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2025-2026学年福建省厦门外国语学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列实数中，是无理数的为（　　）
A. -4 B. 0.101001 C. D.
2.如图所示的零件的左视图是（　　）
A.
B.
C.
D.
3.下列运算正确的是（　　）
A. a2 a6=a8 B. （-2a）3=6a3 C. 2（a+b）=2a+b D. 2a+3b=5ab
4.实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若a与c互为相反数，则a，b，c中绝对值最大的数是（　　）
A. a B. b C. c D. 无法确定
5.如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C'在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度是（　　）
A. 60° B. 90° C. 120° D. 150°
6.如图，AB，AC是⊙O的弦，OB，OC是⊙O的半径，点P为OB上任意一点（点P不与点B重合），连接CP.若∠BAC=70°，则∠BPC的度数可能是（　　）
A. 70°
B. 105°
C. 125°
D. 155°
7.为提高学生防范新型冠状病毒的意识，某班组织全班50名学生参加了防疫知识竞赛，测试成绩如表，其中有两个数据被遮盖．
成绩/分 86 88 90 92 94 95 96 98 99 100
人数 ■ 2 ■ 1 4 5 6 6 10 7
下列关于成绩的统计量中，不受被遮盖的数据影响的是（　　）
A. 中位数和众数 B. 中位数和平均数 C. 众数和方差 D. 众数和平均数
8.如图，平行四边形ABCD的顶点A在x轴的负半轴上，顶点B，C，D都在反比例函数的图象上，且边BC经过原点O.则平行四边形ABCD的面积为（　　）
A. 8
B. 10
C. 12
D. 16
二、填空题：本题共7小题，每小题4分，共28分。
9.在实际生活中，常用正数、负数表示具有相反意义的量.如果把向东走80米记作+80米，那么向西走60米记作 米.
10.因式分解：4a2-b2= .
11.不等式3-x＞0解集为 .
12.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，点D为边AC的中点，BD=2，则BC的长为______．
13.某校初一年级开展“读书月”活动，并将授予该月阅读课外书籍4册以上（含4册）的学生“阅读之星”的称号．初一年级少先队大队委进行了随机调查，结果如表所示：
阅读册数 0 1 2 3 4 5
学生数 20 18 27 70 12 3
可以估计该年级学生获得此称号的概率是______．
14.一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：mm）如图所示，这枚古钱币的直径为 mm.
15.魏晋时期刘徽在其撰写的《九章算术注》中提到“不加借算”开平方的方法：，其中a取正整数且|r|最小，则用该方法计算约为 .（结果保留一位小数）
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题4分)
抛物线与x轴的一个交点为A（m,0），若-2≤m≤1，求k的取值范围.
17.(本小题9分)
计算：.
18.(本小题9分)
如图，在△ABC中，点D是BC的中点，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.求证：点D是EF的中点.
19.(本小题9分)
先化简，再求值：，其中.
20.(本小题9分)
为了响应“全民全运，同心同行”的号召，某学校要求学生积极参与体育运动，为了解学生身体素质，某班对20名女生一分钟跳绳个数进行了统计和分析：
数据收集（单位：个）：
150，199，160，152，182，162，176，194，182，178，151，175，161，163，167，179，182，185，192，198
数据整理：
数量/个 150≤x＜160 160≤x＜170 170≤x＜180 180≤x＜190 190≤x＜200
频数 3 a 4 4 4
数据分析：
平均数 众数 中位数
174.4 b c
问题解决：
（1）a=______，b=______，c=______；
（2）根据安徽中考体育细则规定，女生跳绳每分钟不低于172个为满分，则本次测试样本，满分人数为______；
（3）体育老师考虑到学生考场心态等问题，最终确定一半女生本次成绩为“稳满分”.敏敏同学跳了175个，她认为自己的成绩高于平均数，所以她应该也是“稳满分”，敏敏同学的说法是否正确，请说明理由.
21.(本小题9分)
已知矩形ABCD中，E为CD边上一点，连接AE，BE，F为EB上一点，且EF=ED.
（1）如图1，作⊙O，满足圆心O在AB上，且⊙O经过点A，F（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，如图2，若点B在⊙O上，求证：BA=BE.
22.(本小题9分)
某农户承包荒山种植某产品种蜜柚．已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示．
（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？

23.(本小题9分)
【实际问题】小明家住15楼.一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中，如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①所示）那么，电梯的长、宽、高和的最大值是多少米？
【类比探究】为了解决这个实际问题，我们首先探究下面的数学问题探究1：如图②所示，在△ABC中，AC⊥BC.若BC=a,AC=b,AB=c,则b与c有什么数量关系？
解：在△ABC中，∵AC⊥BC，∴BC2+AC2=AB2，即a2+b2=c2.
∵（a-b）2≥0，∴a2+b2-2ab≥0，∴a2+b2≥2ab,∴c2≥2ab,
∴c2+a2+b2≥2ab+a2+b2，∴2c2≥（a+b）2.
∵a,b,c均大于0，∴a+b与c之间的数量关系是.
探究2：如图③所示，在四边形ABCD中，AC是对角线，AB⊥BC，AC⊥CD.若AB=a,BC=b,CD=c,AD=d,则a+b+c与d之间有什么数量关系？
解：∵AB⊥BC，AC⊥CD，∴BC2+AB2=AC2，AC2+CD2=AD2，∴a2+b2+c2=d2
∵（a-b）2≥0，（a-c）2≥0，（b-c）2≥0，
∴a2+b2≥2ab,…
…
【归纳结论】
（1）当a1＞0，a2＞0， ，an＞0，m＞0时，若，则a1+a2+ +an与m之间的数量关系是______.
