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河南开封市通许县第一高级中学等校2025-2026学年高一下学期联考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.下列物理量中，不是向量的是( )
A. 力　　　　　 B. 位移 C. 质量 D. 速度
2.设为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（ ）
A. 和 B. 和
C. 和 D. 和
3.已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则( )
A. a＋b＋c＋d＝0 B. a－b＋c－d＝0 C. a＋b－c－d＝0 D. a－b－c＋d＝0
4.2025年10月，某国产汽车完成一场百年汽车工业史上的创举——横渡长江，以硬核技术惊艳亮相，彰显中国汽车品牌创新实力.如图，此段长江的两岸近似看作平行，宽度约为1000米.若汽车从地出发，以的静水速度向对岸航行，水流速度为，要使航程最短，大约需要（ ）时间（单位：min）
A. B. C. 6 D. 12
5.若向量，记，则（ ）
A. B. C. D.
6.设向量绕点顺时针旋转得到向量，且，则向量（ ）
A. B. C. D.
7.已知在中，，则的外接圆半径为（ ）
A. 2 B. C. D. 3
8.在中，分别为的内角的对边，为边上一点，满足，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.下面给出的关系式中正确的是（）
A. B. C. D.
10.如图，点，分别是长方形的边，上两点且，，，则下面结论正确的是（ ）
A. 当时，是钝角三角形
B. 若，，则的值是
C. 当时，的面积最小值是
D. 当时，向量数量积的最小值是
11.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,若a2-b2=bc,则下列结论正确的是（　　）
A. A=2B
B. c=b+2bcosA
C. 若，角C的平分线交AB于点D，则
D. 若△ABC为锐角三角形，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. .
13.在△ABC中，点D满足，若对任意t∈R，均有，则cosA的最小值是 .
14.已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为平面ABC内一点，则的最小值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量，满足，，且与的夹角为.
(1)分别求与的值；
(2)若，求的值.
16.(本小题15分)
如图，在山脚测得山顶的仰角为，沿倾斜角为的斜坡向上走米到，在出测得山顶得仰角为，
(1)若，求坡面的坡比．（坡比是坡面的垂直高度与水平宽度的比值）
(2)求证;山高
17.(本小题15分)
在中，为直角，，，与相交于点M，连接，记，．

(1)试用，表示向量；
(2)在线段上取一点E，在线段上取一点F，使得直线过M，设，（，均为非零实数），求的值．
18.(本小题17分)
在中，内角所对的边分别为，已知.
(1)求；
(2)若，的面积为，求：
①边长的值；②的值．
19.(本小题17分)
布洛卡点是三角形内部的特殊点，由法国数学家亨利·布洛卡于19世纪提出，其定义如下：设P是内一点，若，则称点P为的布洛卡点，角为的布洛卡角.如图，在中，记它的三个内角分别为，其对边分别为的面积为S，点P为的布洛卡点，其布洛卡角为，请完成以下问题：
(1)若，求的大小及的值；
(2)已知的条件下，解下列两个问题：
①若，求的值；
②若，求S.
1.【答案】C
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】C
8.【答案】A
9.【答案】ABC
10.【答案】ACD
11.【答案】ABD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】解：（1）.
.
（2）因为，
所以，解得.

16.【答案】解：（1）坡面的坡比为
（2）在中,
在中,根据正弦定理
所以山高为

17.【答案】解：（1）设
，，三点共线，
存在非零实数使得，
，
①，
又，，三点共线，
存在非零实数使得，
，
又，
②
由①②解得：，
∴ ；
（2）由（1）知，
，，三点共线，
存在非零实数使得，
，
，
消去得．
∴.
18.【答案】解：（1）因为，
由正弦定理，可得，
又因为，
可得，
所以，即
因为，可得，所以，即，
又因为，所以.
（2）①因为，由正弦定理得，
所以的面积为
又因为的面积为，可得，解得，则，
由余弦定理得，所以；
②由正弦定理，可得，
因为，可得为锐角，所以，
则，
，
又因为，所以.

19.【答案】解：（1）
在中，，
所以，而为锐角，故，所以，
所以，而，故.
又，故，
在中，由正弦定理有，所以，
在中，由正弦定理有，所以，
所以，故.
（2）
因为，所以，即，
①，所以
在中，，
在中，，
在中，，
三式相加得
，
整理得：.
②又
又由①知，
所以，
故，
整理得：，
即，
所以，即，
所以.

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