资源简介

雅安市高2023级第二次诊断性考试
数学试题
本试卷满分150分，答题时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名，考号用05毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上，并检
查条形码粘贴是否正确.
2,选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色墨水签
字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答素无效；在草稿纸，试题卷上答题
无效
3.考试结束后，将答题卡收回
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符
合题目要求的，
1.下列关系正确的是
A.0e0
B.π∈Q
c.{,1}c,1》
D.2,3}s3,2)
2.已知i为虚数单位，则2026=
A.i
B.1
C.-i
D.-1
3.已知抛物线x2=2y(p>0)上一点(m,2)到其焦点的距离为6，则抛物线的方程为
A.x2=4y
B.x2=8y
C.x2=16y
D.x2=32y
4.记Sn为等差数列{an}的前项和，若42+a4=10,a3a5=45,则So=
A100
B.95
C.50
D.15
5.已知曲线C:x2+2y2=t2(>1),曲线C2:x2-4y2=4的离心率分别为，8，且马=V5g,
则t=
A.2
B.√3
c 2v3
D.3
3
3
6.若函数f(x)=me+lnx在区间
上单调递增，则实数m的取值范围是
A.b2,+w)
2,tco
C.（o,
D.(（o,e
7.在工业级3D打印与航天精密构件设计中，圆锥结构常作为支撑部件.现有一个高为3的圆锥，
其顶点为P,底面圆的圆心为O,半径为2，若A、B两点在底面圆周上，∠AOB=90°，M为线
段AB的中点，则异面直线PM与OB所成角的正切值为
A.√10
2
B.
C.7
D.
3
2
二诊数学试题第1页（共4页)
8.某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对DeepSeek、豆包、通义千问这3种人工
智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负贵，每人必须且只能选择1种模型.若小
李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为
A.144
B.114
C.94
D.72
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分)在每小题给出的四个选项中，有多个符合题
目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
9.已知函数f(x)=2 sinxcosx+2cos2x-1,则
A.函数f(x)的最小值为-√2
B.函数f(x)的一个对称中心为
C函数f(x)在区间：，3江
(88
上单调递减
D.函数f(x)的图象可由函数y=√2sin2x的图象向左平移：个单位长度得到
10.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R,都有f(2-x)=f(2+x),当x∈[0,2]时，
f(x)=x3-3x,则
A.f(x)是以4为周期的周期函数
B.点(4,0)是函数f(x)的一个对称中心
C.f(2025)+f(2026)=0
D.函数y=f(x)-Iog2（x+2)有3个零点
11.已知菱形ABCD中，AB=2,∠BCD=120°，现将△ADC沿对角线AC折起至△PAC,连接
PB,形成三棱锥P-ABC,则
A.当二面角P-AC-B的大小为120°时，平面PAB⊥平面PBC
B.在折起的过程中，存在某个位置使得PA⊥AD
C.当∠PAB=90°时，三棱锥P-ABC的体积为22
3
D.当三棱锥P-ABC的体积最大时，其外接球的表面积为2
3
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）将答案填在答题卡相应的横线上.
12.已知向量a=(2,3),6=(1,k),若aL(a+b),则k=
13.已知一个等比数列的前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比为
PA1
14.已知点A-1,3),B(-4,3),动点P满足
P四2，记动点P的轨迹为曲线T,点2在抛物线
C:x2=8y上运动，过点Q作曲线T的切线，切点分别为M,W,则N的最小值为
二诊数学试题第2页（共4页)雅安市高2023级第二次诊断性考试
数学参考答案
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. D 2. D 3. C 4. A 5. C 6. D 7. A 8. B
二、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）
9. ABC 10. BCD 11. BCD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
4 5
12. 5 13. 2 公众号1：4青. 禾试卷
3
四、解答题(本大题共5小题，共77分）
15.（1）因为EF //面PBC，EF 面APB，面APB 面PBC PB，
所以EF∥PB.............................................................................................4分
（2）取AC的中点为O，连接PO、BO.
因为AP=PC，所以PO⊥AC，
因为平面PAC⊥平面ABC，平面PAC 平面ABC AC ， PO 平面PAC，
所以PO⊥平面ABC.
因为 APC ABC 90 ，AC=2，由△APC≌△ABC得BO⊥AC.
