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2026年高考全国Ⅰ卷数学模拟卷（二）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
适用地区：江西、湖北、湖南、广东、山东、江苏、浙江、河南、安徽、福建、河北.
难度系数：0.56（0.85×5+0.85×5+0.60×5+0.70×5+0.65×5+0.60×5+0.60×5+0.45×5+0.70×6+0.60×6+0.45×6+0.75×5+0.75×5+0.45×5+0.60×13+0.55×15+0.50×15+0.45×17+0.35×17) ÷ 150 ≈ 0.56
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·广东湛江·二模） 已知集合 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【详解】
，
.
.
故 .
【易错警示】 常见错误是忘记求补集或对不等式解集端点开闭判断错误.防错方法：先正确解出每个集合，再按交集运算逐步求解.
【规律总结】 通法：解一元二次不等式和绝对值不等式时，需结合数轴确定区间端点及开闭.注意补集运算时端点取反.
2.（2026·山东·核心素养评估） 若 ，则复数 （ 　　）
A. 1
B. 1
C. i
D. i
【答案】 D
【详解】
由 ，得 ，即 ，
整理得 ，即 ，
解得 .
故 （注意符号）.
【易错警示】 常见错误是在移项或展开时出现符号错误.防错方法：每一步运算后代入检验.
【规律总结】 通法：将复数等式转化为代数方程求解，注意分母实数化技巧.
3.（2026·江西·三新协同教研共同体·阶段训练） 如图，在△ABC中， ， ， ， 是 边上靠近点 的三等分点，则 （ 　　）
A. 4
B.
C.
D.
【答案】 B
【详解】
.
.
.
代入数值： ， ， ，
得 .
【易错警示】 常见错误是向量分解不正确或点乘运算时符号搞错.防错方法：严格按照向量的加减法和数量积公式计算，注意夹角.
【规律总结】 通法：将目标向量用基向量表示，再运用数量积运算律计算.
4.（2026·河北·一模） 已知圆台上底面直径为2，下底面直径为4，母线长为3，则该圆台的体积为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【详解】
圆台上底面半径 ，下底面半径 ，母线长 .
高 .
体积 .
【易错警示】 常见错误是忘记圆台体积公式或半径计算错误.防错方法：熟记圆台体积公式 ，准确区分上下底半径.
【规律总结】 通法：求圆台体积需先求出高，利用轴截面直角三角形求解.
5.（2026·山东·核心素养评估） 在棱长为2的正方体 中，点 在正方体的棱上运动，则三棱锥 的体积的取值范围是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【详解】
正方体棱长为2.三棱锥 的底面 是边长为 的正三角形，面积为 .
点 到平面 的距离 取决于 的位置. 在棱上运动时， 的最小值无限趋近于0（但取不到0），最大值当 与 重合时取到，此时 .
体积 .
，故 .
【易错警示】 常见错误是误以为 在某个位置时体积最大或最小.防错方法：明确底面固定，寻找点 到面的距离范围.
【规律总结】 通法：三棱锥体积的最值问题转化为底面固定时高的最值，利用线面关系求高.
6.（2026·山东·核心素养评估） 若定义在 上的奇函数 满足 ，则 （ 　　）
A. 1012
B. 1013
C. 1014
D. 1015
【答案】 C
【详解】
由奇函数知 ，且 .
令 代入 ，得 ，无新信息.
令 ： .
令 ： ，验证成立.
递推可得周期为4： .
，故 .
又因 且奇函数 ，进一步结合条件可推得 .
【易错警示】 常见错误是周期或递推关系推导出错.防错方法：由已知条件赋值，逐步归纳周期规律.
【规律总结】 通法：抽象函数求值往往先赋值寻找特殊值，再结合奇偶性和周期性推出目标值.
7.（2025 2026·浙江杭州·二模） 已知函数 的图象关于直线 对称，且 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【详解】
由辅助角公式， .
图象关于直线 对称，则 ，
解得 .
由 ，取 得 .
【易错警示】 常见错误是辅助角公式中的相位计算失误，或对称条件使用不当.防错方法：牢记辅助角公式 ，对称轴条件为正弦函数取最值的位置.
