示的数为12－
2x.
根据题意，得|12－2x－(－3＋x)|＝3.解得x＝4或x＝6.
∴经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度．
(2)求点A，B到原点距离之和的最小值．
(2)由(1)知，点A，B到原点距离之和为|－3＋x|＋|12－2x|.
当0≤x＜3时，|－3＋x|＋|12－2x|＝3－x＋12－2x＝15－3x.
∵0≤x＜3，∴6＜15－3x≤15，即6＜|－3＋x|＋|12－2x|≤15.
当3≤x≤6时，|－3＋x|＋|12－2x|＝x－3＋12－2x＝9－x.
∵3≤x≤6，∴3≤9－x≤6，即3≤|－3＋x|＋|12－2x|≤6.
当x＞6时，|－3＋x|＋|12－2x|＝x－3＋2x－12＝3x－15.
∵x＞6，∴3x－15＞3，即|－3＋x|＋|12－2x|＞3.
综上，|－3＋x|＋|12－2x|≥3.∴点A，B到原点距离之和的最小值
为3.(共16张PPT)
专题三 解方程、不等式(组)
方程(组)及不等式(组)是初中代数的重要组成部分，初中学习的方
程(组)有一元一次方程、二元一次方程组、三元一次方程组、分式方
程、一元二次方程；学习的不等式(组)是一元一次不等式(组)．解方程
的依据是等式的基本性质，解不等式的依据是不等式的基本性质，解不
等式组要深刻理解不等式组解集的含义，会利用数轴来表示各不等式解
集的公共部分．
一、解方程(组)
1． 方程组 的解是 　 　．
2． (2025齐齐哈尔)如果关于x的分式方程 + ＝2无解，那么
实数m的值是 （　C　）
A． m＝1
B． m＝－1
C． m＝1或m＝－1
D． m≠1且m≠－1
C
3． (2025新疆)解方程组：
解：①＋②，得4x＝8.解得x＝2.
把x＝2代入②，得2＋y＝3.解得y＝1.
∴原方程组的解为
4. (2024包头)解方程： -2＝ .
解：方程两边乘x－4，得
x－2－2(x－4)＝x.解得x＝3.
检验：当x＝3时，x－4≠0.
∴原分式方程的解为x＝3.
5． (2024陕西)解方程： + ＝1.
解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，
得2＋x(x＋1)＝(x＋1)(x－1)．
解得x＝－3.
检验：当x＝－3时，(x＋1)(x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－3.
6. 解方程：x(x＋10)＝－9.
解：去括号，得x2＋10x＝－9.
配方，得x2＋10x＋25＝－9＋25，
即(x＋5)2＝16.
开平方，得x＋5＝±4.
解得x1＝－1，x2＝－9.
7． 已知关于x的一元二次方程(k－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等
的实数根．
(1)求实数k的取值范围；
解：(1)由题知，Δ＝(－2)2－4(k－1)＞0.解得k＜2.
又k－1≠0，∴k≠1.∴k的取值范围是k＜2且k≠1.
(2)设方程的两个实数根分别为x1，x2，若(x1＋1)(x2＋1)＝－1，求
k的值．
(2)∵方程的两个实数根分别为x1，x2，∴x1＋x2＝ ， ＝
.
∵(x1＋1)(x2＋1)＝－1，∴x1x2＋x1＋x2＋1＝－1.∴ + ＋1＝－
1.解得k＝－ .∴k的值为－ .
二、解一元一次不等式(组)
8． (2024枣庄)写出满足不等式组 的一个整数解
．
x＝
－1(答案不唯一)
9． (2025达州)解不等式 ≤ ，并把解集表示在数轴上．
解：去分母，得3(3x－1)≤2(2x＋1)．
去括号，得9x－3≤4x＋2.
移项，得9x－4x≤2＋3.
合并同类项，得5x≤5.
系数化为1，得x≤1.
在数轴上表示其解集如图．
10． (2025天津)
解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
(1)解不等式①，得 ；
(2)解不等式②，得 ；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
x≤1
x≥－2
(4)原不等式组的解集为 ．
解：在数轴上表示其解集如图．
－2≤x≤1
11． 解不等式组 并把它的解集在数轴上表示
出来．
解：

解不等式①，得x＞3.解不等式②，得x＜4.
