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2025-2026学年重庆市渝北中学教育集团九年级（下）第二学月数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.-3的相反数是（　　）
A. -3 B. 3 C. D.
2.下列四种新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列调查中，最适宜采用全面调查（普查）的是（　　）
A. 调查某校九年级3班体育中考的情况
B. 调查一批“遥遥领先”手机电池的使用寿命
C. 调查全国中学生每天作业完成的时间
D. 调查我市中学生观看2026年央视春晚的情况
4.如图，已知△ABC与△DEF位似，位似中心为O，且△ABC与△DEF的面积之比是16：9，则AC：FD的值为（　　）
A. 6：4
B. 4：3
C. 4：7
D. 9：5
5.如图，圆内接四边形ABCD中，圆心角∠BOC=120°，则∠BAC等于（　　）
A. 100°
B. 120°
C. 130°
D. 150°
6.若反比例函数的图象经过A（3，-4），B（a-1，-6）两点，则a的值为（　　）
A. -3 B. 3 C. 2 D. -6
7.用五角星按如图所示的规律拼图案，其中第1个图案中有4个五角星，第2个图案中有6个五角星，第3个图案中有8个五角星，第4个图案中有10个五角星，…，按此规律排列下去，则第9个图案中五角星的个数为（　　）
A. 16 B. 18 C. 20 D. 22
8.某新能源企业第一个月生产钠离子电池成本为605万元，因技术升级，生产成本逐月下降，第三个月生产钠离子电池成本为500万元.设该企业每个月生产钠离子电池成本的平均下降率为x,根据题意可列方程为（　　）
A. 605（1-x）=500 B. 605（1-x2）=500
C. 605（1-2x）=500 D. 605（1-x）2=500
9.如图，正方形ABCD中，点F是对角线BD上一点，连接CF，将△BCF沿直线CF翻折到正方形ABCD所在平面内，得到△B′CF，B′落在正方形内部，CB′交BD于点G，延长FB′交AB于点E，连接DE，若∠DEF=90°，则为（　　）
A.
B.
C.
D.
10.已知整式，其中n,an，an-1， ，a1为正整数，且1≤an≤an-1≤ ≤a1≤n.下列说法：①当n=3时，则满足条件的所有整式M3有且仅有10个；②记所有整式M2的和为S，若为整数，则满足条件的所有整数x之和为-4；③当an an-1 … a1 n=24时，则满足条件的所有整式Mn有且仅有7个.其中正确的个数是（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.在一个不透明的盒子里装有2个红球，3个黄球，这些球除了颜色外没有其他任何区别，从中随机抽取一个，抽到黄球的概率是 .
12.如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC交直线CD于点E，若∠E=23°，则∠BCD的度数为 .
13.若a是整数，满足，则a的值为 .
14.若实数x,y同时满足x-2|y|=4，|x|-2y=8，则xy的值为 .
15.如图，平行四边形ABCD的顶点A，B，C在⊙O上，点A为弧BAC的中点，DC交⊙O于点E，连接AE并延长交BC的延长线于点F，连接DF，若⊙O的直径为10，BC=8，则AB= ，DF= .
16.若规定：一个四位自然数M=，若满足（a+d）（b+c）=150，且a+d＞b+c,则称这个四位数M为“满分数”.例如：四位数6289，因为（6+9）×（2+8）=150，所以6289是“满分数”.按照这个规定，最大的“满分数”为 ..若M是一个“满分数”，M的前两位数字所组成的两位数记为u=，M的后两位数字所组成的两位数记为v=，若u+v除以7余数为2，且2u-v能被5整除，则满足条件的自然数M为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
求不等式组的所有整数解.
解：解不等式①，得______，
解不等式②，得______，
将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示：
∴不等式组的解集为______.
∴整数解为x=______.
18.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，E为线段DB延长线上的一点，连接AE.请完成以下作图和填空：
（1）在平行四边形ABCD的外部，用尺规作∠DCF=∠BAE，且CF交直线BD于点F，连接CE，AF.
（2）在（1）问的条件下，求证：四边形AECF是平行四边形.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴①______，
∵∠ABD+∠ABE=180°，
∠CDB+∠CDF=180°，
∴②______，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴③______，∠AEB=∠CFD，
∴④______，
∴四边形AECF是平行四边形.
19.(本小题10分)
国际数学日是联合国教科文组织于2019年设立的全球性节日，定于每年3月14日（即圆周率日，π≈3.14）.在2026年国际数学日到来之际，某校举办了”数学节“竞赛活动.现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析.所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A.60＜x≤70；B.70＜x≤80；C.80＜x≤90；D.90＜x≤100），下面给出了部分信息：
七年级20名学生的竞赛成绩为：61，63，65，68，72，73，76，81，85，86，88，88，88，89，92，94，95，97，99，100.
八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，83，84，87，88，89.
七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 83 83
中位数 87 a
众数 b 91
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a=______，b=______，m=______；
（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有2000名学生，八年级有1600名学生参加了此次竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩优秀（x＞90）的学生人数一共是多少？
20.(本小题10分)
先化简，再求值：，其中.
21.(本小题10分)
2026年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”.某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售.
