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九年级学情检测
数学
一.选择题（每小题3分，共30分）
1. 在如图所示的数轴上表示的数最小的点是( )
A.点 P B.点 Q C.点M D.点N
2.如图所示的几何体由5个大小相同的立方块搭成，则该几何体的左视图是 ( )
A B C D
3.小DNA病毒科(Parvoviridae),又称“细小病毒科”,是最小且最简单的 DNA病毒.小DNA病毒粒是直径约为0.000000021米的二十面体，无囊膜，等轴对称.数据“0.000000021”用科学记数法可表示为（ ）
A.0.21×10-8 B.2.1×10-8 C.21×10-7 D.2.1×10-7
4.抖空竹是我国传统的体育、游艺与杂技项目，是国家级非物质文化遗产之一.如图，某一时刻对空竹进行受力分析，抖线给空竹的拉力为F 和 F ,空竹受到的重力为G,方向竖直向下.若∠1=20°,∠2=130°,则∠3的度数为（ ）
A.70° B.75° C.80° D.90°
5.下列运算中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
6.下列方程有两个不相等的实数根的是（ ）
A.x -4x+4=0 B.x +16=0
C.x +6x+9=0 D.x -5x-9=0
7. 某校史馆中五位讲解员的年龄(单位：岁)分别为12,13,14,14,15,则3年后这五位讲解员的年
龄数据中一定会改变的是 ( )
A.极差 B. 众数 C. 方差 D. 标准差
8.如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，过点 A 作 AETBC 于点 E，连接 OE.若 OB = 6 ，菱形 ABCD 的面积为 54 ，则 OE 的长为 ( )
A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 5.5
9.某项工作，已知每人每天完成的工作量相同，且一个人完成需12天．若个人共同完成需天，选取6组数对，在坐标系中进行描点，则正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图（1），在中，点O为其中心，，．动点P从点A出发，沿运动到点E，再从点E沿直线运动到上的点F．设点P运动的路程为x，的面积为y（当点A，O，P共线时，），y与x的函数关系的图象如图（2）所示，则的长为（ ）
A. B. C. 3 D. 4
二.填空题（每小题3分，共15分）
11.若 在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是_ .
12.从甲、乙、丙三名同学中随机抽取两名同学参加义务劳动，则甲与乙恰好被选中的概率为 .
13.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点B 在第二象限，点A在y 轴正半轴上， ∠AOC=60°,0A=2.将菱形OABC绕点0顺时针旋转90°得到菱形OA'B'C′, 则点B的对应点B'的坐标是
14.如图，在菱形 ABCD 中 ，AB=4, 以 AB为直径作⊙0,交BC 于点E, 过点A 作⊙0的切线 AF,交 CD于点F, 连接BF,AE,若∠EAF=60°, 则 BF的长为_
15. 在正方形中，，O为上一点，且，将线段绕点O逆时针旋转（旋转角小于），得到线段，连接并延长，交边于点P，则点D到的最小距离为_____________．
三.解答题（本题共75分）
16. (10分)(1)计算：;(2)化简：
17. (9分)人工智能(Artificial Intelligence),英文缩写为Al,是新一轮科技革命和产业变革的 重要驱动力量.DeepSeek、智谱清言、讯飞星火认知等 AI模型的发布，给人们的生活工作 带来极大的便利.某校为了激发同学们对人工智能的兴趣，普及人工智能知识，从该校 3000名学生中随机抽取了部分学生参加人工智能知识测试(满分100),将成绩统计整理，绘制成如下图表：
成绩统计表 成绩条形统计图
成绩x(分) 百分比
A组 0≤x<60 10%
B组 60≤x<70 n
C组 70≤x<80 25%
D组 80≤x<90 30%
E组 90≤x≤100 15%
根据所给信息，解答下列问题：
(1)本次测试的成绩统计表中n= ,并补全条形统计图.
(2)抽取学生测试成绩的中位数在 (填“A”“B”“C”“D” 或“E”) 组.
(3)请估计该校3000名学生中测试成绩在90分及以上的人数.
18. (9分)如图，反比例函数：的图象与正比例函数的图象相交于点A(-2,m),B.
(1)求k的值和点B的坐标.
(2)不等式的解集是 .
(3)以AB 为边作正方形ABCD,再以AB 为直径作弧，以点B 为圆心，AB 长为半径作弧，求阴影部分的面积.
20.
19.(9分)如图，在△ABC中，∠ABC=120°,0为线段AC 上一点，以点0为圆心，OC的长为半径的圆与AB相切于点B.
(1)求∠BAC的度数.
(2)请用圆规和无刻度的直尺作∠ABC的平分线，交⊙0于点D.(要求：不写作法，保留作图痕迹)
(3)连接CD, 判断△BCD是否为等边三角形.如果是，请证明；如果不是，请说明理由.
20.(9分)假期期间，小明前往公园游玩，并乘坐了摩天轮，已知摩天轮是一个圆形,小明在摩天轮客舱中，测得最低点A 到地面的距离AC=4米，旋转到B处时,在点B处测得地面 C处的俯角为45°,测得A 处俯角为32°. 请你帮小明估算摩天轮的半径是多少米. (客舱大小忽略不计，结果保留整数 . 参考数据：sin32°≈0.50,
cos32°≈0.80,tan32°≈0.60,≈1.41)
21.(9分)郑州市天气日渐炎热，某商场根据民众健康需要，代理销售每台进价分别为600元、560元的A,B 两种型号的吹风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
A种型号 B种型号
第一周 4台 5台 7100元
第二周 6台 10台 12600元
(进价、售价均保持不变，利润=销售收入-进货成本)
(1)求A,B 两种型号的吹风扇的销售单价.
