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2026年吉林省长春市榆树市部分学校九年级（下）段测数学试卷（五）
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在数-3，-2，0，3中，大小在-1和2之间的数是（　　）
A. -3 B. -2 C. 0 D. 3
2.下列计算正确的是（　　）
A. x2 x3=x6 B. （x-1）2=x2-1 C. （xy2）2=x2y4 D. =-4
3.不等式3x+10≤1的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B. C. D.
4.将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是（　　）
A. 等腰三角形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形
5.如果一个多边形的每一个外角都等于60°，那么这个多边形是（　　）
A. 六边形 B. 七边形 C. 八边形 D. 九边形
6.如图，在△ABC中，∠C=90°．用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到点A、点B的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　）
A. B.
C. D.
7.在校园歌手比赛中，6位评委给某位选手打分，在统计数据时，发现其中一位评委给了这位选手一个特别高的评分，则下列统计量中能比较恰当地反映该选手水平的是（　　）
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
8.如图，平行四边形ABCD的顶点A在反比例函数的图上，点B在y轴上，点C、点D在x轴上，AD与y轴交于点E，若S△BCE=3，则k的值为（　　）
A. 3
B.
C. 6
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.分解因式：x3-4x= ．
10.使分式有意义的x的取值范围为 ．
11.如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为α，则夹角α的正弦值为 .
12.如图，平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射后，折射光线BE，DF交于主光轴上一点G.若∠ABE=130°，∠CDF=150°，则∠EGF的度数是 .
13.如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC=90°.若AC=4，BC=8，则DF的长是 .
14.如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH=BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，则以下结论：①；②；③BE平分∠CBD；④2AB2=DE DH.上述结论中，正确结论的序号有 .
三、计算题：本大题共1小题，共7分。
15.计算：（）-1-tan60°+-|-2|．
四、解答题：本题共9小题，共71分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题7分)
王师傅检修一条长600米的自来水管道，计划用若干小时完成，在实际检修过程中，每小时检修管道长度是原计划的1.2倍，结果提前2小时完成任务，王师傅原计划每小时检修管道多少米？
17.(本小题7分)
生活在数字时代的我们，很多场合用二维码（如图①）来表示不同的信息，类似地，可通过在网格中，对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息，例如：网格中只有一个小方格（如图②），通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息.
（1）用树状图（或列表）的方法，求图③可表示不同信息的总个数（图中标号1、2表示两个不同位置的小方格，下同）；
（2）图④为2×2的网格图，它可表示不同信息的总个数为______.
18.(本小题7分)
图①、图②、图③均是2×2的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、D、E、F、G、H、O均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹.
（1）在图①中，画出△ABC的对称轴；
（2）在图②中，点P是线段DE上的一点，画出点P关于直线l的对称点Q1；
（3）在图③中，点M是线段OG上一点，在线段OH上确定一点N，使得OM=ON.
19.(本小题7分)
某校为了解九年级学生周末家务劳动时长的情况，随机抽取了50名学生，调查了这些学生某一周末家务劳动时长（单位：分钟）的数据，并对数据（保留整数）进行整理、描述和分析，下面给出部分信息：
a.学生家务劳动时长的数据在70≤x＜80这一组的具体数据如下：
72，72，73，74，74，75，75，75，75，75，75，76，76，76，77，77，78，79
b.学生家务劳动时长的数据的频数分布直方图如图：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）补全频数分布直方图；
（2）学生家务劳动时长的数据的中位数为______；
（3）若该校九年级有学生500人，估计该校九年级学生家务劳动时长至少90分钟的有______人.
20.(本小题7分)
如图，等腰△ABC是⊙O的内接三角形，AB=AC，过点A作BC的平行线AD交BO的延长线于点D．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为15，sin∠D=，求AB的长．
21.(本小题7分)
已知A、B两地之间有一条笔直公路，甲车从A地出发匀速去往B地，到达B地后立即以原速原路返回A地，乙车从B地出发匀速去往A地，两车同时出发，乙车比甲车晚20分钟到达A地．甲车距A地的路程y（千米）与甲车行驶的时间x（分钟）之间的函数关系如图所示．
（1）在图中画出乙车距A地的路程y（千米）与x（分钟）之间的函数图象，并求出它所对应的函数关系式．（写出自变量x的取值范围）
（2）甲、乙两车在行驶过程中相遇了______次．
（3）求甲车到B地时，乙车距A地的路程．
22.(本小题7分)
综合与实践
[情境]要将矩形铁板切割成相同的两部分，焊接成直角护板（如图1），需找到合适的切割线.
[模型]已知矩形ABCD（数据如图2所示）.作一条直线MN，使MN与BC所夹的锐角为45°，且将矩形ABCD分成周长相等的两部分.
[操作]嘉嘉和淇淇尝试用不同方法解决问题.
[探究]根据以上描述，解决下列问题.
[拓展]操作和探究中蕴含着一般性结论，请继续研究下面的问题.
如图3，嘉嘉的思路如下：
①连接AC，BD交于点O；
②过点O作EF⊥BC，分别交BC，AD于点E，F
…
如图4，淇淇的方法如下：
①在边BC上截取BG=AB，连接AG；
②作线段GC的垂直平分线l,交BC于点M；
③在边AD上截取AN=GM，作直线MN.
（1）图2中，矩形ABCD的周长为______；
（2）在图3的基础上，用尺规作图作出直线MN（作出一条即可，保留作图痕迹，不写作法）；
（3）根据淇淇的作图过程，请说明图4中的直线MN符合要求.
