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【精选热题·50道解答题专练】北师大版数学七年级下册期中复习测试卷
1．如图，已知 ， ，试猜想 和 的关系，并证明你的结论.
2．某高中在开展“选科走班”教学改革之前，先进行调查：要求该校某班每位学生在思想政治、化学、地理、生物4门学科中选择2门．将调查统计结果制成了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题：
（1）该班共有学生 人，扇形图中化学所对应扇形的圆心角为 度；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）求该班小华同学恰好选中化学和生物的概率．
3．小明计算一道整式乘法的题，由于小明在解题过程中，抄错了第一个多项式中a前面的符号，把“”写成了“”，得到的结果为， 求a，b的值．
4．2022年4月23日，首届全民阅读大会在北京开幕．为落实大会精神，某中学开展了以“阅读新时代，奋进新征程”为主题的读书活动．学校为了了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读时间，设被调查的每名学生每周课外阅读总时间为x小时，将它分为4个等级：，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：请你根据统计图的信息，解决下列问滪：
（1）本次共调查了　 　名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在等级中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
5．如图，直线、相交于点，，垂足为，且平分．若，求的度数．
6．将A，B，C三个景点的名称写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张，抽到A卡片的概率是______；
（2）先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再从中随机抽取一张卡片．请用列表法或画树状图法，求抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的概率．
7．如图所示，已知AB∥CD，∠AOG=45°，∠CDE=80°，求∠GDE的度数．
8．一个角的余角的度数比它的补角的度数的一半小，求这个角的度数
9．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：，，，．
，．
请仿照上例解决下列问题：
（1）①若，，则______；
②若，，则______．
（2）①若满足，求的值．
②若满足，求的值；
（3）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．
10．如图，直线AB，CD交于点O，OE，OF分别平分∠AOD和∠BOD，已知∠1＋∠2＝90°，且∠1∶∠3＝1∶8.(注：∠1＝∠AOE，∠2＝∠OFE，∠3＝∠AOC)
（1）求∠AOF的度数；
（2）求证：AB∥EF.
11．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出之间的等量关系并验证；
（2）根据（1）中的结论，若，，求的值；
（3）拓展应用：若，求的值．
12．小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动．该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用 、 、 表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用 、 表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有等可能的结果，并求小明恰好抽中 、 两个项目的概率．
13．已知代数式(x2+px+8)(x2 3x+q)的乘积中不含三次项和二次项，求(p q)(p2+pq+q2)的值.
14．2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，浔阳体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是B（滑板）的概率是　 　．
（2）体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，并求体育老师抽到的两张卡片恰好是B（滑板）和D（运动攀岩）的概率．
15．已知实数 满足 ， 求 的值．
16．为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对，，，四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出厂家的合格率为，并根据检测数据绘制了两幅不完整的统计图.
(1)抽查厂家的零件为______件，扇形统计图中厂家对应的圆心角为______.
(2)抽查厂家的合格零件为_______件.
(3)若要从，，，四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用列表法或画树状图的方法求出，两个厂家同时被选中的概率，并列出所有等可能的结果.
17．为了解某校八、九年级部分学生的睡眠情况，随机抽取了该校八、九年级部分学生进行调查，已知抽取的八年级与九年级的学生人数相同，利用抽样所得的数据绘制如图的统计图表：
睡眠情况分段情况如下
组别 睡眠时间x（小时）
A 4.5≤x＜5.5
B 5.5≤x＜6.5
C 6.5≤x＜7.5
D 7.5≤x＜8.5
E 8.5≤x＜9.5
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）直接写出统计图中a的值
（Ⅱ）睡眠时间少于6.5小时为严重睡眠不足，则从该校八、九年级各随机抽一名学生，被抽到的这两位学生睡眠严重不足的可能性分别有多大？
18．一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字-3，-1，0，1，2，4这六个数，若将第一次掷出的骰子正面朝上的数记为m，第二次掷出的骰子正面朝上的数记为n，则点P记作 ．请用画树状图或列表法求点 恰好落在第二象限的概率．
19．如图，某工程队从A点出发，沿北偏西方向修一条公路，在路段出现塌陷区，就改变方向，由B点沿北偏东的方向继续修建段，到达C点又改变方向，从C点继续修建段，若使所修路段，应为多少度？试说明理由．此时与有怎样的位置关系？
以下是小刚不完整的解答，请帮他补充完整．
解：由已知，根据
得
所以， ；
又根据
当时，
可得．
所以
此时与的位置关系为 ．
20．小明和小亮做游戏，规则如下：将正面分别写有数字1，2，3，4的4张卡片背面朝上，洗匀．先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，若抽得的2张卡片上的数字之和为2的倍数则小明胜，若抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
21．仔细观察下列四个等式：，，，，…．
（1）请写出第六个等式；
（2）利用这几个等式的规律，归纳总结出一个表达此规律的等式；
（3）将表示上述规律的等式的右边认真整理，你会发现什么？
22．“草莓音乐节”组委会设置了甲，乙，丙三类门票，初一2班购买了甲票4张，乙票16张，丙票20张，这些票除票面内容不同外其他都相同，该班小尹同学从中随机抽取一张．
（1）小尹同学抽到甲票的概率是多少？
（2）小尹同学抽到甲票或乙票的概率是多少？
23．如图，AB∥CD，∠B=70°，∠BCE=20°，∠CEF=130°，请判断AB与EF的位置关系，并说明理由.