【规律总结】 通法：对于正弦型函数，其图象关于直线 对称，等价于函数在 处取得最值.
8.（2026·山东·核心素养评估） 已知函数 (a>1)，若对于任意 ， ，则实数 的取值范围为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【详解】
当 时，恒成立需满足：
在 时， ，由于 时取等，得 ，即 .
在 时， ，分离参数得 .设 ，求导得 在 上递增，在 上递减，最大值为 ，故 .
综上 ，即选项 A.
【易错警示】 常见错误是只考虑一端限制或求导计算极值时出错.防错方法：分段处理，分别求最值，取交集.
【规律总结】 通法：含参分段恒成立问题，通常分别求出各段参数的允许范围，再求交集.
【一题多解】
解法一（导数法）：如上述，构造 ，求导得最大值.
解法二（数形结合）：分别画出 和 的图象，寻找切点位置.
对比：导数法严谨通用；数形结合直观但需准确判断图象位置.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·浙江湖州、丽水、衢州·二模） 已知三组数据：①4，4，4，5，5，5，6，6，6；②3，3，4，4，5，6，6，7，7；③2，2，2，2，5，8，8，8，8的方差分别是 ， ， ，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【详解】
计算三组数据的方差：
第①组：数据集中于均值5附近，波动较小，方差约0.67.
第②组：数据较分散，方差约2.22.
第③组：两端数据极端，方差约10.67.
故 ，选 A.
【易错警示】 常见错误是凭感觉判断方差大小，不计算.防错方法：用方差公式或简便公式估算.
【规律总结】 通法：比较方差大小可直接看数据离散程度，也可用公式计算确认.
10.（2026·山东日照·模拟） 下列说法中正确的是（ 　　）
A. 一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4
B. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数 的绝对值越接近于1
C. 根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 ，根据小概率值 的 独立性检验： ，可判断 与 有关联，此推断犯错误的概率不超过
D. 若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
【答案】 BD
【详解】
A：数据个数8， ，第60百分位数为第5个数，即5，故A错误.
B：相关系数绝对值越接近1，线性相关程度越强，故B正确.
C： ，不能拒绝原假设，即认为无关，且犯错误概率超过0.005，故C错误.
D：由正态分布对称性， ，故 ，D正确.
【易错警示】 常见错误是混淆百分位数计算规则，或对独立性检验结论理解偏差.防错方法：明确百分位数是位置指标，独立性检验中P值大于α时不能拒绝原假设.
【规律总结】 通法：统计量判断题需对基本概念有清晰认识，如百分位数、相关系数、卡方检验、正态分布对称性等.
11.（2026·浙江嘉兴·二模） 已知函数 ，关于 的不等式 在区间 内的整数解的个数为 ，下列说法正确的是（ 　　）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 的最小值为2
C. 若存在实数 ，使 ，则 的最小值为2
D. 若存在实数 ，使 ，则 的最大值为2
【答案】 ACD
【详解】
的周期为 .区间 包含337个完整周期及区间 .
对于 A： 时不等式化为 ，每个周期内有1个整数解，共338个，A 正确.
对于 B：若 ，需每个周期内2个整数解， 内含2个整数解需 足够大，最小为2，B 错误.
对于 C：存在实数 使 ，则 最小为2，C 正确.
对于 D：存在实数 使 ，则 最大为2，D 正确.
【易错警示】 常见错误是周期和整数解对应关系不清.防错方法：画出函数图象，观察一个周期内满足条件的整数解个数.
【规律总结】 通法：周期函数不等式的整数解问题，先分析一个周期内的解数，再推广到整个区间.
【一题多解】
解法一（图象法）：画出 的图象，根据直线 和 的位置关系确定每个周期的整数解个数.
解法二（解析法）：解不等式 ，在一个周期内求出整数解.
对比：图象法直观快速；解析法严谨但计算稍繁琐.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·浙江金华十校·模拟） 双曲线 的离心率为 ____.
【答案】
【详解】
双曲线 中， ， ， ， ，离心率 .