（4）如图5，若直线PQ将矩形ABCD分成周长相等的两部分，分别交边AD，BC于点P，Q，过点B作BH⊥PQ于点H，连接CH.
①当∠PQC=45°时，求tan∠BCH的值；
②当∠BCH最大时，直接写出CH的长.
23.(本小题7分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，BC=8，点P是线段AB上一点，作点A关于PC的对称点D，连接CD，DP.
（1）当点D落在AB上时，求AP的长；
（2）当点D落在△ABC内部时，求AP的取值范围；
（3）当PD平行于△ABC的一边时，求线段AP的长度；
（4）当∠DCB=∠B时，直接写出AP的值.
24.(本小题15分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0），B（3，0），顶点为C，与y轴交点为D.点P是抛物线上一个动点，其横坐标为m.
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）过点D作DE垂直抛物线的对称轴于点E，求tan∠DCE的值；
（3）设抛物线在P、A两点之间的部分图形为G（包含P、A两点），设图象G的最高点与最低点的纵坐标之差为d,当2≤d≤4时，求m的取值范围；
（4）已知平面内一点Q的坐标为（m+1，-m），点M的坐标为（m,-m），连结PM、QM，以PM、QM为边构造矩形PMQN.当抛物线在矩形内的部分所对应的函数值y随x的增大而增大，或者y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】x(x+2)(x-2)
10.【答案】x≠1
11.【答案】
12.【答案】80°
13.【答案】6
14.【答案】③④
15.【答案】解：原式=2-+-2+=．
16.【答案】解：设原计划每小时检修管道x米．
由题意，得-=2．
解得x=50．
经检验，x=50是原方程的解．且符合题意．
答：原计划每小时检修管道50米．
17.【答案】4 16
18.【答案】解：（1）如图①所示；
（2）如图②所示；
（3）如图③所示．
19.【答案】解：（1）学生家务劳动时长在70≤x＜80的有18人，
因此补全的频数分布直方图如下：
（2）74.5；
（3）40．
20.【答案】解：（1）连接OA并延长，交BC于点E，
∵AB=AC，
∴，
∴AE⊥BC，
∵AD∥BC，
∴AD⊥OA，
则AD是⊙O的切线；
（2）Rt△AOD中，OA=15，sin∠D=，
∴，
∴OD=25，
∵AD∥BC，
∴△AOD∽△EOB，
∴，
∴，
∴EO=9，
根据勾股定理得：BE===12，
Rt△ABE中，AE=9+15=24，BE=12，
∴AB===12．
21.【答案】（1）∵乙车比甲车晚20分钟到达A地，
∴乙车用80分钟到达A地，
画出乙车距A地的路程y（千米）与x（分钟）之间的函数图象如下：
设乙车距离A的路程y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0），把（0，48）、（80，0）代入得：
，
解得，
∴y=-x+48（0≤x≤80）；
（2）2；
（3）从图象可知，甲车用=30（分钟）到B地，
当x=30时，y=-x+48=-×30+48=30（千米），
答：当甲车到达B地时，乙车距离A地的路程为30千米．
22.【答案】10 以点E为圆心EO为半径画弧，交BC于点M，延长MO交AD于点N，线段MN即为所求，
∵EF⊥BC，
∴∠BEF=90°，
∵EM=EO，
∴△EOM是等腰直角三角形，
∴∠OME=45°，
∵矩形ABCD的对角线交于点O，
∴AO=CO，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠AON=∠COM，
在△AON和△COM中，
，
∴△AON≌△COM，
∴AN=CM，
∴DN=BM，
∴AN+AB+BM=CM+CD+DN，
∴直线MN把矩形ABCD分成周长相等的两部分； ；
23.【答案】 A P=6或2 或6
24.【答案】解：（1）设：抛物线的表达式为：y=a（x-x1）（x-x2），
则y=-（x-1）（x-3）=-x2+4x-3；
（2）由抛物线的表达式知，点C（2，1），D（0，-3），
抛物线的对称轴为x=2，
则DE=2，CE=1+3=4，
则tan∠DCE=；
（3）点P（m,-m2+4m-3），
①当m≤1时，
抛物线在点A处取得最大值，在点P处取得最小值，
即d=0-（-m2+4m-3）=m2-4m+3，
即2≤m2-4m+3≤4，
解得：2-≤m≤2-（不合题意的值已舍去）；
②当1＜m＜3时，
同理可得：d=-m2+4m-3，
则2≤-m2+4m-3≤4，
解得：表达式无解；
③m≥3时，
则抛物线在顶点时取得最大值，在点P处取得最小值，
则2≤1+m2-4m+3≤4，
解得：2≤m≤4（不合题意的值已舍去）；
综上，2-≤m≤2-或2≤m≤4；
（4）当点P、M重合时，则-m2+4m-3=-m,解得：m=，
①当点M在点P的下方时，即＜m＜，
由题意得，PN=1，
当点P、N达到对称轴两侧对称的位置时，则m=1.5，这之前矩形内没有函数y的图象；
当m＞1.5时，形区域内的函数y随x的增大而减小（如图），
即＜m＜；
②当点M在点P的上方时，即m或m，
当点Q在对称轴左侧时，即m+1＜2，此时矩形内的抛物线y最x的增大而增大，
当点P离开顶点时，即m＞2，此时矩形内的抛物线y最x的增大而减小，
即m＜或m＞；
综上，m＜或＜m＜．
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