24．如图，CD AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？
25．在不透明的袋子中装有3个红球和5个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球
（1）摸到哪种颜色球的可能性大？
（2）请你通过改变袋子中某一种颜色球的数量，设计一种方案；使“摸出红球”和“摸出黄球”的可能性大小相同．
26．如图，若 ， ，试说明 的理由.
27．已知：如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，EF交DC于点F，∠3+∠2=180°，∠1=∠B.
（1）试说明：DE∥BC.
（2）若DE平分∠ADC，∠3=3∠B，求∠2的度数。
28．完成推理填空：
如图，已知。将证明的过程填写完整
证明：
∴ ▲ ▲ （　　）
∴ ▲ （　　）
又∵
∴ ▲ （　　）
∴（　　）
29．如图，直线AB，CD，EF相交于点O．若∠1与∠2互为余角，则CD⊥EF，请说明理由．
30．如图，直线AB，CD被直线EF所截。请找出一对同位角、一对内错角和一对同旁内角。
31．（1）课本再现：如图1，2是“数形结合”的典型实例，应用“等积法”验证乘法公式．图1验证的是______，图2验证的是______；
（2）应用公式计算：
已知，求的值；
求的值．
32．已知（x+y）2＝1，（x-y）2＝49，求x2+y2与xy的值．
33．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．
（1）求∠BOD的度数；
（2）试说明OE⊥OF．
34．一个角的余角比它的补角的 还少40°，求这个角的度数．
35．如图，直线相交于点O，且为的平分线，，若，求的度数．
36．每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了培养学生的阅读习惯，计划开展以“书香润泽心灵，阅读丰富人生”为主题的读书节活动．在“形象大使”选拔活动中，甲、乙、丙、丁4位同学表现最为优秀，学校现打算从4位同学中任选2人作为学校本次读书节活动的形象大使，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲和乙的概率．
37．如图，于点D，于点G，若，试说明：．下面是推理过程，请将推理过程补充完整．
∵于点D，于点G（已知），
∴（垂直的定义）
∴（ ）
∴（ ）
∵（已知），
∴（ ）
又∵（已证），
∴（ ）
∴（等量代换）．
38．如图，，为上一点，平分，，，求的度数．
39．图①是一个长为2m，宽为2n（m>n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四个小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形。
（1）观察图②，请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：
方法 1：　 　
方法2： 　 　
（2）直接写出三个代数式（m+n）2，（m-n）2，mn之间的等量关系： 　 　
（3）若a+b=7，ab=6，求a-b的值。
40．某人制成了一个如图所示的游戏转盘，转盘被分成8个相同的扇形，取名为“开心转转转”．游戏规定：参与者自由转动转盘，转盘停止后，若指针指向字母“A”，则参与者交费2元；若指针指向字母“B”，则参与者获奖3元，若指针指向字母“C”，则参与者获奖1元．那么任意转动转盘一次，转盘停止后，参与者交费2元、参与者获奖3元、参与者获奖1元的概率各为多少？
41．某校为了调查九年级学生寒假期间平均每天观看冬奥会时长情况，随机抽取部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了不完整的频数分布表和频数分布直方图如下：
“平均每天观看纪录片时长”频数表
观看时长（min） 频数（人） 频率
2
6
18
4
（1）频数分布表中， ▲ ， ▲，请将频数分布直方图补充完整；
（2）九年级共有520名学生，请你根据频数分布表，估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的约有多少人；
（3）校学生会拟在甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学做“我与冬奥”主题演讲，请用画树状图法或列表法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
42．目前，“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机”的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对）．并将调查结果绘制成折线统计图和扇形统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了多少名家长？
（2）扇形统计图中C所对的圆心角的度数为______；将折线统计图补充完整；
（3）在此次调查活动中，初三（1）班有，两位家长对中学生带手机持反对态度，初三（2）班有，两位家长对中学生带手机也持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．
43．【教材原题】
（1）通过第章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
如图①可以得到的公式为_____；
如图②可以得到的公式为_____；
【探索发现】
（2）现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件，、和之间的等量关系为_____；
【结论应用】
（3）①若，则_____；
②当时，求的值；
【拓展提升】
（4）如图④，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，已知这两个正方形的边长之和为3，则阴影部分的面积为_____．
44．已知
（1）求 ab+ bc+ ca 的值.