【易错警示】 常见错误是误将 值弄反.防错方法：明确标准方程中 分母为 .
【规律总结】 通法：由双曲线标准方程直接求 ，代入 .
13.（2026·浙江宁波·二模） 若 ，则 ____.
【答案】 2
【详解】
，
解得 ，
，
，
.
【易错警示】 常见错误是两角差的正切公式符号记错.防错方法：牢记公式 .
【规律总结】 通法：利用两角和差的正切公式将已知条件转化为关于目标正切的方程.
14.（2026·山西·小高考五） 已知抛物线 的焦点为 ，直线 交抛物线于 、 两点，与 轴的交点为 ， 为坐标原点，且满足 ，记 、 的面积分别为 、 ，则 的最小值为 ____.
【答案】
【详解】
由焦点 得 ，故 ，抛物线方程为 .
设直线 ，交 轴于 ，代入抛物线得 .
设 ，则 ， .
由 ，解得 ，故 .
面积 ， 面积 .
由 ，知 与 异号，不妨设 ，则 ，且 .
于是 ，当且仅当 时取等号.
【易错警示】 常见错误是忽略 的符号导致绝对值处理不当，或基本不等式取等条件忘记验证.防错方法：由韦达定理先判断两根符号，再化去绝对值.
【规律总结】 通法：解析几何中涉及面积、数量积的问题，设直线方程联立曲线，用韦达定理将几何量坐标化，转化为函数最值问题.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）（2026·山东·核心素养评估）
记数列 的前 项和为 ，已知 ， .
（1） 求 的通项公式；
（2） 设 ，证明数列 的前 项和 .
【答案】 （1） ；（2） 证明见详解.
【详解】
（1） 由 ，当 时， ，得 .
当 时， ，
即 .又 ，故 是首项为2、公比为2的等比数列， .
（2） .
累加得 .
【易错警示】 常见错误是递推关系应用时忽略初始条件，或裂项相消时符号错误.防错方法：验证前几项确保公式正确.
【规律总结】 通法：已知 与 的关系求通项，利用 转化；裂项求和是处理分式型数列的常用技巧.
16.（15分）（2026·山东·核心素养评估）
如图，在四棱柱 中，底面 为平行四边形， 与 交于点 ， 在底面 的投影为 ， 为 中点，其中 .
（1） 证明：平面 平面 ；
（2） 求平面 与平面 夹角的余弦值；
（3） 求多面体 的体积.
【答案】 （1） 证明见详解；（2） ；（3） .
【详解】
（1） 取 中点 ，连接 ，证 ，由 平面 得 平面 ，进而平面 平面 .
（2） 建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，得夹角余弦值为 .
（3） 多面体 可分割为三棱锥 和三棱锥 .
三棱锥 ：底面 面积 ，高 ，体积 .
三棱锥 ：底面 面积 ，高为 到平面 的距离 ，体积 .
总体积 .
【易错警示】 常见错误是法向量计算失误或空间点坐标写错，体积分割时高求错.防错方法：建立坐标系后仔细确认各点坐标，法向量求解后验证垂直关系.
【规律总结】 通法：面面垂直常转化为线面垂直；二面角问题利用法向量夹角求解；不规则多面体体积常用割补法.
17.（15分）（2026·浙江绍兴·二模）
某中学为推进数字化教学，引进了一套功能强大的人工智能助教系统，该系统集范例生成、自动出题、答疑解惑、运算推理与学习评价等功能于一体，可有效辅助学生学习.学生李华使用此系统后学科素养显著提升.已知他在完成两类数学习题时，每题答题结果相互独立且每题得分情况如下：
“几何”题：得6分的概率为 ，得3分的概率为 ；
“代数”题：得6分的概率为 ，得4分的概率为 .
（1） 若李华只做了4道“几何”题，求他的总得分不超过15分的概率；
（2） 若李华做了10道习题，先只做“几何”题，只有在“几何”题型上第二次得6分后，才选择换做（且后续只做）“代数”题，求他做的“几何”题数量多于“代数”题数量的概率；
（3） 若李华一共做了 道习题，先选择做“几何”题，并且后续选择习题的规则为：如果上一题没有拿到6分就继续做该类型的习题；反之，就选择做另一种类型的习题，求他做第 题的得分的数学期望.
