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江西上饶市余干县沙港初级中学、育才学校等校2025-2026学年九年级下学期考前练习数学试题
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算的结果是（ ）
A. B. C. 0 D.
2.下列各图中，不是轴对称图案的是（）
A. B. C. D.
3.学校食堂为了优化午餐供应，希望了解全校学生“最喜欢的午餐菜品”．你认为以下抽样方法中比较合理的是（）
A. 调查全体走读生 B. 调查校篮球队全体队员
C. 调查七年级全体学生 D. 调查各年级中的部分学生
4.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
5.在探究“镁条燃烧时，参加反应的镁的质量与生成氧化镁的质量的关系”时，下列选项能正确反映两者函数关系的大致图象是（）
A. B.
C. D.
6.“水稻出米率”是指一定重量的稻谷，经过加工后所能得到的米粒重量与稻谷总重量的比值．如图描述了A，B，C，D四块试验田在丰收时的出米率y与稻谷产量x的情况．则这四块试验田在这次丰收中，最终产出的米粒重量最多的是（ ）
A. A B. B
C. C D. D
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
7.因式分解： ．
8.计算： ．
9.已知关于x的一元二次方程有一个根为，则 ．
10.一组按规律排列的代数式：，，，，…，则第n个式子是 ．
11.将一张长方形纸片按如图所示的方式沿虚线折叠，得到两个面积分别为25和7的正方形，则阴影部分的面积是 ．
12.如图，已知菱形的边长为4，，点P是图中线段上一点，且，连接，则的长为 ．
三、解答题：本题共11小题，共84分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
13.(本小题8分)
解下列问题
(1) 计算：；
(2) 如图，在菱形ABCD中，点E在边AD上，点F在边CD上，连接BE，BF，．求证：．
14.(本小题6分)
先化简，再求值：，其中．
15.(本小题8分)
为弘扬数学文化，学校举办了“数学之光”知识游园会．在活动中，表现优秀的小颖获得了如图所示的四枚定制书签，分别印有四位数学家的头像（A华罗庚、B陈省身、C陈景润、D苏步青），书签背面完全相同．活动最后，小颖随机选取两枚书签送给表妹．
(1) “小颖送给表妹的两枚书签中恰好有一枚印有华罗庚头像”是 ；A．必然事件 B．随机事件 C．不可能事件
(2) 求小颖送给表妹的两枚书签中恰好有一枚印有陈省身头像的概率．
16.(本小题8分)
如图，将放在由边长均为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C均落在格点上．请仅用无刻度直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法）；
(1) 如图1，在线段上找一点D，并连接，使得；
(2) 如图2，找出的外心P．
17.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点M，与反比例函数的图象交于点．
(1) 求反比例函数的解析式和的面积；
(2) 在x轴上取一点B，使，求直线的函数解析式．
18.(本小题8分)
如图，是的弦，点C是外一点，，交于点P，交于点D，直线与相切，连接．
(1) 求证：；
(2) 若，，点E是优弧上一动点（不与点B，D重合），连接，当的面积最大时．求：
①的长；
②图中阴影部分的面积．
19.(本小题8分)
为培养学生科学素养，某校科技社团计划分批采购四款机器人套件：巡线机器人、机械臂、无人机、智能小车．第一次采购巡线机器人2套，机械臂3套，共花费3800元；第二次采购巡线机器人15套，机械臂25套，共花费29000元．
(1) 求巡线机器人和机械臂每套的售价分别是多少元；
(2) 科技社团决定再次购买上述四款机器人套件，总费用不超过98000元，已知巡线机器人比无人机每套售价多400元，机械臂比智能小车每套售价少100元．若要使所有采购的套件能配套（四款机器人各一套为一组），那么这次最多能购买巡线机器人多少套？
20.(本小题8分)
如图1，这是一栋别墅的俯视图，其平面示意图大致为图2，点A，B，C在一条直线上，，，，，，，．（参考数据：，，，，，，结果保留小数点后一位有效数字）
(1) 求A，C两点间的距离；
(2) 求点F到的距离．
21.(本小题7分)
在线阅读是获取信息的常用方式．为了解读者对某热点文章的满意度，小川同学从某新闻网站阅读完该文章的男性、女性读者中各随机抽取20名进行满意度评分（十分制）的收集、整理与分析，所有读者的评分均高于7分（评分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）．下面给出了部分信息：
男性20名读者的评分为：
．
女性20名读者的评分在C组的数据是：
．
所抽读者的评分统计表
男性 女性
平均数 m 8.4
中位数 8.4 n
众数 a 8.2
(1) 上述图表中 ， ， ；
(2) 根据以上数据分析，你认为该文章在哪个性别的读者满意度较高？请说明理由（至少用两种统计量说明）；
(3) 若有900名男性、700名女性读者参与了此次评分，估计男性、女性认为该文章非常优秀（）的读者总人数．
22.(本小题8分)
已知抛物线：与y轴交于点M．其中自变量x与函数值y的部分对应值如下表：
x … 1 2 3 4 5 …
y … m 0 …
(1) ①抛物线的对称轴为直线______，______；
②求抛物线的解析式及点M的坐标；
(2) 如图，将抛物线绕点M旋转后，得到抛物线．
①抛物线的解析式为______；
②记抛物线，组合得到的新图象为S，图象S与过点M的直线有且仅有一个交点，请求出k的取值范围．
23.(本小题7分)
小超同学在探究矩形中的动点问题时，意识到“反A型”相似是一种有效的解题手段，为了深入探究，他继续针对相似问题中的“反A型”问题展开综合探究！
(1) 如图1，在中，，；点P，Q分别为边，上的点．
①若，且点P是的三等分点，则 ；
②若点P是的中点，且，则 ；
(2) 如图2，点D，E分别为等腰直角三角形的两直角边，上的动点，直角边且始终满足，以点D为圆心，的长为半径画弧并交线段于点F，连接，．若四边形是菱形，则的长是多少？
(3) 当图2中的点D运动到如图3所示的位置时，取的中点G，连接，若满足，则此时的长是多少？
1.【答案】C
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】-2
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】3或或
13.【答案】【小题1】
解：
．
【小题2】
证明：∵四边形是菱形，
∴，．
在和中
∴（），
∴．