（2）求 的值.
45．已知，，…，的值都是1或－1，设S是这2002个数的两两乘积之和．（参考公式：）
（1）求S的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；
（2）求S的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．
46．定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”．
（1）若，均是关于的多项式，则_________选填“是”或“不是”）的“好多项式”；
（2）若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则__________；
（3）若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值．
47．附加题：(有兴趣的同学自愿完成)
已知a= +2019，b= +2020，c= +2021，请计算代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值
48．为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这四个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果．
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或画树状图求他俩选到相同社团的概率．
49．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是________（填字母）．
A．
B．
C．
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值；
②计算：；
③计算：．
50．如图， 这是一个台灯的示意图， 其中灯头连结杆 始终和桌面 平行， 灯脚 始终和桌面 垂直．
（1） 当 时， 求 的度数．
（2） 连杆 可以绕着 和 进行旋转， 灯头 始终在 左侧， 设 ， 的度数分别为 ， 请写出 之间的数量关系．
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【精选热题·50道解答题专练】北师大版数学七年级下册期中复习测试卷
1．如图，已知 ， ，试猜想 和 的关系，并证明你的结论.
【答案】解：∠C与∠AED相等，理由如下：
∵∠1+∠2=180°（已知），∠1+∠DFE=180°（邻补角定义），
∴∠2=∠DFE（同角的补角相等），
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴∠3=∠ADE（两直线平行，内错角相等），
又∠B=∠3（已知），
∴∠B=∠ADE（等量代换），
∴DE∥BC（同位角相等，两直线平行），
∴∠C=∠AED（两直线平行，同位角相等）
【解析】【分析】根据同角的补角相等，可得∠2=∠DFE，利用内错角相等，两直线平行，可得AB∥EF，利用两直线平行，内错角相等，可得∠3=∠ADE.由等量代换可得∠B=∠ADE，根据同位角相等，两直线平行，可得DE∥BC，由两直线平行，同位角相等可得∠C=∠AED.
2．某高中在开展“选科走班”教学改革之前，先进行调查：要求该校某班每位学生在思想政治、化学、地理、生物4门学科中选择2门．将调查统计结果制成了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，回答下列问题：
（1）该班共有学生 人，扇形图中化学所对应扇形的圆心角为 度；
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）求该班小华同学恰好选中化学和生物的概率．
【答案】（1）45，72
（2）解：补全条形统计图，如下图所示．
（3）解：把思想政治、化学、地理、生物分别记为A，B，C，D，画树状图如图所示：
由上图可知，所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为化学、生物的结果有2种：，，
∴P（小华恰好选中化学、生物）．
【解析】【解答】解：（1）全班人数为：（人）
选择“化学”的人数为：（人）
对应的扇形的圆心角为：
故答案为：45；72．
【分析】（1）根据选“地理”的人数和百分比可求出全班人数，先求出选择“化学”的人数，进而可求得对应的扇形的圆心角；
（2）求出选择“化学”的人数，即可补全条形统计图；
（3）画树状图，求出所有出现等可能的结果有12种，所选中2门学科恰好为化学、生物的结果有2种，根据概率公式即可求解．
3．小明计算一道整式乘法的题，由于小明在解题过程中，抄错了第一个多项式中a前面的符号，把“”写成了“”，得到的结果为， 求a，b的值．
【答案】解：根据题意可得：，
∴，
解得：．
【解析】【分析】根据多项式乘多项式的法则“多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得积相加”计算，可得，然后由恒等式的意义可得关于a、b的方程组，解之即可求解．
4．2022年4月23日，首届全民阅读大会在北京开幕．为落实大会精神，某中学开展了以“阅读新时代，奋进新征程”为主题的读书活动．学校为了了解学生课外阅读情况，现随机调查了部分学生每周课外阅读时间，设被调查的每名学生每周课外阅读总时间为x小时，将它分为4个等级：，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图：请你根据统计图的信息，解决下列问滪：
（1）本次共调查了　 　名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）在等级中有甲、乙、丙、丁4人表现最为优秀，现从4人中任选2人作为学校本次读书活动的宣传员，用列表或画树状图的方法求恰好选中甲和乙的概率．
【答案】（1）50
（2）解：C等级人数为（名）
补全图形如下：
（3）解：画树状图为
由图可知，共有12种等可能出现的结果，其中恰好选中甲乙两名同学的结果有2种.
