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2025-2026学年北京市昌平二中九年级（下）统练数学试卷（5）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中国经典纹样，千古流传，深受人们喜爱.下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. 如意纹 B. 风车纹
C. 冰裂纹 D. 柿蒂纹
2.关于二次函数y=-2（x-4）2+6，下列说法正确的是（　　）
A. 最大值4 B. 最小值4 C. 最大值6 D. 最小值6
3.如图，在△ABC中，O是边AB的中点.按下列要求作图：①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G，点G与点C在直线AB同侧；④作直线OG，交AC于点M.下列结论不一定成立的是（　　）
A. ∠AOM=∠B B. ∠OMC+∠C=180° C. AM=CM D. OM=AB
4.DeepSeek-V3是由中国AI初创公司杭州深度求索人工智能基础技术研究有限公司发布的LLM模型，于2024年12月发布，它具有Mixture-of-Experts架构，总共有671B个参数.这里“B”的含义是Billion,即1B等于十亿.将671B用科学记数法表示应为（　　）
A. 671×108 B. 671×1010 C. 6.71×1010 D. 6.71×1011
5.如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，将BC绕点B顺时针旋转θ（0°＜θ＜90°），得到BP，连接CP，过点A作AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数（　　）
A. 随着θ的增大而增大 B. 随着θ的增大而减小
C. 不变 D. 随着θ的增大，先增大后减小
6.如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=36°，分别以点A，C为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G.以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连接AG、AH.则下列说法错误的是（　　）
A. AG=CG B. ∠B=2∠HAB C. ∠AGH=2∠C D. GH=2BH
7.如图，直线AB，CD相交于点O，∠POC=∠AOC.若∠BOD=25°，则∠BOP的大小为（　　）
A. 25°
B. 120°
C. 130°
D. 155°
8.在平面直角坐标系xOy中，，，点C为平面内的动点，若点C满足∠ACB=120°，则点C为线段AB的“好点”，则下列说法正确的有（　　）
①（0，1）是“好点”；
②所有“好点”围成的区域面积为；
③当且t≠±1时，直线上有两个“好点”.
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.要使二次根式有意义，则a的取值范围是 .
10.分解因式：x2y-12xy+36y= .
11.方程的解为 .
12.如图，在 ABCD中，点E在边AD上，BA，CE的延长线交于点F.若AF=1，AB=2，则= .
13.如图，AB与⊙O相切于点C.点D，E分别在OA，OB上，四边形ODCE为正方形.若OA=2，则DE= .
14.把图1中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图3所示的正方形，则图1中菱形的面积为______.
15.如图，点O是正方形ABCD的中心，.在Rt△BEF中，∠BEF=90°，EF过点D，BE，BF分别交AD，CD于点G，M，连接OE，OM，EM.若BG=DF，，则OE+OM的值为 .
16.小云被邀请玩一个拍灯挑战，规则如下：桌面上有40盏无差别的小灯，每个灯只有两种状态：亮或者暗，玩家可以通过拍灯来切换一盏灯的亮暗状态，但是每一盏灯只能拍一次.现40盏小灯中，已知有15盏灯亮，其余都是暗的.要求玩家蒙上双眼，将40盏小灯分成2组，如果玩家可以只通过拍灯的方式，使两组中亮着的小灯数一样多，即算挑战成功.
（1）若将灯平均分成两组，经检查第一组里有5盏灯亮.如果只拍第一组的灯，则最少需要拍 盏，挑战成功.
（2）小云的做法是：从40盏灯中任意选出n盏作为一组，然后将这n盏灯逐一拍一下，结果他挑战成功了，那么n= .
三、计算题：本大题共2小题，共10分。
17.计算：.
18.解不等式组：.
四、解答题：本题共10小题，共92分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题5分)
已知a-b-3=0，求代数式的值.
20.(本小题5分)
某学校开展“浸润书香校园，品诗词之美”读书活动.现有A，B两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本A书籍和每本B书籍厚度的比为5：6，根据图中所给出的数据信息，求每本A书籍的厚度.
21.(本小题10分)
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE=DF，连接CF，射线AE和线段DC的延长线交于点G.
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若，DG=9，求线段CE的长.
22.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，函数y=kx+b（k≠0）的图象是由函数y=2x的图象平移得到，且经过点（1，3）.
（1）求函数y=kx+b的解析式；
（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y=mx-1（m≠0）的值既小于函数y=kx+b的值，也大于函数y=-kx的值，直接写出m的取值范围.
23.(本小题12分)
某校开展“争做文化代言人，我是北京小使者”系列活动，号召同学们走出校园了解北京文化，积极参与志愿服务.该校从七、八两个年级中各随机抽取10名学生进行知识测评，并统计了这些学生每周志愿服务时长.下面给出了该活动的部分信息.
a.七、八两个年级各10名学生每周志愿服务时长与知识测评得分情况统计图：
b.学生每周志愿服务时长与志愿服务得分对应表：
每周志愿服务时长/小时 1 2 3 大于3
志愿服务得分/分 60 70 80 90
c.每名学生的知识测评得分和志愿服务得分相加得到综合得分，综合得分不低于160分的学生可获得“北京小使者”奖章.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）在两个年级分别抽取的10名学生中，记七、八年级学生每周志愿服务时长的中位数分别为m1，m2，则m1______m2，记七、八年级学生知识测评得分的方差分别为，，则 ______（填“＞”“＜”或“=”）；
（2）某年级所抽取的10名学生的综合得分频数分布直方图如下（数据分6组：第1组120≤x＜130，第2组130≤x＜140，第3组140≤x＜150，第4组150≤x＜160，第5组160≤x＜170，第6组170≤x＜180）；
①该频数分布直方图反映的是______（填“七”或“八”）年级的学生得分情况；
②该年级知识测评得分最高的学生其综合得分位于第______组；
（3）该校七年级有120名学生，八年级有100名学生.若所有学生都参与了系列活动，则估计两个年级可获得“北京小使者”奖章的学生总人数为______.