【答案】 （1） ；（2） ；（3） .
【详解】
（1） 设总得分不超过15分为事件M，包含4题均得3分或3题得3分1题得6分，概率为 .
（2） 设几何题数量为X.计算 （ ），求和得几何题多于代数题的概率为 .
（3） 设第 题选择几何题的概率为 （ ）.由状态转移： .
整理得 ，故 .
几何题期望得分 ，代数题期望得分 .
第 题期望 .
【易错警示】 常见错误是状态转移关系梳理不清，导致递推错误.防错方法：画树状图或状态转移图，明确各事件的概率转换关系.
【规律总结】 通法：马尔科夫链型概率问题，通常先建立相邻步骤间的递推关系，再利用数列知识求解通项.
18.（17分）（2026·山东·核心素养评估）
已知曲线 上任意一点到点 的距离与到直线 的距离之比为 .
（1） 求 的方程；
（2） 设直线 经过 交 于 两点，过点 分别作直线 的垂线，垂足分别为 .
（i） 若四边形 的周长为12，求直线 的方程；
（ii） 设直线 与 交于点 ，记 与 的面积之和为 ，求 的取值范围.
【答案】 （1） ；(2)（i） ；（ii） .
【详解】
（1） 由距离之比得轨迹为椭圆， ， ， ，方程为 .
（2）（i） 设直线 ，与椭圆联立，用韦达定理表示弦长和四边形周长，由周长为12解得 ，直线为 .
（ii） 求出 与 的交点 ，面积之和 ，换元求值域得 .
【易错警示】 常见错误是联立方程后计算弦长公式出错，或求交点坐标时化简错误.防错方法：严格按照弦长公式和点斜式方程逐步计算.
【规律总结】 通法：椭圆中与焦点弦相关的综合问题，常设直线方程与椭圆联立，利用韦达定理表示几何量，最后转化为函数最值.
【一题多解】
解法一（韦达定理法）：如上述，设直线方程联立，用参数表示各点坐标及长度.
解法二（参数方程法）：利用椭圆的参数方程表示 点，直接计算长度和面积.
对比：韦达定理法计算量适中，是通法；参数方程法在涉及角度或对称性时更便捷.
19.（17分）（2026·山东·核心素养评估）
已知函数 和 ，直线 与两条曲线 和 共有四个不同的交点.
（1） 求 的取值范围；
（2） 求与这两条曲线都相切的直线的条数；
（3） 从左到右四个交点的横坐标分别记为 ，是否存在 ，使得 依次成等比数列？请说明理由.（注： ， ）
【答案】 （1） ；（2） 2条；（3） 存在唯一的 ，理由见详解.
【详解】
（1） 求导分析 和 的单调性与极值，画出图象，得 的取值范围为 .
（2） 设切点，利用切线相同列出方程，构造函数 ，求导研究零点个数，得共2条公切线.
（3） 由四个交点的关系推导出等比数列条件，转化为方程，利用函数零点存在性定理证明存在唯一的 满足条件.
【易错警示】 常见错误是忽略函数的定义域限制，或在研究隐零点时判断失误.防错方法：先明确定义域，再结合图象和导数工具严谨分析.
【规律总结】 通法：双函数交点问题常通过分析各自单调性和极值，结合图象解决；公切线问题利用切点处函数值相等且导数值相等列方程组.
【一题多解】
解法一（导数分析法）：分别求导，确定单调区间和极值，借助零点存在定理讨论.
解法二（同构法）：观察 和 的结构，构造同构函数简化问题.
对比：导数分析法是基础通法，同构法技巧性强但可简化运算.
第 2 页，共 17 页中小学教育资源及组卷应用平台
2026年高考全国Ⅰ卷数学模拟卷（二）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
适用地区：江西、湖北、湖南、广东、山东、江苏、浙江、河南、安徽、福建、河北.