P(甲、乙两名同学)=.
【解析】【解答】解：(1)根据统计图可知B级有13名同学，点被调查学生总数的26%，所以调查学生总数为13×26%=50(名)
故答案为：50
【分析】(1) 在两个统计图中，B级的人数和占比都是已知的，可以由此求出被调查的总人数。
(2)用总人数减去A，B，D级的人数可得C级的人数。再根据人数画出统计图即可。
(3)用画树状图法列出选人的可能情况及甲乙恰好被选中的情况，再根据概率公式计算出概率即可。
5．如图，直线、相交于点，，垂足为，且平分．若，求的度数．
【答案】解： ，
，
，
，
，
平分，
，
．
【解析】【分析】根据对顶角的性质求出，根据垂直求出， 再根据角平分线的定义可得 。
6．将A，B，C三个景点的名称写在三张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上．
（1）从中随机抽取一张，抽到A卡片的概率是______；
（2）先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再从中随机抽取一张卡片．请用列表法或画树状图法，求抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
　 A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
∴共有9种等可能的结果，其中抽得的两张卡片中至少有一张是B卡片的结果有5种，
∴抽得的两张卡片中至少有一张是B卡片的概率为：.
【解析】【解答】解：（1）∵有A、B、C三个景点的卡片，
∴从中随机抽取一张，抽到A卡片的概率为：.
【分析】（1）由简单时间概率的求法进行解答；
（2）根据列表法求出所有的等可能结果数，从而得抽得的两张卡片中至少有一张是B卡片的结果数，最后利用概率公式进行求解.
（1）解：∵3张卡片中名称为A的只有1张，
∴随机抽取一张，抽到A卡片的概率是；
（2）由题意可列表格如下：
第一次 第二次 A B C
A A，A A，B A，C
B B，A B，B B，C
C C，A C，B C，C
由表格可知共有9种等可能的情况，其中抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的情况有5种，
∴抽得的两张卡片中至少一张是B卡片的概率为．
7．如图所示，已知AB∥CD，∠AOG=45°，∠CDE=80°，求∠GDE的度数．
【答案】解：∵AB∥CD，
∴∠CDG=∠AOG=45°，
∵∠CDE=80°，
∴∠GDE=80°﹣45°=35°．
【解析】【分析】先根据平行线的性质，求得∠CDG的度数，再根据∠CDE的度数，求得∠GDE的度数即可．
8．一个角的余角的度数比它的补角的度数的一半小，求这个角的度数
【答案】解：设这个角的度数是，则它的余角的度数为，补角的度数为．
根据题意，得，
解得．
答：这个角的度数是．
【解析】【分析】本题考查了与余角补角相关的计算，以及元一次方程的应用，设这个角的度数是，得到它的余角的为，补角的为，根据题意，列出方程，求得方程的解，即可求解.
9．完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题．
例如：若，，求的值．
解：，，，．
，．
请仿照上例解决下列问题：
（1）①若，，则______；
②若，，则______．
（2）①若满足，求的值．
②若满足，求的值；
（3）如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，请直接写出图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体的数值）．
【答案】(1) ①31；②
(2)①设，，而，
∴，，
∴
；
②设，，而，
∴，；
∴
；
(3) 44
【解析】【解答】（1）解：①∵，，
∴；
②∵，，
∴；
（3）正方形的边长为x，，，
∴，，
∵长方形的面积是10，四边形和都是正方形，是长方形，
∴，，
∴，，，，
设，，则，，
∴阴影部分的面积
∵，即，
解得：，
∴，即阴影部分的面积为44．
【分析】（1）①根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
②根据平方差公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（2）①设，，而，则，，根据完全平方公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
②设，，而，则，，根据平方差公式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
（3）根据边之间的关系可得，，再根据矩形面积设，，则，，再根据阴影部分的面积，再根据完全平方公式建立方程，解方程即可求出答案.