.................................................................................................................8分
以O为坐标原点，OB、OC、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图
所示的空间直角坐标系，则
A (0, -1, 0) ， C（0，1，0）， B（1，0，0）， P（0，0，1）
所以PB (1,0, 1), PA (0, 1, 1)， z
设平面PAB的法向量为n (x, y, z)，则
P
n PB x z 0
， E
n PA y z 0 公众号：青禾试卷 C y
A
令x 1,则z 1,y 1,所以n (1, 1,1). O
F
平面ABC的一个法向量为OP 0,0,1 ,
B
n OP 3 x
所以 cos n,OP ,
n OP 3
3
所以平面PBC与平面PAB所成夹角的余弦值为 .
3
................................................................................................................13分
二诊数学参考答案 第1页（共5页）
公众号：青禾试卷
16.（1） 因为√3cos( ) + 2sin2 = 2，
2 2
所以√3sin + 1 cos = 2，
1
故sin( ) = .
6 2
.................................................................................................................4分
5
又A ∈ (0, π)，故 A ，所以 A ， 6 6 6 6 6

所以 = .
3
.................................................................................................................7分
（2）由余弦定理 2 = 2 + 2 公众2号 ： 青c禾o试s卷 ，得 2 + 2 = 9①
.................................................................................................................9分
1
因为D是BC的中点，所以 = ( + )，
2
1 1 1
故( )2 = ( )2 + ( )2 + | || |cos ，
4 4 2 3
1 1 1
即4 = 2 + 2 + bc，
4 4 4
即 2 + 2 + = 16② ...................................................................13分
7
② ①得 = ，
2
1 7
∴ = sin = √3. ...................................................................15分
2 8
17.（1）设线性回归方程为：y b x a ，
1 2 3 4 5 30 36 51 60 78
由已知得x 3，y 51, .............2分
5 5
5
xi yi x1y1 x2 y2 x5 y5 1 30 2 36 3 51 4 60 5 78 885,
i 1
5
x2i x21 x22 x25 12 22 32 42 52 55,
i 1
5
xi yi 5xy
i 1 885 5
公 众号3： 青5禾1试卷120
b 12,
5
2 2 55 5 3
2 10
xi 5x
i 1
a y b x 51 12 3 15,
所以线性回归方程为y 12x 15.
..........................................................................................................7分
（2）记 An 表示事件“n次传球后球在A队员手中”，
设n次传球后球在A队员手中的概率为 Pn ，
则 P1 0, An 1 An An 1 ，
二诊数学参考答案 第2页（共5页）
公众号：青禾试卷
1
所以 pn 1 P An An 1 P An P An 1 | An 1 pn ,
2
1 1
即pn 1 pn ,
2 2
...............................................................................................................11分
1 1 1 1 1
所以 pn 1 ( pn )，且 p1 ，
3 2 3 3 3
1 1 1
所以数列{pn }是以 为首项， 为公比的等比数列，
3 3 2
1 1 1 1 1 n 1
所以 pn ( )
n 1
公，众号即：青p禾试n 卷 [1 ( ) ]. ...........................15分
3 3 2 3 2
x2 y23
18.（1）将点 √（0,1）和点（1， ）代入 1(a b 0) ，解得a=2， b 1，
2 a2 b2
x2
所以C的方程为 y2 1. ...................................................................4分
4
（2）由 1 知 A 2,0 ，B 2,0 ，
设 P x1, y1 ，Q x2 , y2 ，直线PQ与x轴的交点为 M x0 ,0 ，则
1
| |·| |1 2 1 2 | | = = = 0
+2 2
1 = = 2，解得 0 = . .........9分 2 | |·| 32 1 2| | | 2 0
2
即直线PQ过定点（ , 0）. .................................................................10分
3
（3）设直线PQ的方程为 x my x0， P x1, y1 ，Q x2 , y2 .
x my x0，
2 2
联立 x2 可得 m 4 y 2mx 20 y x0 4 0， 2
y 1，
4
2mx x2 4
则 y 01 y2 ， y y
0 ， ......................................................12分
m2 4 1 2 m2 4
x2 4 公众号：青禾试卷
y y 0且 1 2 y1 y2 .
2mx0
k y x 2 y my2 x0 2 my1y2 y1 x0 2 1 1 2 1
于是
k2 x1 2 y2 my1 x0 2 y2 my1y2 y2 x0 2
x2 4
m y1 y2 .