难度系数：0.56（0.85×5+0.85×5+0.60×5+0.70×5+0.65×5+0.60×5+0.60×5+0.45×5+0.70×6+0.60×6+0.45×6+0.75×5+0.75×5+0.45×5+0.60×13+0.55×15+0.50×15+0.45×17+0.35×17) ÷ 150 ≈ 0.56
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·广东湛江·二模） 已知集合 ，则 （ 　　）
A. B.
C. D.
2.（2026·山东·核心素养评估） 若 ，则复数 （ 　　）
A. 1 B. 1 C. i D. i
3.（2026·江西·三新协同教研共同体·阶段训练） 如图，在△ABC中， ， ， ， 是 边上靠近点 的三等分点，则 （ 　　）
A. 4 B. C. D.
4.（2026·河北·一模） 已知圆台上底面直径为2，下底面直径为4，母线长为3，则该圆台的体积为（ 　　）
A. B. C. D.
5.（2026·山东·核心素养评估） 在棱长为2的正方体 中，点 在正方体的棱上运动，则三棱锥 的体积的取值范围是（ 　　）
A. B. C. D.
6.（2026·山东·核心素养评估） 若定义在 上的奇函数 满足 ，则 （ 　　）
A. 1012 B. 1013 C. 1014 D. 1015
7.（2025 2026·浙江杭州·二模） 已知函数 的图象关于直线 对称，且 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
8.（2026·山东·核心素养评估） 已知函数 (a>1)，若对于任意 ， ，则实数 的取值范围为（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·浙江湖州、丽水、衢州·二模） 已知三组数据：①4，4，4，5，5，5，6，6，6；②3，3，4，4，5，6，6，7，7；③2，2，2，2，5，8，8，8，8的方差分别是 ， ， ，则（ 　　）
A.
B.
C.
D.
10.（2026·山东日照·模拟） 下列说法中正确的是（ 　　）
A. 一组数据1，1，2，3，5，8，13，21的第60百分位数为4
B. 两个随机变量的线性相关程度越强，则样本相关系数 的绝对值越接近于1
C. 根据分类变量 与 的成对样本数据，计算得到 ，根据小概率值 的 独立性检验： ，可判断 与 有关联，此推断犯错误的概率不超过
D. 若随机变量 服从正态分布 ，且 ，则
11.（2026·浙江嘉兴·二模） 已知函数 ，关于 的不等式 在区间 内的整数解的个数为 ，下列说法正确的是（ 　　）
A. 若 ，则
B. 若 ，则 的最小值为2
C. 若存在实数 ，使 ，则 的最小值为2
D. 若存在实数 ，使 ，则 的最大值为2
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·浙江金华十校·模拟） 双曲线 的离心率为 ____.
13.（2026·浙江宁波·二模） 若 ，则 ____.
14.（2026·山西·小高考五） 已知抛物线 的焦点为 ，直线 交抛物线于 、 两点，与 轴的交点为 ， 为坐标原点，且满足 ，记 、 的面积分别为 、 ，则 的最小值为 ____.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）（2026·山东·核心素养评估）
记数列 的前 项和为 ，已知 ， .
（1） 求 的通项公式；
（2） 设 ，证明数列 的前 项和 .
16.（15分）（2026·山东·核心素养评估）
如图，在四棱柱 中，底面 为平行四边形， 与 交于点 ， 在底面 的投影为 ， 为 中点，其中 .
（1） 证明：平面 平面 ；
（2） 求平面 与平面 夹角的余弦值；
（3） 求多面体 的体积.
17.（15分）（2026·浙江绍兴·二模）
某中学为推进数字化教学，引进了一套功能强大的人工智能助教系统，该系统集范例生成、自动出题、答疑解惑、运算推理与学习评价等功能于一体，可有效辅助学生学习.学生李华使用此系统后学科素养显著提升.已知他在完成两类数学习题时，每题答题结果相互独立且每题得分情况如下：
“几何”题：得6分的概率为 ，得3分的概率为 ；
“代数”题：得6分的概率为 ，得4分的概率为 .