10．如图，直线AB，CD交于点O，OE，OF分别平分∠AOD和∠BOD，已知∠1＋∠2＝90°，且∠1∶∠3＝1∶8.(注：∠1＝∠AOE，∠2＝∠OFE，∠3＝∠AOC)
（1）求∠AOF的度数；
（2）求证：AB∥EF.
【答案】（1）解：∵OE，OF分别平分∠AOD和∠BOD，
∴，，
∵∠AOB=180°
∴
∵∠1：∠3=1：8，
∴设∠1=α，∠3=8α，
∴α+α+8α=180°
∴α=18°
∴∠1=18°
∴∠AOF=18°+90°=108°
（2）解：∵∠EOF=90°，
∴∠2+∠E=90°
∵∠1+∠2=90°
∴∠1=∠E
∴AB//EF
【解析】【分析】(1)根据角平分线定义得到，，设∠1=α，∠3=8α，根据平角的定义得到α=18°，求得∠1=18°，于是得到结论；
(2)根据余角的性质和平行线的判定定理即可得到结论.
11．如图1是一个长为、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）
（1）观察图2请你写出之间的等量关系并验证；
（2）根据（1）中的结论，若，，求的值；
（3）拓展应用：若，求的值．
【答案】（1）解：解：由图2可知：大正方形的边长为，则大正方形的面积为，而大正方形的面积又等于边长为的正方形面积加上四个长为b，宽为a的长方形面积，则大正方形的面积为，
∴；
（2）解：∵，，∴
，
∴；
（3）解：设， ∴，
，
，
，
，
，
∴，
．
【解析】【分析】（1）根据“整体”和“局部”表示正方形的面积即可得到等量关系；
（2）根据（1）中结论进行计算解题；
（3）设，则有，，根据（1）中公式变形计算解题．
（1）解：解：由图2可知：大正方形的边长为，则大正方形的面积为，而大正方形的面积又等于边长为的正方形面积加上四个长为b，宽为a的长方形面积，则大正方形的面积为，
∴；
（2）解：∵，，
∴
，
∴；
（3）解：设，
∴，
，
，
，
，
，
∴，
．
12．小明代表学校参加“我和我的祖国”主题宣传教育活动．该活动分为两个阶段，第一阶段有“歌曲演唱”、“书法展示”、“器乐独奏”3个项目（依次用 、 、 表示），第二阶段有“故事演讲”、“诗歌朗诵”2个项目（依次用 、 表示），参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有等可能的结果，并求小明恰好抽中 、 两个项目的概率．
【答案】解：画树状图如下
由树状图知共有6种等可能结果，其中小明恰好抽中 、 两个项目的只有1种情况，
所以小明恰好抽中 、 两个项目的概率为
【解析】【分析】根据题意列出树状图，再根据树状图求出所有等可能的结果数及小明恰好抽中B、D两个项目的情况数，然后利用概率公式可求解。
13．已知代数式(x2+px+8)(x2 3x+q)的乘积中不含三次项和二次项，求(p q)(p2+pq+q2)的值.
【答案】解：（x2+px+8）（x2-3x+q）
=x4-3x3+qx2+px3-3px2+pqx+8x2-24x+8q
=x4+（-3+p）x3+（q-3p+8）x2+（pq-24）x+8q，
∵（x2+px+8）（x2-3x+q）的乘积中不含x2与x3的项，
∴-3+p=0，q-3p+8=0，
解得：p=3，q=1.
(p q)(p2+pq+q2)=（3-1）（9+3+1）=26
【解析】【分析】根据多项式乘多项式，可得一个多项式，根据多项式不含3次项一次项，可得三次向的系数为零，二次项的系数为零，根据解方程，可得p、q的值，根据代数式求值，可得答案.