(2)若商场准备用不多于17200元的金额再采购这两种型号的吹风扇共30台，超市销售完这30台 吹风扇能否实现利润为6200元的目标 若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由.
22. (10分)学校科学社团成员制作了一个物体发射器，可使用该发射器从地面竖直向上发射
出物体，已知发射出的物体离地面的高度h(单位：m) 满 足关系式h=-5t +v 1,其中t (单位：8)是物体运动的时 间，用发射器(发射器的高度忽略不计)将一个小球以初速度vo=10m/s从地面竖直向上抛.
(1)小球从抛出到落回地面需要 s
(2)小球的高度能否达到5.5m 若能，请求出运动时间t; 若不能，请说明理由；
(3)小豫在实验楼连续两次看到这个小球经过观察点，当观察点离小球发射点的竖直高度 为4.2m 时，求这两次间隔的时间差.
23. 综合与实践
在学习特殊四边形的过程中，我们积累了一定的研究经验.请运用已有经验对“邻等对补四边形”进行研究.
定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做邻等对补四边形.
（ 1 ）操作判断
用分别含有 30°和 45°角的直角三角形纸板拼出如图 1 所示的 4个四边形，其中是邻等对补四边形的有 （填序号）.
（2）性质探究
根据定义可得出邻等对补四边形的边、角的性质.
下面研究与对角线相关的性质.
如图 2 ，四边形 ABCD 是邻等对补四边形，AB ＝AD，AC 是它的一条对角线.
①写出图中相等的角，并说明理由；
②若 BC ＝m，DC ＝n ，∠BCD ＝2θ , 求 AC 的长（用含 m ，n ，θ的式子表示）.
（3）拓展应用
如图 3 ，在 Rt△ABC 中，∠B ＝90° , AB ＝3 ， BC ＝4 ，分别在边 BC，AC 上取点 M，N，使四边形 ABMN 是邻等对补四边形. 当该邻等对补四边形仅有一组邻边相等时，请直接写出 BN 的长.
第二章 相交线与平行线
单元检测参考答案
一.选择题（每小题3分，共30分）
1.A 2.D 3.B 4.A 5.B 6.D 7.B 8.B 9.C 10.D
二．填空题（每小题3分，共15分）
11. x≥-1且 x≠0 12. 13. 14.2 15.
三、解答题（本题共55分）
16.解:(1)原式
= +2
=4
(2)原式
=
17.解：(1) 20%；
补全条形统计图，如图所示．
（2）C （3）3 000×15% ＝450（人）．
∴该校 3 000 名学生中测试成绩在 90 分及以上的人数约为 450.
18. 解： (1）∵反比例函数的图象与正比例函数y=的图象相交于点A(-2,m),
(-2)=3,k=-2m.∴k=-6,A(-2,3)
∵反比例函数的图象是关于原点O的中心对称图形，
∴点A与点B关于原点O对称．∴B(2,-3).
(2)x<-2或0（3）A(-2,3),B(2,-3),∴AB=
在正方形ABCD中，
∴S阴影=
19. 解：（1）如图1，连接OB．
∵线段AB与OO相切于点B,∴
∵
∴
（2）作图如图2所示（方法不唯一）．
（3）ΔBCD是等边三角形．
证明：如图，由（1）知∠BOC=
又∵BD平分∠ABC，且
∴ΔBCD是等边三角形.
20.解:过点B作BD丄AO于点D,连接OB,如图所示.设BD=xm.
在Rt△BDC中 ,∵∠DBC=45°,∴CD=BD= xm ,∴AD= (x－4)m.
在Rt△BDA中 ,∵tan 32°
∴AD=BDtan32 °≈ 0. 6x,
∴x－4≈0. 6x,解得x≈10 ,
∴BD= 10m ,AD= 10－4 =6(m) .
设摩天轮OO的半径为Rm ,则OD= (R－6) m.
在 Rt△OBD中 ,OD2+DB2=OB2 , 即 (R－6)2 +102=R2 ,
解得 R
答:摩天轮的半径约为11m.
21.解：(1）设A,B两种型号吹风扇的销售单价分别为x元、y元．依题意，得解得
答：A,B两种型号吹风扇的销售单价分别为800元、780元．
（2）不能．理由：
设采购A种型号吹风扇a台，则采购B种型号吹风扇（30-a）台.
依题意，得600a+560(30-a)≤17200,
解得a≤10. （6分）
假设能实现目标，
依题意有（800-600）a+(780-560)(30-a)=6200
解得a=20，此时与a≤10矛盾，
则超市不能实现利润为6200元的目标．
22. 解:(1)2
(2)小球的高度不能达到5.5m ,理由如下:
∵h =-5t2+10t =-5(t-1)2+5 ,
∴当t=1时 ,h 有最大值5,
∴小球的高度不能达到5.5 m.
(3) 由题意得:4.2 =-5t2+10t , ∴5t2 -10t+4.2=0 ,
解得:t1=0. 6 ,t2= 1.4,
∴t2 -t1=0.8 ,这两次间隔的时间差为0.8S.
23．解：（1）②④;
（2）①∠ACD=∠ACB，
理由：延长 CB 至点 E，使 BE＝DC，连接AE，
∵四边形ABCD 是邻等对补四边形， ∴∠ABC+∠D ＝180°,
∵∠ABC +∠ABE＝180°, ∴∠ABE=∠D，
∵AB＝AD，
∴△ABE≌△ADC（SAS）， ∴∠E=∠ACD，AE＝AC，
∴∠E=∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB；
②过A 作AF⊥EC 于 F，
∵AE＝AC，
∴CF= CE= （BC+BE）= （BC+DC）= ，
∵∠BCD ＝2θ ,
∴∠ACD＝∠ACB = θ ,
在 Rt△AFC 中，cos
（3）或

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