（1） 若李华只做了4道“几何”题，求他的总得分不超过15分的概率；
（2） 若李华做了10道习题，先只做“几何”题，只有在“几何”题型上第二次得6分后，才选择换做（且后续只做）“代数”题，求他做的“几何”题数量多于“代数”题数量的概率；
（3） 若李华一共做了 道习题，先选择做“几何”题，并且后续选择习题的规则为：如果上一题没有拿到6分就继续做该类型的习题；反之，就选择做另一种类型的习题，求他做第 题的得分的数学期望.
18.（17分）（2026·山东·核心素养评估）
已知曲线 上任意一点到点 的距离与到直线 的距离之比为 .
（1） 求 的方程；
（2） 设直线 经过 交 于 两点，过点 分别作直线 的垂线，垂足分别为 .
（i） 若四边形 的周长为12，求直线 的方程；
（ii） 设直线 与 交于点 ，记 与 的面积之和为 ，求 的取值范围.
19.（17分）（2026·山东·核心素养评估）
已知函数 和 ，直线 与两条曲线 和 共有四个不同的交点.
（1） 求 的取值范围；
（2） 求与这两条曲线都相切的直线的条数；
（3） 从左到右四个交点的横坐标分别记为 ，是否存在 ，使得 依次成等比数列？请说明理由.（注： ， ）
答案解析
一、单选题
1.
答案速览：A
详解：
，
.
.
故 .
易错警示：常见错误是忘记求补集或对不等式解集端点开闭判断错误.防错方法：先正确解出每个集合，再按交集运算逐步求解.
规律总结：通法：解一元二次不等式和绝对值不等式时，需结合数轴确定区间端点及开闭.注意补集运算时端点取反.
2.
答案速览：D
详解：
由 ，得 ，即 ，
整理得 ，即 ，
解得 .
故 （注意符号）.
易错警示：常见错误是在移项或展开时出现符号错误.防错方法：每一步运算后代入检验.
规律总结：通法：将复数等式转化为代数方程求解，注意分母实数化技巧.
3.
答案速览：B
详解：
.
.
.
代入数值： ， ， ，
得 .
易错警示：常见错误是向量分解不正确或点乘运算时符号搞错.防错方法：严格按照向量的加减法和数量积公式计算，注意夹角.
规律总结：通法：将目标向量用基向量表示，再运用数量积运算律计算.
4.
答案速览：A
详解：
圆台上底面半径 ，下底面半径 ，母线长 .
高 .
体积 .
易错警示：常见错误是忘记圆台体积公式或半径计算错误.防错方法：熟记圆台体积公式 ，准确区分上下底半径.
规律总结：通法：求圆台体积需先求出高，利用轴截面直角三角形求解.
5.
答案速览：A
详解：
正方体棱长为2.三棱锥 的底面 是边长为 的正三角形，面积为 .
点 到平面 的距离 取决于 的位置. 在棱上运动时， 的最小值无限趋近于0（但取不到0），最大值当 与 重合时取到，此时 .
体积 .
，故 .
易错警示：常见错误是误以为 在某个位置时体积最大或最小.防错方法：明确底面固定，寻找点 到面的距离范围.
规律总结：通法：三棱锥体积的最值问题转化为底面固定时高的最值，利用线面关系求高.
6.
答案速览：C
详解：
由奇函数知 ，且 .
令 代入 ，得 ，无新信息.
令 ： .
令 ： ，验证成立.
递推可得周期为4： .
，故 .
又因 且奇函数 ，进一步结合条件可推得 .
易错警示：常见错误是周期或递推关系推导出错.防错方法：由已知条件赋值，逐步归纳周期规律.
规律总结：通法：抽象函数求值往往先赋值寻找特殊值，再结合奇偶性和周期性推出目标值.
7.
答案速览：A
详解：
由辅助角公式， .
图象关于直线 对称，则 ，
解得 .
由 ，取 得 .
易错警示：常见错误是辅助角公式中的相位计算失误，或对称条件使用不当.防错方法：牢记辅助角公式 ，对称轴条件为正弦函数取最值的位置.
规律总结：通法：对于正弦型函数，其图象关于直线 对称，等价于函数在 处取得最值.
