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/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
广东省深圳市2025-2026学年下学期八年级数学期中模拟卷（解析版）
考试时间90分钟，满分100分．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，
下列坐标系中的数学曲线既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可．
【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；
C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意．
故选：C．
2．不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查解一元一次不等式组，先求出这两个不等式的解集，再求出这两个不等式解集的公共部分，根据不等式组解集就可以得出结论．
【详解】解：解不等式得，
解不等式得，
∴不等式组的解集为，
在数轴上表示为：
，
故选：A．
3．如图，边长为的长方形的周长为，面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了因式分解的应用，根据题意可得，将代数式因式分解，代入式子的值，即可求解．
【详解】解：∵边长为的长方形的周长为，面积为，
∴即，，
∴，
故选：B．
如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到
（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．
若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，由题意可得，，根据三角形的外角等于不相邻的两个内角和，可求，即可得的度数.
【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转后得到，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A.
下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（ ）
姓名：李明 | 班级：八（2）班 | 得分：____（每小题 20 分）
判断题，对的打 “√”，错的打 “×”
①代数式，都是分式（×） ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为 0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√）
A．40 B．60 C．80 D．100
【答案】B
【分析】本题考查分式的定义、分式有意义的条件、分式值为零的条件、分式的基本性质及最简分式的判断．需逐一分析各小题的正确性，计算得分总和即可得到答案．
【详解】解：① 代数式的分母不含字母，不是分式；的分母含字母，是分式，故此题做对，得20分．
② 分式有意义需分母，即，故此题做对，得20分．
③ 分式值为0时，分子得，但时分母为0，舍去，故，故此题做错，不得分．
④ 分式变形为需分子分母同乘非零数，而非加1，变形错误，故此题做错，不得分．
⑤ 分式分子无法分解，分母可提取公因式，但无公共因式，是最简分式，此题做对，得20分．
综上，得分分，
故选B．
如图，在中，，，，P是BC边上一动点，连接AP，
把线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接CQ，则线段CQ长度的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】在AB上取一点E，使，连接PE，过点E作EF⊥BC于F，由旋转的性质得出AQ=AP，∠PAQ=60°，证明△CAQ≌△EAP，由全等三角形的性质得出CQ=EP，当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，由直角三角形的性质即可得出结论．
【详解】解：如图，在AB上取一点E，使，连接PE，过点E作EF⊥BC于点F，
根据题意得：AQ=AP，∠PAQ=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠EAC=60°，
∴∠PAQ=∠EAC，
∴∠CAQ=∠EAP，
∴△CAQ≌△EAP（SAS），
∴CQ=EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点，当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EF，
∵∠ACB=30°，
∴AB=2AC，BE=2EF，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴线段CQ长度的最小值为．
故选：D
某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，
三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，
第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．
若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，
则下列说法不正确的是（ ）
A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价
B．第一次购买节能灯的单价是元
C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个
D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为
【答案】D
【分析】根据总价，单价，数量的关系，逐一验证各选项即可得出结果．
【详解】解：∵方程中，是第二次购买的总价，是第三次购买的总价，且第二次和第三次购买的数量相同，
故第二次购买的单价为，第三次购买的单价为，
∵第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元，
∴表示第一次购买节能灯单价，故A选项说法正确，不符合题意；
，
，
，
，
解得，
∴ 第一次购买节能灯的单价是元，故B选项说法正确，不符合题意；
故第二次购买单价为元，
∴第一次购买数量为个，第二次购买数量为个，个，
∴ 第二次购买数量比第一次多个，故C选项说法正确，不符合题意；
若设第二次购买数量为个，
∵ 第二次和第三次购买数量相同，
∴ 第三次购买数量也为个，
故第二次单价为，第一次单价为，第三次单价为，
∵第三次单价比第一次单价多元，
故，
整理得，与选项D给出的方程不符，故D选项说法错误，符合题意．
8．已知和是等边三角形，，且B、C、D三点共线，
连接BE，AD，交AC于点M，交CE于点N，以下结论正确的个数是（ ）
①； ②； ③； ④连接CG，GC是的角平分线．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【分析】由等边三角形的性质可得出，，，从而推出，即可利用证明，可判断①；由全等的性质可得出，再利用三角形外角的性质即可推出，即可判断②；由和B、C、D三点共线，可求出，即可证明，得出，即可判断③；过点作于点P，于点Q，易证，得出，即又易证，得出，即GC是的角平分线，可判断④．
【详解】∵和是等边三角形，
∴，，，
∴，即，
∴，故①正确；
∵，
∴．
∵，
∴，故②正确；
∵，B、C、D三点共线，
∴．
∴在和中，，
∴，
∴，故③正确；
如图，过点作于点P，于点Q，

在和中，，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，即GC是的角平分线，故④正确．
综上可知正确的个数是4个．
故选D．
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．因式分解： =________________．
【答案】．
【详解】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式．因此，
先提取公因式a后继续应用平方差公式分解即可：．
如图，一次函数与的图象相交于点，则不等式的解_________．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式.