14.【答案】解：原式
．
将代入得：原式．

15.【答案】【小题1】
B
【小题2】
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中小颖送给表妹的两枚书签中恰好有一枚印有陈省身头像的结果有6种，
∴．

16.【答案】【小题1】
解：如图所示：即为所求．（画法不唯一）
【小题2】
解：如图所示，点P即为所求．

17.【答案】【小题1】
解：将点代入函数得：，
∴反比例函数的解析式为；
∵直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，
∴轴，
∴，
∴的面积为．
【小题2】
解：设点的坐标为，
∵，
∴，，
∵，
∴，即，
解得或，
∴点的坐标为或，
设直线的函数解析式为，
①将点代入得：，解得，
∴直线的函数解析式为；
②将点代入得：，解得，
∴直线的函数解析式为；
综上，直线的函数解析式为或．

18.【答案】【小题1】
解：∵直线与相切，
∴，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【小题2】
解：①∵，，
∴，，
∵，则，
∴，
∴，
在中，，
∴，则，
∴，
当的面积最大时，点E到的距离最大，即点E为优弧的中点，如图所示，
∴，，
∴为等边三角形，此时，
∴．
②由①可知，，
∵，，
∴，
∴阴影部分的面积．

19.【答案】【小题1】
解：设巡线机器人每套的售价为x元，机械臂每套的售价为y元，
依题意得，
解得，，
答：巡线机器人每套的售价为1600元，机械臂每套的售价为200元．
【小题2】
解：无人机每套售价为（元），
智能小车每套售价为（元），
设这次购买巡线机器人m套，
∴，
解得，，
又∵m为整数，
∴m可以取的最大值为29，
答：这次最多能购买巡线机器人29套．

20.【答案】【小题1】
解：如图1，过点E作于点G．
则，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
【小题2】
解：如图2，过点A作交于点H，过点F作于点M，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴点F到的距离为．

21.【答案】【小题1】
8.4
8.2
8.4
【小题2】
男性读者对文章满意度较高．
理由如下：
∵男性、女性对文章的评分的平均数相同，但男性的中位数和众数比女性的高，
∴男性读者对文章的满意度较高．
【小题3】
女性读者评分在D组的百分比为，
（名）．
答：估计男性、女性认为该文章非常优秀()的读者人数一共有615名．

22.【答案】【小题1】
解：①由题意可知，当时，或4，
∴对称轴为直线，
∴当或5时，对应的函数值相等，
∴．
②把点，代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为．
当时，，
∴点．
【小题2】
解：①如图，设抛物线的顶点为点D，抛物线的顶点为点E，
当时，，
∴点．
将抛物线绕点M旋转后，得到抛物线，
∴点D与点E关于点M对称，抛物线的开口方向相反．
∵点，
∴，，
∴点，
∴抛物线的解析式为．
②∵直线经过点，
∴，即直线为．
当过点M的直线与有且仅有一个交点时，
令，即，
∴，解得；
当过点M的直线与有且仅有一个交点时，
令，即，
∴，解得．
∵当时，直线无限靠近y轴，与图象S有且仅有一个交点，
∴图象S与过点M的直线有且仅有一个交点时，k的取值范围是．

23.【答案】【小题1】
或3
4
【小题2】
解：根据题意，得，．
∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
设，由勾股定理得．
∵，
∴，
∴，
解得，
∴．
答：的长是．
【小题3】
解：根据题意得．
∵点G是的中点，
∴．
设，则，，，
∴，．
∵，
而，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
整理得，
解得或（不合题意，舍去），
∴．
答：此时的长是．

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