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2025-2026学年福建省泉州市南安市侨光中学等校高二（下）第一次段考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.若，则=（　　）
A. 5 B. 20 C. 60 D. 120
2.函数y=x++2lnx的单调递减区间是（　　）
A. （﹣3，1） B. （0，1） C. （﹣1，3） D. （0，3）
3.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5=4，S15=28，则S10=（　　）
A. 12 B. 14 C. 16 D. 18
4.已知函数f（x）=f'（1）x3+x2，则f'（2）+f（2）=（　　）
A. -12 B. 12 C. -26 D. 26
5.已知等差数列{an}的公差d＜0，a5a7=35，a4+a8=12，记该数列的前n项和为Sn，则Sn的最大值为（　　）
A. 66 B. 72 C. 132 D. 198
6.某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（　　）
A. 540种 B. 180种 C. 360种 D. 630种
7.已知数列{an}满足2anan+1+an+1=3an，且，则使不等式成立的n的最大值为（　　）
A. 98 B. 99 C. 100 D. 101
8.已知实数，且，为自然对数的底数，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，a2=3，an+1=3an-2an-1（n≥2），则下列说法正确的有（　　）
A. 数列{an+1-an}为等差数列 B. 数列{an+1-2an}为等比数列
C. D.
10.甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（　　）
A. 若甲、乙、丙按从左到右的顺序排列，则不同的排法有12种
B. 若甲、乙不相邻，则不同的排法有72种
C. 若甲不能在最左端，且乙不能在最右端，则不同的排法共有72种
D. 如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，则不同的排法有24种
11.已知函数f（x）=x（x-3）2，若f（a）=f（b）=f（c），其中a＞b＞c,则（　　）
A. 1＜c＜2 B. b+c＞2
C. a+b+c=6 D. abc的取值范围为（0，4）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______种（用数字作答）.
13.数列{an}满足，则{an}的前100项和S100= .
14.若曲线与曲线g（x）=ax2（a＞0）有公共点，且在公共点处有公切线，则实数a= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
若，且a4=-560.
（1）求展开式中的常数项.
（2）求的值.
16.(本小题15分)
已知函数f（x）=x2 ex．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若函数y=f（x）-ax在定义域内有三个零点，求实数a的取值范围．
17.(本小题15分)
记Sn为数列{an}的前n项和，已知3Sn=4an-3n.
（1）证明：数列{an+1}是等比数列；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Tn.
18.(本小题17分)
已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x
（1）讨论f（x）的单调性
（2）当a＜0时，证明
19.(本小题17分)
已知数列{an}是等差数列，记其前n项和为Sn，且S3=a5，.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）将数列{an}与的所有项从小到大排列得到数列{bn}.
①求{bn}的前20项和；
②证明：.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】BCD
10.【答案】BD
11.【答案】BCD
12.【答案】64
13.【答案】7700
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为，
依题意，，
因此，解得a=1，
当x=0时，，，
所以a0=-1，a1=14，
展开式中的常数项为-15；
（2）当时，，
因此，
所以，
所以．
16.【答案】解：由题意可知函数f（x）的定义域为R．
（Ⅰ）因为f（x）=x2 ex．
所以f′（x）=ex（x2+2x），
由f′（x）=0，得x1=-2，x2=0，
当x＜-2时，f′（x）＞0，函数单调递增，当-2＜x＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减，当x＞0时，f′（x）＞0，函数单调递增，
因此，当x=-2时，f（x）有极大值，并且极大值为f（-2）=；
当x=0时，f（x）有极小值，并且极小值为f（0）=0．
（Ⅱ）因为y=f（x）-ax=x2 ex-ax，
所以x=0为一个零点．
所以“函数y=x2 ex-ax，在定义域内有三个零点”可以转化为“方程a=xex有两个非零实根”．
令h（x）=xex，则h′（x）=（x+1）ex，
所以，当x＜-1时，h′（x）＜0，h（x）在（-∞，-1）上单调递减；
当x＞-1时，h′（x）＞0，h（x）在（-1，+∞）上单调递增；
当x=-1时，h（x）有最小值h（-1）=-．
若方程a=xex有两个非零实根，则h（-1）=＜a，即．
若a≥0，方程a=xex只有一个非零实根，
所以a＜0．
综上，．
17.【答案】令n=1时，由3Sn=4an-3n，
可得3a1=3S1=4a1-3，即得a1=3，
当n≥2时，由3Sn=4an-3n，可得3Sn-1=4an-1-3（n-1），
相减可得，3an=4an-4an-1-3，即有an=4an-1+3，
又由an+1=4（an-1+1），又a1=3，a1+1=4，
所以数列{an+1}是以4为首项，公比为4的等比数列．

18.【答案】解：（1）∵f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x，
∴f′（x）=+2ax+2a+1=，x＞0，
①当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
②当a＜0时，令f′（x）=0，解得x=-，
当x∈（0，-）时， f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，
当x∈（-，+∞）时， f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
综上所述当a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，函数f（x）在（0，-）上单调递增，在（-，+∞）上单调递减；
证明：（2）由（1）可知，当a＜0时，函数f（x）在（0，-）上单调递增，
在（-，+∞）上单调递减，
∴f（x）max=f（-）=-1-ln2--ln（-a），
从而要证，只要证-1-ln2--ln（-a）≤--2，
令t=-，则t＞0，问题转化为证明-t+lnt≤-1+ln2，
令g（t）=-t+lnt，则g′（t）=-+，
当0＜t＜2时，g′（t）＞0，函数g（t）单调递增，
当t＞2时，g′（t）＜0，函数g（t）单调递减，
∴g（t）≤g（2）=-1+ln2，即-t+lnt≤-1+ln2成立，
∴当a＜0时，成立．
19.【答案】；
①；②证明见解析．
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