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(共34张PPT)
专题五 应用题
应用题属于解答题必考题型，主要考查学生阅读、分析、建模
及解决问题等能力．(1)解方程、不等式(组)类应用题的主要思路是
理解题意，找出等量关系或不等关系，根据等量关系或不等关系列
出方程(组)或不等式(组)；(2)解函数类应用题的主要思路是分析题
意，建立函数关系式，要特别关注自变量的取值范围，函数类应用
题一般与最值有联系．
方程(组)或不等式(组)类
1． (2025宜宾)我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一道
题：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛、羊
各直金几何？”意思是：假设5头牛、2只羊，共值金10两；2头牛、5只
羊，共值金8两，那么每头牛、每只羊各值金多少两？若设每头牛和每
只羊分别值金x两和y两，列出方程组应为 （ A ）
A
A． B．
C． D．
2． (2024绥化)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿
江顺流航行120 km所用时间，与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间
相等，则江水的流速为 （　D　）
A． 5 km/h
B． 6 km/h
C． 7 km/h
D． 8 km/h
D
3． (2024连云港)我市将5月21日设立为连云港市“人才日”，以最大
诚意礼遇人才，让人才与城市“双向奔赴”．活动主办方分两次共邮购了
200把绘有西游文化的折扇作为当天一项活动的纪念品．折扇单价为8
元，其中邮费和优惠方式如下表所示：
邮购数量 1～99 100以上(含100)
邮寄费用 总价的10% 免费邮寄
折扇价格 不优惠 打九折
若两次邮购折扇共花费1 504元，求两次邮购的折扇各多少把．
解：若每次购买都是100把，则200×8×0.9＝1 440≠1 504.
∴一次购买少于100把，另一次购买多于100把．
∴设一次邮购折扇x(x＜100)把，则另一次邮购折扇(200－x)把．
由题意，得8x(1＋10%)＋0.9×8(200－x)＝1 504.解得x＝40.
∴200－x＝200－40＝160.
答：两次邮购的折扇分别是40把和160把．
4． (2025大庆)某公司开发了两款AI模型，分别为模型A和模型
B． 由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理数据．已知模型B比
模型A每小时多处理10 GB数据，模型B处理300 GB数据的时间与模型A
处理200 GB数据的时间相同，求模型A每小时能处理多少GB数据？(备
注：GB为数据的存储单位)
解：设模型A每小时能处理x GB数据，则模型B每小时能处理(x＋
10)GB数据．
根据题意，得 ＝ .解得x＝20.
经检验，x＝20是分式方程的解，且符合题意．
答：模型A每小时能处理20 GB数据．
5． (2024凉山州)阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个
点，第二行有2个点……第n行有n个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10.
(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为 ，前15行的点数之
和为 ，那么，前n行的点数之和为 ．
(2)体验：三角点阵中前n行的点数之和 (填“能”或“不能”)
为500.
36
120
n(n＋1)
不能
(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420
盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第n
排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
解：同理，前n行的点数之和为2＋4＋6＋…＋2n＝2× (1＋n)·n
＝n(n＋1)．
由题意，得n(n＋1)＝420.
∴n2＋n－420＝0，即(n＋21)(n－20)＝0.
解得n1＝20，n2＝－21(舍去)．
答：一共能摆放20排．
6． (2025长沙)为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技
推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购
的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等
级农产品和4千克B等级农产品共收入112元，销售4千克A等级农产品和
2千克B等级农产品共收入68元．(不考虑加工损耗)
(1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为
多少元？
解：设每千克A等级农产品的销售单价为x元，每千克B等级农产
品的销售单价为y元．
由题意，得 解得
答：每千克A等级农产品的销售单价为12元，每千克B等级农产品
的销售单价为10元．
(2)若该食品企业以每千克8元购进6 000千克农产品，全部加工后对
外销售，要求总利润不低于16 000元，则至少需加工A等级农产品多少
千克？
解：设需加工A等级农产品m千克，则需加工B等级农产品(6 000
－m)千克．
由题意，得(12－8)m＋(10－8)(6 000－m)≥16 000.
解得m≥2 000.
答：至少需加工A等级农产品2 000千克．
7． (2025广安)某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1 800
元购买A种帐篷的数量与用3 000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐
篷的单价比A种帐篷的单价多400元．
(1)求A，B两种帐篷的单价各多少元？
解：(1)设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为(x＋400)元．
由题意，得 ＝ .解得x＝600.
经检验，x＝600是分式方程的解，且符合题意．
∴x＋400＝1 000.
答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1 000元．
(2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷
均需购买)，且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的 ，
则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是
多少元？
(2)设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷(20－m)顶，总费用为W元．
由题意，得20－m≥ m.解得m≤15.
又∵两种型号的帐篷均需购买，∴0＜m≤15.
W＝600m＋1 000(20－m)＝－400m＋20 000.