14．2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为A，B，C，D，浔阳体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好．
（1）小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是B（滑板）的概率是　 　．
（2）体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表法或画树状图法表示出所有可能的结果，并求体育老师抽到的两张卡片恰好是B（滑板）和D（运动攀岩）的概率．
【答案】（1）
（2）解：画树状图如下：
，
共有12种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是“B”和“D”的结果数为2，
∴体育老师抽到的两张卡片恰好是B（滑板）和D（运动攀岩）的概率是．
【解析】【解答】解：（1）∵2024年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为，
∴小明想从中随机抽取一张，恰好抽到是B（滑板）的概率是；
故答案为：；
【分析】(1)根据概率计算公式求解即可；
(2)先列表得到所有等可能性的结果数，再找到体育老师抽到的两张卡片恰好是B(滑板)和D(运动攀岩)的结果数，最后依据概率计算公式求解即可.
15．已知实数 满足 ， 求 的值．
【答案】解：∵（a+b）2=1，（a-b）2=23，
∴a2+2ab+b2=1①；a2-2ab+b2=23②。
∴①+②，得：2a2+2b2=24，
∴a2+b2=12，
①-②，得：4ab=-22，
∴ab=-.
∴a2+b2+ab=12+（）=.
【解析】【分析】把（a+b）2=1，（a-b）2=23，利用完全平方公式展开可以得到：a2+2ab+b2=1①；a2-2ab+b2=23②。然后由①+②可以得到：a2+b2=12，①-②可以得到：ab=-.最后把a2+b2的值和ab的值直接代入a2+b2+ab求出它的值即可.
16．为响应国家的“一带一路”经济发展战略，树立品牌意识，我市质检部门对，，，四个厂家生产的同种型号的零件共2000件进行合格率检测，通过检测得出厂家的合格率为，并根据检测数据绘制了两幅不完整的统计图.
(1)抽查厂家的零件为______件，扇形统计图中厂家对应的圆心角为______.
(2)抽查厂家的合格零件为_______件.
(3)若要从，，，四个厂家中，随机抽取两个厂家参加德国工业产品博览会，请用列表法或画树状图的方法求出，两个厂家同时被选中的概率，并列出所有等可能的结果.
【答案】(1)500，；
(2)380；
(3)解：根据题意画出树状图，如图所示
共有12种等可能的情况：.
其中两个厂家同时被选中的情况有两种.
.
【解析】【解答】解：（1）抽查D厂家的零件为2000（1-35%-20%-20%）=500（件），扇形统计图中D厂家对应的圆心角=×360°=90°；
（2）抽查C厂家的合格零件=2000×95%×20%=380（件），
条形统计图补充为：
（3）
【分析】
（1）根据频数=样本容量×百分比可求得D厂家的零件数；根据圆心角=360°×D所占的百分比可求得扇形统计图中D厂家对应的圆心角；
（2）根据频数=样本容量×百分比可求得C厂家的零件数，然后即可补全条形统计图；
（3）由题意，画出树状图，根据树状图可得，所有12种等可能的结果数，其中C、D两个厂家同时被选中的结果数，然后根据概率公式计算即可求解．
17．为了解某校八、九年级部分学生的睡眠情况，随机抽取了该校八、九年级部分学生进行调查，已知抽取的八年级与九年级的学生人数相同，利用抽样所得的数据绘制如图的统计图表：
睡眠情况分段情况如下
组别 睡眠时间x（小时）
A 4.5≤x＜5.5
B 5.5≤x＜6.5
C 6.5≤x＜7.5
D 7.5≤x＜8.5
E 8.5≤x＜9.5
根据图表提供的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）直接写出统计图中a的值
（Ⅱ）睡眠时间少于6.5小时为严重睡眠不足，则从该校八、九年级各随机抽一名学生，被抽到的这两位学生睡眠严重不足的可能性分别有多大？
【答案】（Ⅰ）a=1﹣10%﹣25%﹣35%﹣25%=5%，即统计图中a的值是5%；（Ⅱ）解：八年级抽到的学生为睡眠严重不足的可能性为： = ，九年级抽到的学生为睡眠严重不足的可能性为：5%+25%=30%=0.3
【解析】【分析】（1）根据扇形统计图可以求得a的值；（2）根据统计图中的数据可以求得该校八、九年级各随机抽一名学生，被抽到的这两位学生睡眠严重不足的可能性；
18．一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字-3，-1，0，1，2，4这六个数，若将第一次掷出的骰子正面朝上的数记为m，第二次掷出的骰子正面朝上的数记为n，则点P记作 ．请用画树状图或列表法求点 恰好落在第二象限的概率．
【答案】解：列表如下，