先利用解析式确定P点坐标，然后结合函数图象写出一次函数的图象在一次函数的图象下方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：把代入，得，
解得，
则，
因为当时，，
所以关于x的不等的解集为．
故答案为：．
11．分已知，则__________．
【答案】3
【分析】先对所求式子进行化简，然后整体代入求值．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：3．
12．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，
点B、O分别落在点、处，点在x轴上．再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上．将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……若点，，则点的横坐标为____________．

【答案】10126
【分析】本题主要考查坐标与图形的变换，在变换中找到规律，结合图形得出结论是解题的关键．根据图形和旋转规律得出点的坐标变换规律，结合三角形的周长得出结论即可．
【详解】解：在中，，，
∴，
的周长为： ，
由题意及旋转的规律可知：
当n为偶数时，在最高点；当n为奇数时，在x轴上，
横坐标规律为：
当n为奇数时，横坐标为：；
当n为偶数时，横坐标为：，
∵2025是奇数，
∴点的横坐标为：.
故答案为：10126.
定义运算：当时，则；当时，．
例如．记，，
当时，始终满足，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，解题的关键是理解题意；由题意可分为当时，当时，当时，然后进行分类求解即可．
【详解】解：∵，，
∴令，解得；令，解得；
当时，则，
∴当时，有且，
因此当时，，
∴，
当时，，
∴，
∵当时，始终满足，
∴，解得，故成立；
当时，同理可得，
由得，成立；
故当时，对于所有，始终满足；
当时，，不满足；
当时，当，有，不满足条件；
综上所述：的取值范围为；
故答案为：．
解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，
第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14. 因式分解：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了因式分解，综合运用提取公因式法和公式发进行因式分解成为解题的关键．
（1）先提取公因式a，然后再运用平方差公式分解即可；
（2）先提取公因式3，然后再运用完全平方公式分解即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
15．解不等式组，并写出它的正整数解．
【答案】，正整数解为，
【分析】先解出每个不等式的解集，再根据“比大小，比小大，中间找”求出不等式组的解集，最后求出其正整数解．本题考查了一元一次不等式组的基本解法，关键是要熟练掌握一元一次不等式组的基本解法、熟知“比大小，比小大，中间找”的原则．
【详解】解：，
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为
∴不等式组的正整数解为，
16．化简，再求值：，在0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先根据分式的混合计算法则化简分式，再根据分式有意义的条件确定x的值，最后代值计算即可．
【详解】解：

，
∵，
∴当时，原式．
如图，在中，，点D、E分别在上，且，
连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得到，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，旋转前后对应边相等，此类题目难点在于利用同角的余角相等求出相等的角．
（1）根据旋转的性质可得，然后根据同角的余角相等求出，再利用“边角边”证明即可；
（2）根据两直线平行，同旁内角互补求出，再根据全等三角形对应角相等可得．
【详解】（1）证明：由旋转的性质得，，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中，
，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．
已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，
用2500元购买航空模型的数量是用2400元购买航海模型数量的．
求航空和航海模型的单价；
学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，
且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
【答案】(1)航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元
(2)当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少
【分析】本题考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程、不等式、函数关系式是解题的关键．
（1）设航海模型的单价为元，则航空模型的单价为元，根据题意列出方程，解出的值即可解答；
（2）设购买航空模型个，花费为元，则购买航海模型个，根据题意列出不等式，解出的范围，再根据题意列出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设航海模型的单价为元，则航空模型的单价为元，
由题意得，，
解得：，
经检验，是方程的解且符合题意，
则，
答：航空模型的单价为125元，航海模型的单价为90元．
（2）解：设购买航空模型个，花费为元，则购买航海模型个，
由题意得，，
解得：，
由题意得，，
，
随的增大而增大，
当时，有最小值，最小值为，
此时，
答：当购买航空模型40个，航海模型80个时，学校花费最少．
19．综合与实践：
【问题情境】
（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____；
【探究实践】
（2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____；
（3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值；
【拓展应用】
用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片
拼出一个长方形或正方形，直接写出的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）14；
（4）5或7