∵－400＜0，∴W随m的增大而减小．
∴当m＝15时，W有最小值，W最小＝－400×15＋20 000＝14 000.
此时20－m＝5.
答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费
用为14 000元．
函数类
8． (2023温州改编)一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处
射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6 m时，球
达到最高点，此时球离地面3 m．已知球门高OB为2.44 m，现以O为原
点建立如图所示的平面直角坐标系．通过计算判断球 射进球
门．(填“能”或“不能”)
不能
9． (2025广东省二模)【实验与探究】在一次综合实践活动课上，
小明设计了一个探究杠杆平衡条件的装置．如图，左边固定的托盘A中
放置一个重物，右边可左右移动的托盘B中放置若干数量的砝码．改变
托盘B与点O之间的距离x(单位：cm)，调整托盘B中砝码的总质量
y(单位：g)，使装置重新在水平位置平衡(平衡时遵循杠杆的平衡条
件)，根据实验结果得到如下表格：
托盘B与点O之间的距离x/cm 10 20 30 40
托盘B中砝码的总质量y/g 60 30 20 15
(1)小明根据上述数据确定y与x之间是反比例函数关系，请运用表
格中的数据求y与x之间的函数关系式；
解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝ (k≠0)．
由表格中的数据可知，当x＝10时，y＝60.
∴60＝ .∴k＝600.∴y与x之间的函数关系式为y＝ .
(2)当砝码的总质量为10 g时，求托盘B与点O之间的距离；
(2)在y＝ 中，当y＝ ＝10时，x＝60.∴当砝码的总质量为10 g
时，托盘B与点O之间的距离为60 cm.
(3)已知该装置能够放置的托盘B与点O之间的最大距离为120 cm，
求装置在水平位置平衡时托盘B中砝码的最小总质量．
(3)在y＝ 中，当x＝120时，y＝ ＝5.
∵600＞0，x＞0，∴在第一象限内，y随x增大而减小．∴当0＜
x≤120时，y≥5.
∴装置在水平位置平衡时托盘B中砝码的最小总质量为5 g．
10． (2024广州)一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基
本特征．某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过
对数据的整理和分析，发现身高y和脚长x之间近似存在一个函数关
系，部分数据如下表：
脚长x/cm … 23 24 25 26 27 28 …
身高y/cm … 156 163 170 177 184 191 …
(1)在图1中描出表中数据对应的点(x，y)；
解：(1)如图1所示．
(2)根据表中数据，从y＝ax＋b(a≠0)和y＝ (k≠0)中选择一个函数
模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的解
析式；(不要求写出x的取值范围)
(2)由图知y随着x的增大而增大．
因此选择函数y＝ax＋b(a≠0)近似地反映身高和脚长的函数关系．
将点(23，156)，(24，163)代入，得
解得 ∴这个函数的解析式为y＝7x－5.
(3)如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为25.8 cm，请根据
(2)中求出的函数解析式，估计这个人的身高．
解：将x＝25.8 cm代入y＝7x－5，得y＝7×25.8－5＝
175.6(cm)．
∴估计这个人的身高为175.6 cm.
11． (2025清远市二模)综合与实践
问题背景：智慧小组在以“停车距离问题”为主题的综合实践活动
中，收集到如下信息：在驾车行驶过程中，从司机发现前方道路有异常
到踩下刹车需要一段时间，这段时间叫反应时间．在反应时间内汽车行
驶的距离叫反应距离．从踩下刹车到汽车最终停止，汽车行驶的距离叫
制动距离．
成果展示：该小组对车辆停车距离与行驶速度之间的关系进行研
究，得到如下成果：
小聪：影响停车距离的主要因素有汽车的行驶速度与司机的反应时
间(其他因素忽略不计)．
小明：停车距离d＝反应距离d1＋制动距离d2，即d＝d1＋d2.
小智：下面是反应距离d1(m)与行驶速度v(km/h)的部分实验数据：
v/(km/h) 40 50 60 70 80
d1/m 8 10 12 14 16
小慧：制动距离d2(m)与行驶速度v(km/h)满足二次函数关系，其部
分图象如图所示，其中原点为该二次函数图象的顶点．
问题解决：(1)根据小智收集的实验数据可知，反应距离d1(m)是行
驶速度v(km/h)的 函数(选填“一次”“二次”“反比例”)，d1与v
的函数关系式为 ；
一次
＝ v
v/(km/h) 40 50 60 70 80
d1/m 8 10 12 14 16
提示：根据表格信息可知，反应距离d1(m)随行驶速度v(km/h)的增大而均匀增大．∴反应距离d1(m)是行驶速度v(km/h)的一次函数．设反应距离d1(m)与行驶速度v(km/h)的函数关系式为d1＝mv＋b(m≠0)．把(40，8)，(50，10)代入，得解得∴反应距离d1(m)与行驶速度v(km/h)的函数关系式为d1＝v.