∴不等式组的解集为3＜x＜4.
在数轴上表示其解集如图．
12． 解不等式组 并写出它的所有整数
解．
解：解不等式①，得x≤－1.
解不等式②，得x＞－4.
∴不等式组的解集为－4＜x≤－1.
所以该不等式组的所有整数解是－3，－2，－1.(共15张PPT)
专题二 整式、分式的化简求值
整式的混合运算，关键是熟练掌握合并同类项法则、整式乘法法
则、熟练运用乘法公式；分式的混合运算，关键是掌握计算法则，灵活
应用因式分解，根据运算顺序进行正确计算．解决化简求值问题的前提
是化简一定要正确，在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简，最
后结果分子、分母要进行约分化成最简分式或整式，求值时要考虑代数
式是否有意义，以及注意整体思想等解题技巧．
一、整式的化简求值
1． (2024兰州)计算：2a(a－1)－2a2＝ （　D　）
A． a
B． －a
C． 2a
D． －2a
D
2． (2025乐山)已知am＝3，an＝2，则am+2n＝ ．
3． (2025内江)已知实数a，b满足a＋b＝2，则a2－b2＋4b
＝ ．
4． (2025常州)先化简，再求值：x(x＋2)＋(x－1)2，其中x＝ .
解：原式＝x2＋2x＋x2－2x＋1＝2x2＋1.
当x＝ 时，原式＝2×()2＋1＝7.
12
4
5． (2024济宁)先化简，再求值：x(y－4x)＋(2x＋y)(2x－y)，其
中x＝ ，y＝2.
解：原式＝xy－4x2＋4x2－y2＝xy－y2.
当x＝ ，y＝2时，原式＝ ×2－22＝1－4＝－3.
二、分式的混合运算及化简求值
6． (2025新疆)计算： - ＝ （　A　）
A． 1
B． x－2y
C．
D．
A
7． (2025乐山)计算 + 的结果为 （　D　）
A．
B．
C． －1
D． 1
D
8． (2025资阳)先化简，再求值：(+2)÷ ，其中a＝2.
解：原式＝ ·
＝ ·
＝ .
当a＝2时，原式＝ ＝3.
9． (广东中考)先化简，再求值：(+ )·(x2－1)，其中x＝
.
解：原式＝ ·(x－1)(x＋1)
＝2x＋2＋x－1
＝3x＋1.
当x＝ 时，原式＝3× +1＝ -1+1＝ .
10． (广东中考)先化简，再求值： ÷(1+ )，其中x＝
－1.
解：原式＝ ÷
＝ ·
＝ .
当x＝ －1时，原式＝ ＝ .
11． (广东中考)从三个代数式：①a2－2ab＋b2，②3a－3b，③a2
－b2中任意选两个代数式构造分式，然后进行化简，并求出当a＝6，b
＝3时该分式的值．
解：选②与③构造出分式 .
原式＝ ＝ .
当a＝6，b＝3时，原式＝ ＝ .(答案不唯一)
12． (2025龙东地区)先化简，再求值： · + ，其中a＝
2 sin 60°－1.
解：原式＝ · +
＝ + ＝ ＝ .
当a＝2 sin 60°－1＝2× -1＝ －1时，
原式＝ ＝ ＝ .
13． (2025眉山)先化简，再求值：(+ )÷ ，"其中"x，
y"满足" +|y-1|＝0.
解：原式＝·
＝ · ＝ .
∵(x＋2)2＋|y－1|＝0，∴x＋2＝0，y－1＝0.
∴x＝－2，y＝1.∴原式＝ ＝－1.
14． (2025凉山州)先化简，再求值：1－ ÷ .求值时请在
－2≤x≤2内取一个使原式有意义的x(x为整数)．
解：原式＝1－ · ＝1-
＝ ＝- .
∵x≠0，x＋2≠0，x－2≠0，∴x≠0，x≠±2.∴x＝±1.
当x＝1时，原式＝－ ＝4.
(或当x＝-1时"，原式＝- ＝ .)
15． (2025遂宁)先化简，再求值：(a+1+ )÷ ，其中a满
足a2－4＝0.
解：原式＝(+ )·
＝ · ＝ .
∵a2－4＝0，a－2≠0，∴a＝－2.
∴原式＝ ＝ .

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