24.(本小题10分)
如图，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D.连接AC，OC，过点A作OC的垂线，交OC，BC于点G，E，交⊙O于另一点F.
（1）求证：AE=AD；
（2）若，，求AD的长.
25.(本小题12分)
某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响.
添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降.添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内（0-120mg/kg），其保质期与浓度之间近似满足稳定的线性增长关系：dB=0.05c+3.
在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度（单位：mg/kg），测得面包的保质期（单位：天）数据如下：
添加剂浓度c（mg/kg） 0 20 40 60 80 100 120
保质期d（天） 3 5 8 10 9 7 4
（1）以添加剂浓度c为横坐标，保质期d为纵坐标，在给定的坐标系中描出表中各点，并用平滑曲线连接.
（2）①工厂分析发现，每增加10mg/kg添加剂，成本增加2元；而每延长1天/kg保质期，可减少5元的损失.若增加10mg/kg添加剂能使保质期延长超过______天，则增加浓度是有利的（保留一位小数）.
②若1kg面包从生产到售出的时间为10天，若保质期不足10天，则每短缺1天会造成5元的损失（不足1天的部分按比例计算）.当添加剂A浓度为40mg/kg时，总成本（添加剂成本与损失之和）为______元.
（3）①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂A比选择添加剂B可以节省______mg/kg的添加剂（保留整数）.
②当浓度c在______≤c≤______范围内时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多1天（保留整数）.
26.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2-2x+c（a≠0）与x轴交于点A（3，0）和点B，与y轴交于点C（0，-3），直线y=mx+n经过点（1，2）.
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点D（2m,0）作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线y=mx+n于点N.
①若m=1，求MN的长；
②若点M在抛物线上的点A与点B之间，连接BM，MA，AN，NB，当四边形NBMA的面积随m的增大而减小时，求m的取值范围.
27.(本小题8分)
已知，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=α（0°＜α＜45°），D为BC边上一动点（不与B，C重合），将线段CD绕点D顺时针旋转2α，得到线段DE，连接AE.
（1）如图1，当α=30°，且点E在AB边上时，连接CE，判断线段CE与BE之间的关系，并证明；
（2）如图2，当点E在△ABC内部时，在射线BC上有一点F，连接EF，使EF⊥AE，依据题意补全图形，并用等式表示线段DF与BD的数量关系，并证明.
28.(本小题10分)
在平面直角坐标系xOy中，对于封闭图形M，若存在两条平行直线l1和l2使得图形M被分为面积相等的三个部分，则称直线l1和l2为图形M的一组“三分平行线”，且称直线l1和l2间的距离为图形M的一个“三分距离”，记为d（M，l1-l2）.
如图，点A（0，3），B（6，3）.
（1）若图形M为正方形ABCD，其中点C在第四象限.
①已知直线l1：y=kx和l2：y=kx+b（b＜0）是正方形ABCD的一组“三分平行线”，则k=______，b=______，此时对应的“三分距离”d（正方形ABCD，l1-l2）=______；
②直接写出正方形ABCD的“三分距离”d的取值范围______；
（2）若图形M为菱形ABEF（EF在AB上方），点P为其边上的一点，若直线AP和直线l3为菱形ABEF的一组“三分平行线”，且其对应的“三分距离”d（菱形ABEF，AP-l3）≥1，直接写出点P纵坐标yP取值范围.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】
10.【答案】y（x-6）2
11.【答案】x=1
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】48
15.【答案】
16.【答案】5
15

17.【答案】．
18.【答案】解：，
解①，得x＜；
解②，得x≤1．
∴原不等式组的解集为x≤1．
19.【答案】．
20.【答案】解：设每本A书籍厚度为xcm,则每本B书籍的厚度为x cm,桌子高度为y cm,
由题意可得
解得
答：每本A书籍厚度为1cm.
21.【答案】（1）证明：在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE=DF，
∴AD∥BC，AD=BC，
∵BE=FD，
∴AD-FD=BC-BE．即AF=CE，
又∵AF∥CE，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，∠BCD=∠D=90°，AD=CD，
∴∠BAE=∠G，∠ECG=90°，
∴，
在Rt△ADG中，，DG=9，
∴AD=6，
∴CD=6，
∴CG=3，
在Rt△ECG中，，
∴CE=2．
22.【答案】y=2x+1．
-1≤m≤2且m≠0．
23.【答案】解：（1）＜ ，＞；
（2）①八；② 4；
（3）78.
24.【答案】（1）AB是⊙O的直径，点C为⊙O一点，过点A作⊙O的切线交BC的延长线于点D．
∵AD是切线，AB是直径，
∴AD⊥AB，即∠BAD=90°，
∴∠D+∠ABD=90°，
∵AF⊥OC，
∴∠CGF=90°，
∴∠GCE+∠GEC=90°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠AEC=90°，
∴∠D=∠AEC，
∴AD=AE；
（2）.

25.【答案】描点并连线为：
0.4;18 60;20;80
26.【答案】y=x2-2x-3 ①MN=6；②≤m≤
27.【答案】CE⊥BE，；证明见解析；
图见解析，DF=BD，证明见解析．
28.【答案】;-2;; 点P纵坐标yP取值范围为
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