8.
答案速览：A
详解：
当 时，恒成立需满足：
在 时， ，由于 时取等，得 ，即 .
在 时， ，分离参数得 .设 ，求导得 在 上递增，在 上递减，最大值为 ，故 .
综上 ，即选项 A.
易错警示：常见错误是只考虑一端限制或求导计算极值时出错.防错方法：分段处理，分别求最值，取交集.
规律总结：通法：含参分段恒成立问题，通常分别求出各段参数的允许范围，再求交集.
一题多解：
解法一（导数法）：如上述，构造 ，求导得最大值.
解法二（数形结合）：分别画出 和 的图象，寻找切点位置.
对比：导数法严谨通用；数形结合直观但需准确判断图象位置.
二、多选题
9.
答案速览：A
详解：
计算三组数据的方差：
第①组：数据集中于均值5附近，波动较小，方差约0.67.
第②组：数据较分散，方差约2.22.
第③组：两端数据极端，方差约10.67.
故 ，选 A.
易错警示：常见错误是凭感觉判断方差大小，不计算.防错方法：用方差公式或简便公式估算.
规律总结：通法：比较方差大小可直接看数据离散程度，也可用公式计算确认.
10.
答案速览：BD
详解：
A：数据个数8， ，第60百分位数为第5个数，即5，故A错误.
B：相关系数绝对值越接近1，线性相关程度越强，故B正确.
C： ，不能拒绝原假设，即认为无关，且犯错误概率超过0.005，故C错误.
D：由正态分布对称性， ，故 ，D正确.
易错警示：常见错误是混淆百分位数计算规则，或对独立性检验结论理解偏差.防错方法：明确百分位数是位置指标，独立性检验中P值大于α时不能拒绝原假设.
规律总结：通法：统计量判断题需对基本概念有清晰认识，如百分位数、相关系数、卡方检验、正态分布对称性等.
11.
答案速览：ACD
详解：
的周期为 .区间 包含337个完整周期及区间 .
对于 A： 时不等式化为 ，每个周期内有1个整数解，共338个，A 正确.
对于 B：若 ，需每个周期内2个整数解， 内含2个整数解需 足够大，最小为2，B 错误.
对于 C：存在实数 使 ，则 最小为2，C 正确.
对于 D：存在实数 使 ，则 最大为2，D 正确.
易错警示：常见错误是周期和整数解对应关系不清.防错方法：画出函数图象，观察一个周期内满足条件的整数解个数.
规律总结：通法：周期函数不等式的整数解问题，先分析一个周期内的解数，再推广到整个区间.
一题多解：
解法一（图象法）：画出 的图象，根据直线 和 的位置关系确定每个周期的整数解个数.
解法二（解析法）：解不等式 ，在一个周期内求出整数解.
对比：图象法直观快速；解析法严谨但计算稍繁琐.
三、填空题
12.
答案速览：
详解：
双曲线 中， ， ， ， ，离心率 .
易错警示：常见错误是误将 值弄反.防错方法：明确标准方程中 分母为 .
规律总结：通法：由双曲线标准方程直接求 ，代入 .
13.
答案速览： 2
详解：
，
解得 ，
，
，
.
易错警示：常见错误是两角差的正切公式符号记错.防错方法：牢记公式 .
规律总结：通法：利用两角和差的正切公式将已知条件转化为关于目标正切的方程.
14.
答案速览：
详解：
由焦点 得 ，故 ，抛物线方程为 .
设直线 ，交 轴于 ，代入抛物线得 .
设 ，则 ， .
由 ，解得 ，故 .
面积 ， 面积 .
由 ，知 与 异号，不妨设 ，则 ，且 .
于是 ，当且仅当 时取等号.
易错警示：常见错误是忽略 的符号导致绝对值处理不当，或基本不等式取等条件忘记验证.防错方法：由韦达定理先判断两根符号，再化去绝对值.
规律总结：通法：解析几何中涉及面积、数量积的问题，设直线方程联立曲线，用韦达定理将几何量坐标化，转化为函数最值问题.
四、解答题
15.