-3 -1 0 1 2 4
-3 （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ）
-1 （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ）
0 （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ）
1 （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ）
2 （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ）
4 （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ） （ ， ）
共有36中等可能结果，点 恰好落在第二象限的有：
（-3，1） （-1，1）
（-3，2） （-1，2）
（-3，4） （-1，4）
共6种情形
点 恰好落在第二象限的概率为 ．
【解析】【分析】先列表，再求出 共有36中等可能结果，点 恰好落在第二象限的有6种情形 ，最后求概率即可。
19．如图，某工程队从A点出发，沿北偏西方向修一条公路，在路段出现塌陷区，就改变方向，由B点沿北偏东的方向继续修建段，到达C点又改变方向，从C点继续修建段，若使所修路段，应为多少度？试说明理由．此时与有怎样的位置关系？
以下是小刚不完整的解答，请帮他补充完整．
解：由已知，根据
得
所以， ；
又根据
当时，
可得．
所以
此时与的位置关系为 ．
【答案】解：如下图：
由已知，根据两直线平行，同位角相等得：，
所以，；
根据同旁内角互补，两直线平行，可知：
当时，可得，
所以，
此时与的位置关系为垂直．
故答案为：两直线平行，同位角相等；90；同旁内角互补，两直线平行；90；垂直。
【解析】【分析】根据图形所示，然后根据平行线的判定和性质，对结合题干中给出的条件，即可求解。
20．小明和小亮做游戏，规则如下：将正面分别写有数字1，2，3，4的4张卡片背面朝上，洗匀．先从中任意抽取1张（不放回），再从余下的3张中任意抽取1张，若抽得的2张卡片上的数字之和为2的倍数则小明胜，若抽得的2张卡片上的数字之和为3的倍数则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．
【答案】解：这个游戏对双方不公平，理由如下：
根据画出树状图，如图所示：
∵共有12种等可能的情况，其中两张卡片上的数字之和是2的倍数的有4种情况，两张卡片上的数字之和是3的倍数的有3种情况，
∴小明获胜的概率为：，小亮获胜的概率为：，
∵，
∴这个游戏对双方不公平．
【解析】【分析】先利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解并比较大小即可。
21．仔细观察下列四个等式：，，，，…．
（1）请写出第六个等式；
（2）利用这几个等式的规律，归纳总结出一个表达此规律的等式；
（3）将表示上述规律的等式的右边认真整理，你会发现什么？
【答案】（1）解：根据前个等式可得出：
第个等式为：，
第个等式为：；
（2）解：根据题意可得：
第项为：，
第项为：，
第项为：
，
第项为：．
（3）解：由（2）得：，
，
结果为两数和的平方形式．
【解析】【分析】（1）根据条件中的四个等式，找出规律即可写出第5个和第6个等式；
（2）结合条件中的等式规律，列式找出第n项，则等式左边为；而等式右边为，此时即可列出规律等式；
（3）根据整式的混合运算进行计算即可得出答案．
（1）根据前个等式可得出：
第个等式为：，
第个等式为：；
（2）根据题意可得：
第项为：，
第项为：，
第项为：
，
第项为：．
（3）由（2）得：，
，
结果为两数和的平方形式．
22．“草莓音乐节”组委会设置了甲，乙，丙三类门票，初一2班购买了甲票4张，乙票16张，丙票20张，这些票除票面内容不同外其他都相同，该班小尹同学从中随机抽取一张．
（1）小尹同学抽到甲票的概率是多少？
（2）小尹同学抽到甲票或乙票的概率是多少？
【答案】（1）解：因为小尹同学从中随机抽取一张共有（种）等可能的结果，
所以小尹同学抽到甲票的概率是，
答：小尹同学抽到甲票的概率是．
（2）解：因为小尹同学从中随机抽取一张共有（种）等可能的结果，其中小尹同学抽到甲票或乙票的结果有（种），
所以小尹同学抽到甲票或乙票的概率是，
答：小尹同学抽到甲票或乙票的概率是．
【解析】【分析】
（1）简单事件概率的计算，直接利用概率公式求解即可；
（2）同上，甲票和乙票共有20张，三类门票共40张，利用概率公式直接计算即可．
（1）解：因为小尹同学从中随机抽取一张共有（种）等可能的结果，
所以小尹同学抽到甲票的概率是，
答：小尹同学抽到甲票的概率是．
（2）解：因为小尹同学从中随机抽取一张共有（种）等可能的结果，其中小尹同学抽到甲票或乙票的结果有（种），
所以小尹同学抽到甲票或乙票的概率是，
答：小尹同学抽到甲票或乙票的概率是．
23．如图，AB∥CD，∠B=70°，∠BCE=20°，∠CEF=130°，请判断AB与EF的位置关系，并说明理由.