0 y1 x0 2
2mx0 x0 2 1
2 ，（结合第（2）问）x 4 x 2
m y y . 01 2 y2 x0 2
0
2mx0
...........................................................................................................15分
二诊数学参考答案 第3页（共5页）
公众号：青禾试卷
k k
1， 0
1 1 1，即 的范围是 0,1 . .......................................17分
k2 k2
19.（1）当 a 0时， f (x) (x 1)公e众x 号，：青f禾'(试x卷) xex ，
所以当 x ( ,0)时， f '(x) 0，则 f (x) 在 ( ,0)上单调递减；
当 x (0, )时， f '(x) 0，则 f (x) 在 (0, )上单调递增.
所以 f (x) f (0) 1，故 f (x) 的最小值为-1. ....................................3分
（2） f '(x) xex ax x(ex a) ,
当 a 0时，令 f '(x) 0，得 x 0或 x ln a ,
当 a 1时， ln a 0，
所以当 x ( ,0)时， f '(x) 0，则 f (x) 在 ( ,0)上单调递增；
当 x (0, )时， f '(x) 0，则 f (x) 在 (0, )上单调递增；
此时 f (x) 在R上单调递增.
当 0 a 1时， ln a 0 ，
所以当 x ( , ln a) 时， f '(x) 0，则 f (x) 在 ( , ln a)上单调递增；
当 x (ln a,0)时， f '(x) 0，则 f (x) 在 (ln a,0) 上单调递减；
当 x (0, )时， f '(x) 0，则 f (x) 在 (0, )上单调递增.
当 a 1时， ln a 0，
所以当 x ( ,0)时， f '(x) 0，则 f (x) 在 ( ,0)上单调递增；
当 x (0,ln a)时， f '(x) 0，则 f (x) 在 (0,ln a)上单调递减；
公众号：青禾试卷
当 x (ln a, ) 时， f '(x) 0，则 f (x) 在 (ln a, )上单调递增.
综上：当 a (0,1) 时， f (x) 的单调递增区间为 ( , ln a) 和 (0, ) ，单调递
减区间为 (ln a,0) ；
当 a 1时， f (x) 的单调递增区间为 ( , ) ；
当 a (1, )时， f (x) 的单调递增区间为 ( ,0) 和 (ln a, )，单调递减区间
为 (0,ln a)；
.......................................................................................................10分
二诊数学参考答案 第4页（共5页）
公众号：青禾试卷
（3）由（2）知当a 0时，显然仅有一个极值点x 0，
当 a (0,1) (1, ) 时， f (x) 存在两个极值点，且
1
f (0) 1 0, f (ln a) a[(ln a)2 2ln a 2] 0 ，
2
1
又由于 f (1) a 0 且当 x 时， f (x) ，
2
所以 f (x) 在 (1, )存在唯一零点 x1 .
若 a (0,1) ，由（2）知 x0 0，则 2x1 x0 2x1 2成立.
x0 ln a x2 x x
a (1, ) 1若 ，则 公众号：1青禾试卷 e 1 0 x
(x 1)e 11 ax
2
1
0 2(x 1)
2 1
要证 2x1 x0 2 ，只需证 x1 x0 2 x1，即证
x1 x 2 xe 0 e 1 ，
2 2 xx 2 x 2(x1 1)e
1
即证 1 e 1 ，只需证1 02 .
2(x1 1) x1
2(x 1)e2 x 2(x2 2)e2 x
设 g(x) 1 , (x 1)，则 g '(x) ，
x2 x3
所以当 x (1, 2) 时， g'(x) 0，则 g(x)在 (1, 2)上单调递减，
当 x ( 2, ) 时， g'(x) 0，则 g(x)在 ( 2, )上单调递增，
所以 g(x)min g( 2) 1 ( 2 1)e
2 2 ，.
x 1
由（1）知当 x (0,1)时， e ，所以
1 x
1
g(x)min g( 2) 1 ( 2 1)e
2 2 1 ( 2 1) 0
1 (2 2)
2 x
2(x 1)e 1
所以1
1 0
2 在 x1 (1, )上恒成立，
x1
故当 a (1, )时， 2x1 x0 2 成立.
公众号：青禾试卷
综上， 2x1 x0 2 成立. ........................................................................17分
二诊数学参考答案 第5页（共5页）
公众号：青禾试卷

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