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河南省开封市六校2025-2026学年高二下学期期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列各项表示数列的是（）
A. △，○，☆，□ B.
C. 锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 D.
2.数列{}的前四项依次是9,99,999,9999,则数列{}的通项公式可以是( )
A. =9n B. =-1 C. = D. =9
3.已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A. << B. <<
C. << D. <<
4.已知m＞0，n＞0，直线与曲线y=3lnx-m+4相切，则的最小值是（　　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5.设等差数列{}的前n项和为,若+>0,++<0,则满足>0的n的最小值为( )
A. 8 B. 13 C. 14 D. 15
6.若将函数的图象绕坐标原点逆时针旋转可以得到另一个函数的图象，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
7.设数列满足，，则数列的通项公式等于（ ）
A. B. C. D.
8.已知正实数a，b满足aea-2＝e2025和b(ln b-2)＝e2028，则（ ）
A. e2028＜ab＜e2029 B. e2027＜ab＜e2028
C. e2026＜ab＜e2027 D. e2025＜ab＜e2026
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知等比数列，，，则（ ）.
A. 数列是等比数列 B. 数列是递增数列
C. 数列是等差数列 D. 数列是递增数列
10.下列命题正确的有（）
A. 已知函数在上可导，若，则
B.
C. 在 R上是增函数
D. 在处的切线斜率是
11.已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+1（a≠0），则下列说法正确的是（　　）
A. 若b=-3，且曲线y=f（x）的对称中心为（1，-2），则c=-1
B. 若b=-3，函数f（x）在R上单调递增，则ac≤3
C. 若bc＞0，且，则存在实数m,n（m≠n），使得f（m）=f（n）
D. 若c=0，b=-3a,且函数f（x）有两个极值点x1、x2，则x1+x2=2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线与曲线在处的切线垂直，则 ．
13.已知等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且，则的值为 .
14.已知数列的通项公式为，若数列中的最小项为3，则实数的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{}的前n项和为,且=2,=65.
(1)求数列{}的通项公式;
(2)求数列{}的前n项和为.
16.(本小题15分)
设函数，．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)求函数的单调区间．
17.(本小题15分)
已知函数．
若函数与的图象关于点对称，求的解析式；
当时，求的最大值；
判断函数在的零点个数，并说明理由．
18.(本小题17分)
已知，直线与曲线和都相切．
(1)求的值；
(2)若，其中．
（i）求实数的取值范围；
（ii）求证：．
19.(本小题17分)
已知数列满足．
(1)证明：求的值，并证明数列为等比数列；
(2)设，求数列的前项和；
(3)设，求证：．
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】ACD
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】【详解】（1）设等差数列的公差为，
则由等差数列求和公式得：，
又因为，所以可得，
即数列的通项公式为；
（2）由，
所以.

16.【答案】解：（1）根据题意，函数f（x）=ae2x-ex，
若f（0）=1，则f（0）=a-1=1，解可得a=2，
又由f（x）=2e2x-ex，则f′（x）=4e2x-ex，则f′（0）=3，
则y=f（x）在x=0处切线方程为y-1=3（x-0），即；
（2）根据题意，函数f（x）=ae2x-ex，其导数f′（x）=2ae2x-ex=ex（2aex-1），
当a≤0时，f′（x）=2ae2x-ex=ex（2aex-1）＜0，函数f（x）在R上为减函数；
当a＞0时，令f′（x）=0可得x=，
当x＜时，f′（x）＜0，则函数f（x）在（-∞，）上单调递减；
当x＞时，f′（x）＞0，则函数f（x）在（，+∞）上单调递增．
综合得，当a≤0时，f（x）的单调减区间为，无增区间；
当a>0时，f（x）的单调减区间为（-∞，），增区间为（ ，+∞）.
17.【答案】解：
（1）由题意得，F(x)=2-f(-x)=2-2(-x)+(-x)=+2-x-2x；
（2）由题意得，f'(x)=2x-1，x[0,]，令f'(x)=0，解得x=，
所以当x[0,)时，f'(x)>0；当x(,]时，f'(x)<0，
所以f(x)在[0,)上单调递增，在(,]上单调递减，
所以f(x)的最大值为f()=-;
（3）令g(x)=0，则(x+1)(2x-x)+1=0，整理得2x-x+=0，
令h(x)=2x-x+，则h'(x)=2x-1-，
当x(,)时，h'(x)<0，所以h(x)在(,)上单调递减，
又h()>0，h()<0，所以由零点存在性定理得，h(x)在(,)上存在唯一零点，
当x[,+)时，，，两个不等式等号无法同时成立，
∴h(x)=2x-x+<2-+<0，此时函数无零点，
综上所述，h(x)在(,+)上存在唯一零点，即函数g(x)在(,+)上的零点个数为1.
18.【答案】解:（1）．
设与的切点为，
则，解得，所以．
由与相切，同理得，
所以．
（2）（i）由得直线与有两个不同的交点，
与有两个不同的交点，
由（1）知，，，
在上单调递减，在上单调递增；
，，
在上单调递减，在上单调递增，
又，且；
，且，
作出函数和的图象，
由图象知的取值范围为．
（ii）不妨设，由（i）知，，
显然，且，所以，
同理，
要证，只需证，
只需证．又，只需证．
令函数，则，
所以函数在（0，1）上单调递增，
由得，所以显然成立，
综上，．

19.【答案】解：（1）当时，可得，
当时，可得，
因为，，
所以，
所以数列为首项为，公比为的等比数列.
（2）由（1）得，
则，
所以，
所以，
则，
所以
，
即；
（3）因为
，
所以
，即命题得证.

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