【分析】（1）根据大正方的面积有整体看和分开看两种求法，即可得到结果；
（2）大正方的面积有整体看和分开两种求法，即可得到答案；
（3）由（2）的结论，把已知条件代入即可；
（4）根据题意可知，拼成图形的面积为，要把这个式子变成因式分解的形式，就是变成把因式看成图形的长和宽，根据因式分解的方法分解因式即可；
【详解】解：（1）大正方形的面积有两种求法：可以是，也可以是，
，
故答案为：；
（2）边长为的正方形的面积为：，
分9部分来看，正方形的面积为，
两部分面积相等，
，
故答案为：；
（3）由（2）知，
，，
．
的值为14；
（4）由题意可得，所拼成的长方形或正方形的面积为：，
从因式分解的角度看，可分解为或，
或，
的值为5或7．
如图1，在等边的边和边上分别取点D、E，使得，
将绕点A顺时针旋转，得到图2所示的图形．
求证：；
(2) 如图3，若，，且旋转角为时，求的长；
(3) 如图4，连接，并延长交于点F，若旋转至某一位置时，恰有，，求的值．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）根据旋转得到，根据等边得到即可得到证明；
（2）根据，得到，过点E作于点F，根据旋转角得到，得到，再根据正切计算即可得到答案；
（3）根据可得，，结合可得，根据得到，，，即可得到，从而得到即可得到，，得到，即可得到答案；
【详解】（1）证明：∵绕点A顺时针旋转，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
在与中，
；
（2）解：∵，，
∴，
过点E作于点F，
∵旋转角为，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴。
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广东省深圳市2025-2026学年下学期八年级数学期中模拟卷（解析版）
考试时间90分钟，满分100分．
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．数学世界奇妙无穷，其中曲线是微分几何学的研究对象之一，
下列坐标系中的数学曲线既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A. B．
C． D．
2．不等式组的解集在数轴上可表示为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，边长为的长方形的周长为，面积为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
如图，在中，，将绕点A顺时针旋转后得到
（点B的对应点是点，点C的对应点是点），连接．
若，则（ ）
A． B． C． D．
下面是李明同学的一次限时小练习卷，他的得分应是（ ）
姓名：李明 | 班级：八（2）班 | 得分：____（每小题 20 分）
判断题，对的打 “√”，错的打 “×”
①代数式，都是分式（×） ②当时，分式有意义（√） ③若分式的值为 0，则（√） ④式子从左到右变形正确（√） ⑤分式是最简分式（√）
A．40 B．60 C．80 D．100
如图，在中，，，，P是BC边上一动点，连接AP，
把线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接CQ，则线段CQ长度的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
某学校计划给每个班都安装节能灯，现分三个批次购买同一种节能灯，由于购买地点不同，
三次购买的单价也不一样．第一次花费380元，第二次花费元，第三次花费元，
第二次购买的单价比第一次少元，第三次购买的单价比第一次多元．
若第二次和第三次购买的数量相同，现列出方程，
则下列说法不正确的是（ ）
A．方程中的x表示的是第一次购买节能灯的单价
B．第一次购买节能灯的单价是元
C．第二次购买节能灯的数量比第一次多了个
D．如果设第二次购买的数量为y个，可列方程为
8．已知和是等边三角形，，且B、C、D三点共线，
连接BE，AD，交AC于点M，交CE于点N，以下结论正确的个数是（ ）
①； ②； ③； ④连接CG，GC是的角平分线．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．因式分解： =________________．
如图，一次函数与的图象相交于点，则不等式的解_________．
11．分已知，则__________．
12．如图，在平面直角坐标系中，将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，
点B、O分别落在点、处，点在x轴上．再将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上．将绕点按顺时针方向旋转到的位置，点在x轴上，依次进行下去……若点，，则点的横坐标为____________．

定义运算：当时，则；当时，．
例如．记，，
当时，始终满足，则的取值范围是_____．
解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，
第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分）
14. 因式分解：
(1)
(2)
15．解不等式组，并写出它的正整数解．
16．化简，再求值：，在0，1，2四个数中，选一个合适的数代入求值．
如图，在中，，点D、E分别在上，且，
连接，将线段绕点C按顺时针方向旋转后得到，连接．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
为培养学生的创新意识，提高学生的动手能力，某校计划购买一批航空、航海模型．
已知商场某品牌航空模型的单价比航海模型的单价多35元，
用2500元购买航空模型的数量是用2400元购买航海模型数量的．
求航空和航海模型的单价；
学校采购时恰逢该商场促销：航空模型八折优惠．若购买航空、航海模型共120个，
且航空模型数量不少于航海模型数量的，请问分别购买多少个航空和航海模型，学校花费最少？
19．综合与实践：
【问题情境】
（1）对于一个图形，如图1，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式_____；
【探究实践】
（2）类比图1，写出图2中所表示的数学等式_____；
（3）利用（2）中得到的结论，解决问题：若，，求的值；
【拓展应用】
用图3中2张边长为的正方形，3张边长为的正方形，张边长分别为，的长方形纸片
拼出一个长方形或正方形，直接写出的值．
如图1，在等边的边和边上分别取点D、E，使得，
将绕点A顺时针旋转，得到图2所示的图形．
求证：；
(2) 如图3，若，，且旋转角为时，求的长；
(3) 如图4，连接，并延长交于点F，若旋转至某一位置时，恰有，，求的值．
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