(2)求停车距离d(m)与行驶速度v(km/h)之间的函数关系式；
解：(2)设d2与v的函数关系式为d2＝av2(a≠0)．
∵图象经过点(100，60)，∴10 000a＝60.解得a＝ .∴d2与v的函数关系式为d2＝ v2.
∵d＝d1＋d2，∴d＝ + v.
(3)某天小王开车在高速公路上行驶时，突然发现前方有异常情
况，立即采取了刹车措施．经测量，小王的停车距离为105 m．已知该
段公路最高限速为120 km/h，请你判断小王是否超速，并说明理由．
(3)小王没有超速．理由如下：
当v＝120时，d＝ + v＝ ×12 + ×120＝110.4.
∵d＝ + v＝ - ， ＞0，∴当v＞0时，d随v
的增大而增大．
∵105＜110.4，∴停车距离为105 m时的车速小于120 km/h.
∴小王没有超速．(共16张PPT)
专题四 规律探究
规律探究是中考数学中的常见题型，一般在选择题或填空题中出
现，主要考查观察、分析、推理的能力，体现了“从特殊到一般、从一
般到特殊”及“数形结合”“转化”等数学思想方法．常见的类型有数式规
律型、图形规律型、坐标规律型、周期规律型等，解决问题的关键是准
确找出题目中隐含的规律．解决规律探究问题的一般步骤：①标序号；
②找规律；③验结果；④写答案．
一、数式类：通常根据给定一列数字、代数式、等式或不等式，然
后写出其中蕴含的一般规律，找出各部分的特征，改写成要求的规律的
形式．
1． 观察下列各数，并写出第n个数：
(1)1，3，5，7，9，…， ；
(2)2，4，6，8，10，…， ；
(3)2，4，8，16，32，…， ；
(4)1，3，9，27，81，…， ；
(5)1，4，9，16，25，…， ；
(6)2，6，12，20，30，…， ．
2n－1
2n
2n
3n-1
n2
n(n＋1)
2． (广东中考)观察下列一组数： ， ， ， ， ，…，根据该
组数的排列规律，可推出第10个数是 ．
3． 观察数据： ，- ， ，- ， ，…，则第12个数是
（　D　）
A．
B． －
C．
D． －
D
4． 观察以下等式：21－1＝1，22－1＝3，23－1＝7，24－1＝15，
25－1＝31，…，归纳各计算结果中的个位数字的规律，猜测240－1的计
算结果中个位数字是 ．
5
5． 观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，－4x3，9x5，－
16x7，25x9，…，按照上述规律，第n项是 （　C　）
A． nx2n-1
B． －n2x2n+1
C． (－1)n+1n2x2n-1
D． (－1)n+1n2x2n+1
C
6． (2024宁夏)观察下列等式：
第1个：1×2－2＝22×0；
第2个：4×3－3＝32×1；
第3个：9×4－4＝42×2；
第4个：16×5－5＝52×3；
……
按照以上规律，第n个等式为
．
n2×(n＋1)－(n＋1)＝(n＋1)2×(n－1)
二、图形类：从基本图形开始，按照变化规律，找出一般性结论，
最后把图形规律转化为数字规律．
7． (2025陕西)生活中常按图1的方式砌墙，小华模仿这样的方式，
用全等的矩形按规律设计图案，如图2，第1个图案用了3个矩形，第2个
图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩形，…，则第10个图案需要用
矩形的个数为 ．
21
8． (2025青海)如图是谢尔宾斯基地毯图案的形成过程．按此规律
下去，第⑥个图形中黑色三角形的个数是 ．
243
9． (广东中考)如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是
直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相
互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形(图1)拼出来的图形的总长度
是 ．(结果用含a，b代数式表示)
a＋8b
三、坐标类：坐标变化规律与数字规律联系在一起，不仅要考虑数
值的大小，还要找到所在象限的内在变化规律．
10． (2024绥化改编)如图，已知A1(1，- )，A2(3，- )，
A3(4，0)，A4(6，0)，A5(7， )，A6(9， )，A7(10，0)，A8(11，-
)，…，依此规律，则点A2 026的坐标为 ．
(2 894，0)
11． (2025烟台)如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(6，
)，△ABC的顶点A的坐标为(4，3)．以点P为位似中心作△A1B1C1与
△ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点P同侧；以点P为位似中
心作△A2B2C2与△A1B1C1位似，相似比为2，且与△A1B1C1位于点P
同侧…，按照以上规律作图，点A3的坐
标为 ．
(-10， )
12． 如图，在平面直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1
个单位长度，以点P为位似中心作正方形PA1A2A3，正方形
PA4A5A6，…，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中
正方形 的顶点坐标分别为P(-3，0)， (-2，1)， (-1，
0)， -1)，则顶点A2 026的坐标
为 ．
(673，676)

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