答案速览：（1） ；（2） 证明见详解.
详解：
（1） 由 ，当 时， ，得 .
当 时， ，
即 .又 ，故 是首项为2、公比为2的等比数列， .
（2） .
累加得 .
易错警示：常见错误是递推关系应用时忽略初始条件，或裂项相消时符号错误.防错方法：验证前几项确保公式正确.
规律总结：通法：已知 与 的关系求通项，利用 转化；裂项求和是处理分式型数列的常用技巧.
16.
答案速览：（1） 证明见详解；（2） ；（3） .
详解：
（1） 取 中点 ，连接 ，证 ，由 平面 得 平面 ，进而平面 平面 .
（2） 建立空间直角坐标系，求两平面的法向量，得夹角余弦值为 .
（3） 多面体 可分割为三棱锥 和三棱锥 .
三棱锥 ：底面 面积 ，高 ，体积 .
三棱锥 ：底面 面积 ，高为 到平面 的距离 ，体积 .
总体积 .
易错警示：常见错误是法向量计算失误或空间点坐标写错，体积分割时高求错.防错方法：建立坐标系后仔细确认各点坐标，法向量求解后验证垂直关系.
规律总结：通法：面面垂直常转化为线面垂直；二面角问题利用法向量夹角求解；不规则多面体体积常用割补法.
17.
答案速览：（1） ；（2） ；（3） .
详解：
（1） 设总得分不超过15分为事件M，包含4题均得3分或3题得3分1题得6分，概率为 .
（2） 设几何题数量为X.计算 （ ），求和得几何题多于代数题的概率为 .
（3） 设第 题选择几何题的概率为 （ ）.由状态转移： .
整理得 ，故 .
几何题期望得分 ，代数题期望得分 .
第 题期望 .
易错警示：常见错误是状态转移关系梳理不清，导致递推错误.防错方法：画树状图或状态转移图，明确各事件的概率转换关系.
规律总结：通法：马尔科夫链型概率问题，通常先建立相邻步骤间的递推关系，再利用数列知识求解通项.
18.
答案速览：（1） ；(2)（i） ；（ii） .
详解：
（1） 由距离之比得轨迹为椭圆， ， ， ，方程为 .
（2）（i） 设直线 ，与椭圆联立，用韦达定理表示弦长和四边形周长，由周长为12解得 ，直线为 .
（ii） 求出 与 的交点 ，面积之和 ，换元求值域得 .
易错警示：常见错误是联立方程后计算弦长公式出错，或求交点坐标时化简错误.防错方法：严格按照弦长公式和点斜式方程逐步计算.
规律总结：通法：椭圆中与焦点弦相关的综合问题，常设直线方程与椭圆联立，利用韦达定理表示几何量，最后转化为函数最值.
一题多解：
解法一（韦达定理法）：如上述，设直线方程联立，用参数表示各点坐标及长度.
解法二（参数方程法）：利用椭圆的参数方程表示 点，直接计算长度和面积.
对比：韦达定理法计算量适中，是通法；参数方程法在涉及角度或对称性时更便捷.
19.
答案速览：（1） ；（2） 2条；（3） 存在唯一的 ，理由见详解.
详解：
（1） 求导分析 和 的单调性与极值，画出图象，得 的取值范围为 .
（2） 设切点，利用切线相同列出方程，构造函数 ，求导研究零点个数，得共2条公切线.
（3） 由四个交点的关系推导出等比数列条件，转化为方程，利用函数零点存在性定理证明存在唯一的 满足条件.
易错警示：常见错误是忽略函数的定义域限制，或在研究隐零点时判断失误.防错方法：先明确定义域，再结合图象和导数工具严谨分析.
规律总结：通法：双函数交点问题常通过分析各自单调性和极值，结合图象解决；公切线问题利用切点处函数值相等且导数值相等列方程组.
一题多解：
解法一（导数分析法）：分别求导，确定单调区间和极值，借助零点存在定理讨论.
解法二（同构法）：观察 和 的结构，构造同构函数简化问题.
对比：导数分析法是基础通法，同构法技巧性强但可简化运算.
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