（1）若购进甲型机器人3台，乙型机器人2台，共耗资2.1万元；若购进甲型机器人2台，乙型机器人5台，共耗资2.5万元.求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？
（2）在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入12万元分别进行采购，因技术升级，甲型机器人的进价每台降低a万元，乙型号机器人的进价每台降低0.8a万元.则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的，求a的值.
22.(本小题10分)
在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点E为BC的中点，动点P以每秒1个单位的速度从点E沿折线E→B→A运动，同时动点Q以每秒2个单位的速度沿折线A→D→C运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接EP，EQ，PQ.设运动时间为x秒（0＜x＜5），△PQE的面积为y1，△ABE的面积与点P的运动路程之比为y2.
（1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式；
（2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2的图象，并根据图象分别写出函数y1，y2的一条性质；
（3）结合函数图象，请直接写出当y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）.
23.(本小题10分)
如图，A，B，C，D是某科技公司的四个试验基地，且A，B，C，D在同一平面内，B位于A的正东方向60km处，D位于A的南偏东30°方向40km米处，C位于B的正南方向，D位于C的南偏西60°方向.（参考数据：）
（1）求B和C两试验基地之间的距离；（结果保留整数）
（2）现甲从A基地出发沿AD前往D地办公，乙从B基地出发沿BA方向前往A基地，两人同时出发，乙的速度是甲速度的2倍.当两人的距离是甲到A基地距离的倍时，甲距离A基地多少千米？（结果保留整数）
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）与直线交于点B和D，与坐标系交于A、B、C三点，已知A（-2，0），点B在x轴上，点E为直线与y轴交点.
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是第一象限内抛物线上的一动点，过点P作PF∥y轴，交BD于点F，点M为线段PF上的一动点，MN⊥y轴，垂足为N，连接DN、BM.当取得最大值时，求BM+MN+DN的最小值；
（3）将该抛物线沿射线BD方向平移个单位得到新抛物线y′，连接BC并延长BC，在第二象限与新抛物线交于点H，点K为新抛物线上一点，当∠CHK=∠ABD+45°时，直接写出所有符合条件的点K的坐标，并写出其中一个点的求解过程.
25.(本小题10分)
在△ABC中，∠ACB=60°，CD平分∠ACB，点E为CD上一点，连接AE.
（1）如图1，连接BE并延长至点F，使EF=EA，EF交AC于点P，连接AF，当∠ABC=80°，且BE平分∠ABC时，求∠AFE的度数；
（2）如图2，延长AE至点F，使得AE=EF，连接CF.点G为线段BC上一动点，连接EG，将EG绕点E顺时针旋转60°至线段EH，H在CD下方，连接DH，若∠ADC+∠DCB=∠ACF，试猜想线段CG、DH、CE之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，在（2）的条件下，若∠B=45°，AC=4，当EH取得最小值时，求△BDH的面积.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】B
10.【答案】D
11.【答案】
12.【答案】46°
13.【答案】3
14.【答案】
15.【答案】4
2

16.【答案】9916
7468

17.【答案】x＞-3 x≤2 -3＜x≤2 -2或-1或0或1或2
18.【答案】作图如下：
∠ ABD=∠CDB;∠ABE=∠CDF;AE=CF;AE∥CF
19.【答案】87.5;88;40 八年级的学生竞赛成绩更好，七年级、八年级学生的平均竞赛成绩均为83分，且八年级学生的竞赛成绩众数91分高于七年级学生的竞赛成绩的众数88分．（答案不唯一） 估计该校七、八年级参加此次竞赛成绩为优秀的学生人数共有1240人
20.【答案】，-4．
21.【答案】甲型机器人的每台进价为0.5万元，乙型机器人的每台进价为0.3万元 a的值为0.25
22.【答案】， y1，y2的图象如图所示：
y1性质：当0＜x≤3时，y1随x增大而增大，
当3＜x＜5时，y1随x增大而减小；y2性质：
当0＜x＜5时，y2随x增大而减小（答案不唯一） 0＜x＜1.7
23.【答案】B和C两试验基地之间的距离约为12km 当两人的距离是甲到A基地距离的倍时，甲距离A基地10km
24.【答案】 或K（-6，6）
25.【答案】60° ；理由如下：
∵∠ACB=60°，CD平分∠ACB，
∴，
∵∠ADC+∠DCB=∠ACF，
在BG上取一点K，连接EK，使得EK=EC，过点E作EM⊥BC于点M，如图2，
∴∠EKG=∠BCD=30°，
∵∠DCB=∠ACD，∠ADC+∠DCB=∠ACF，
∴∠ADC+∠ACD=∠ACF，
∴∠ADC=∠ACF-∠ACD=∠DCF，
在△AED和△FEC中，
，
∴△AED≌△FEC（AAS），
∴DE=CE=EK，
∴∠DEK=∠EKG+∠BCD=60°，
EG绕点E顺时针旋转60°至线段EH，
∴∠DEH+∠HEK=∠GEK+∠HEK=60°，EG=EK，∠GEH=60°，
∴∠DEH=∠GEK，
在△EHD和△EGK中，
，
∴△EHD≌△EGK（SAS），
∴DH=GK，∠EDH=∠EKG=30°，
∵∠BCD=30°，EK=EC，EM⊥BC，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
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