【问题解决】
（2）把探究2推理过程补充完整.
（3）小明家住15楼一天，他要把一根3米长的竹竿放入电梯带回家中，如果竹竿恰好刚能放入电梯中（如图①示），那么，电梯的长、宽、高和的最大值是______米.
【拓展延伸】
（4）公园准备修建一个四边形水池，边长分别为a米，b米，c米，d米，分别以水池四边为边向外建四个正方形花园，若花园面积和为900平方米，则水池的最大周长为______米.
24.(本小题9分)
在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2-ktx+t2-k.
（1）当k=3时，
①求证：抛物线与x轴有两个交点；
②若该二次函数的最小值为，求t的值；
（2）抛物线与x轴有两个交点A（a,0），B（b,0），其中a,b均为正整数，且a＜b.求证：（t-a）（t-b）≠0.
25.(本小题14分)
如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是⊙O上的两点，CE=CB，∠BCD=∠CAB，延长AE交BC的延长线于点F.
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，BD=4，求⊙O的半径；
（3）若BC=2AE，求sin∠CAB 的值.
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】-60
10.【答案】（2a+b）（2a-b）
11.【答案】x＜3
12.【答案】2
13.【答案】
14.【答案】26
15.【答案】5.4
16.【答案】k≤-或k≥1．
17.【答案】．
18.【答案】证明：∵CF∥AB，
∴∠ABC=∠FCD，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA），
∴DE=DF，
∴点D是EF的中点．
19.【答案】；．
20.【答案】5;182;177 12人 敏敏同学说法不正确．理由：一半女生确定为“稳满分”，则“稳满分”女生成绩应该大于或等于中位数177，而敏敏成绩虽然高于平均数，但还是小于中位数，所以敏敏同学说法不正确
21.【答案】见解析．
22.【答案】解：（1）设y与x的函数关系式为y=kx+b，
将点（10，200），（15，150）代入y=kx+b，得：
，解得：，
∴y=-10x+300．
当y=0时，-10x+300=0，
解得：x=30．
∴y与x的函数关系式为y=-10x+300（8≤x＜30）．
（2）设每天获得的利润为w元，
根据题意得：w=y（x-8）=（-10x+300）（x-8）=-10x2+380x-2400=-10（x-19）2+1210．
∵a=-10＜0，
∴当x=19时，w取最大值，最大值为1210．
答：当蜜柚定价为19元/千克时，每天获得的利润最大，最大利润是1210元．
23.【答案】 ∵ AB⊥BC，AC⊥CD，∴BC2+AB2=AC2，AC2+CD2=AD2，
∴a2+b2+c2=d2
∵（a-b）2≥0，（a-c）2≥0，（b-c）2≥0，
∴a2+b2≥2ab，a2+c2≥2ac，b2+c2≥2bc．
将上面三式相加得，2a2+2b2+2c2≥2ab+2ac+2bc，
∴2d2≥2ab+2ac+2bc．
∴2d2+a2+b2+c2≥2ab+2ac+2bc+a2+b2+c2．
∴3d2≥（a+b+c）2．
∵a，b，c，d均大于0，
∴a+b+c与d之间有这样的数量关系： 60
24.【答案】①①当k=3时，抛物线的解析式为y=x2-3tx+t2-3，
∴Δ=（-3t）2-4（t2-3）
=9t2-4t2+12
=5t2+12，
∵t2≥0，
∴5t2≥0，
∴5t2+12≥12＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点；②t=2或t=4 当y=0时，x2-ktx+t2-k=0，
∵抛物线与x轴有两个交点A（a，0），B（b，0），
∴a+b=kt，ab=t2-k，
∴（t-a）（t-b）
=t2-at-bt+ab
=t2-（a+b）t+ab
=2t2-kt2-k，
假设（t-a）（t-b）=0，则t=a或t=b，
当t=a时，则a2-ka2+a2-k=0，
∴，
∴，
∵a为正整数，
∴（a-1）2≥0，
∴a2-2a+1≥0，即2a≤a2+1，
∴，
∴，
∴，这与a＜b矛盾，
∴t=a不成立；当t=b时，同理可得，，
∵a、b都是正整数，
∴一定要是整数，
∴，
∴b=1，这与a、b都是正整数，且a＜b矛盾，
∴t=b不成立，
∴（t-a）（t-b）=0这个假设不成立，
∴（t-a）（t-b）≠0
25.【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
又∵∠BCD=∠CAB，
∴∠BCD+∠OCB=90°，
∴∠OCD=90°，
即OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△ABC中，tan∠CAB==，
∵∠BCD=∠CAB，∠D=∠D，
∴△DBC∽△DAC，
∴===，
∴，
∴CD=6，
∴，
∴AD=9，
∴AB=AD-BD=9-4=5，
∴⊙O的半径=AB=；
（3）解：设AB=a,AE=k,则BC=EC=2k,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACE=90°，
∵CE=CB，
∴，
∴∠FAC=∠BAC．
在△BAC和△FAC中，
，
∴△BAC≌△FAC（ASA），
∴AB=AF=a,BC=FC=2k,
∴EF=AF-AE=a-k,FB=4k.
∵∠FCE为圆内接四边形ABCE的外角，
∴∠FCE=∠FAB，
∵∠F=∠F，
∴△FCE∽△FAB，
∴，
∴，
∴k=a或k=a（负数不合题意，舍去），
∴sin∠CAB=．
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