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四川自贡市荣县启明集团2025-2026学年八年级下学期第一次月巩固练习数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.使二次根式有意义的实数x的取值范围是（　　）
A. x≥3 B. x≤3 C. x＞3 D. x＜3
2.下列式子中，属于最简二次根式的是（）
A. B. C. D.
3.如果三边满足，那么的形状是（ ）
A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 锐角三角形 D. 直角三角形
4.下列运算正确的是（）
A. B. C. D.
5.实数为-的值是（）
A. 1与2之间 B. 2与3之间 C. 3与4之间 D. 4与5之间
6.设实数a，b在数轴上对应的位置如图所示，化简的结果是（ ）

A. -2a＋b B. 2a＋b C. -b D. b
7.化简的值为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
9.计算： ．
10.有一棵9米高的大树距离地面4米处折断（未完全断开），则大树顶端触地点距大树的距离为 米.
11.在实数范围内因式分解
12.在 △中，；若，，则= ．
13.如图，在中，，根据作图的痕迹可知，点表示的数为 ．
14.如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从A处爬向B处，已知，圆柱底面圆周长为，高为2，求蚂蚁走的最近距离是 ．
三、计算题：本大题共2小题，共19分。
15.计算：.
16.已知，求的值．
四、解答题：本题共8小题，共89分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题3分)
如图，在甲地到乙地有一块山地正在开发，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上另一停靠站B的距离为400米，且，求点C到公路段的距离？
18.(本小题3分)
已知，求的值．
19.(本小题3分)
我市某中学有一块四边形的空地（如图所示），为了绿化环境，学校计划在空地上种植草皮，经测量，，，，．求出空地的面积．
20.(本小题16分)
如图，在4×4的正方形网格中，每个小方格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图出图形．
(1) 在图①中，画一个斜边长为的等腰直角三角形；
(2) 在图②中，画一个面积为的正方形．
21.(本小题16分)
勾股定理是证明方法最多的数学定理之一．如图，是美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：
22.(本小题16分)
如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，求图中阴影部分的面积
23.(本小题15分)
【观察思考】
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式： ；
(1) 直接写出第个等式： ；
(2) 如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律： ．
(3) 证明（2）中的运算规律．
24.(本小题17分)
【阅读】在小学我们就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式．分别是由古希腊的几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为：
海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积；
秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积
(1) 【尝试公式应用】问题：已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请选择一个公式求这个三角形的面积．
(2) 【尝试新方法】
尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分）
如图1，已知一个中，，，．求面积（温馨提示，解决后在草纸上可以代入一个公式验证你的结论是否正确）

(3) 【尝试证明】
尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算推导秦九韶公式：
如图2，已知一个中，三边分别为，求面积
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】A
8.【答案】C
9.【答案】1
10.【答案】3
11.【答案】
/
12.【答案】6
13.【答案】
14.【答案】6
15.【答案】解：原式
．

16.【答案】解：∵a+=，
∴（a+）2=10，
∴（a-）2+4=10，
∴a-=±．
17.【答案】解：如图，过点C作于点D．
，，，
∴，
∵，
∴，
，
∴点C到公路段的距离为240米．

18.【答案】解：根据题意，可得，
∴，
∴，
∴．

19.【答案】解：如图所示，连接，
在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴是直角三角形，且，
∴．

20.【答案】【小题1】
解：如图①所示，
理由如下：
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝3，
由勾股定理得，，
∴，
∵AC＝BC，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴△ABC是斜边长为的等腰直角三角形；
【小题2】
解：如图②所示，
理由如下：由勾股定理得，DE＝EF＝FH＝DH＝，
∴四边形DEFH是菱形，
又由正方形网格的特点知∠HDE＝90°，
∴四边形DEFH是边长为，面积为（）2＝10的正方形，
∴正方形DEFH满足题意．

21.【答案】证明：根据梯形的面积可得，，
整理得，
∴．

22.【答案】解：∵，
∴，
由折叠得，，
设，则，
在中，，，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴ 图中阴影部分的面积是．

23.【答案】【小题1】

【小题2】

【小题3】
证明：等式左边
，
为正整数，
，
等式左边等式右边．

24.【答案】【小题1】
解：选择海伦公式：
，
∴
；
选择秦九韶公式：
；
【小题2】
解：如图，作于，则，
设，则，
由勾股定理可得：，，
∴，
解得，
∴，
∴；
【小题3】
解：如图，作于D，则，
设，则，
由勾股定理可得：，，
∴，
解得，
∴，
∴．

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