【答案】解：AB∥EF，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠B=∠BCD，∵∠B=70°，
∴∠BCD=70°，∵∠BCE=20°，
∴∠ECD=50°，
∵CEF=130°，
∴∠E+∠DCE=180°，
∴EF∥CD，
∴AB∥EF
【解析】【分析】由两直线平行内错角相等可得
∠B=∠BCD，由角的构成可得∠ECD=∠BCD-∠BCE，结合已知条件计算可得∠ECD+∠CEF=180°， 根据同旁内角互补，两直线平行可得
EF∥CD， 于是根据平行线的传递性可得
EF∥AB。
24．如图，CD AB，∠DCB=70°，∠CBF=20°，∠EFB=130°，问直线EF与AB有怎样的位置关系，为什么？
【答案】解：∵ CD AB，∠DCB=70°，
∴∠ABC=70°，
∵∠CBF=20°，
∴∠ABF=70°-20°=50°，
又∵∠EFB=130°，
∴∠ABF+∠EFB=180°，
∴EF AB.
故直线EF与AB的位置关系是平行.
【解析】【分析】两直线的位置关系有两种：平行或者相交，根据图形可猜想两直线平行，然后根据已知条件探求平行的判定条件，即可证明结论.
25．在不透明的袋子中装有3个红球和5个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球
（1）摸到哪种颜色球的可能性大？
（2）请你通过改变袋子中某一种颜色球的数量，设计一种方案；使“摸出红球”和“摸出黄球”的可能性大小相同．
【答案】解：（1）摸到红球的概率为摸到黄球的概率为：所以摸到黄球的可能性大；（2）∵要使得“摸出红球”和“摸出黄球”的可能性大小相同，∴使得两种球的数量相同，∴放入两个红球即可．
【解析】【分析】（1）分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大．
（2）另外放入2个红球，那么共有10个球，每种球各有5个时，摸到红球和黄球的概率相等．
26．如图，若 ， ，试说明 的理由.
【答案】证明：∵ ，
∴∠DCA=∠BAC，
∵ ，
∴∠3=∠4，
∴CE∥AF，
∴ .
【解析】【分析】根据平行线的性质以及已知条件可推出∠3=∠4，得到CE∥AF，然后根据平行线的性质解答即可.
27．已知：如图，△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，EF交DC于点F，∠3+∠2=180°，∠1=∠B.
（1）试说明：DE∥BC.
（2）若DE平分∠ADC，∠3=3∠B，求∠2的度数。
【答案】（1）解：∵∠DFE+∠2=180°，∠3+∠2=180°，∴∠DFE=∠3，∴BD∥EF，∴∠1=∠ADE，∵∠1=∠B，
∴∠ADE=∠B，∴DE∥BC.
（2）解：由(1)知，∠ADE=∠B，BD∥EF，∴∠2=∠ADC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADC=2∠ADE=2∠B，∵∠3+∠ADC=180°，∠3=3∠B，∴3∠B+2∠B=180°，
解得∠B =36°，∴∠ADC=72°，∴∠2=72°.
【解析】【分析】（1）由邻补角互补得∠DFE+∠2=180°，等量代换得∠DFE=∠3，由内错角相等，两直线平行得BD∥EF，由两直线平行，内错角相等得∠1=∠ADE，等量代换得∠ADE=∠B，同位角相等，两直线平行，得到DE∥BC；
（2）两直线平行，同位角相等得到∠2=∠ADC，再根据角平分线性质和等量代换得到∠ADC=2∠ADE=2∠B，邻补角互补得到∠3+∠ADC=180°，代入得3∠B+2∠B=180°，即可求出∠B，进而求出∠2.
28．完成推理填空：
如图，已知。将证明的过程填写完整
证明：
∴ ▲ ▲ （　　）
∴ ▲ （　　）
又∵
∴ ▲ （　　）
∴（　　）
【答案】证明：
∴ （同旁内角互补，两直线平行）
∴（两直线平行，内错角相等）
又∵
∴（等量代换）
∴（同位角相等，两直线平行）
【解析】【分析】利用平行线的判定可证得DG∥AB，利用平行线的性质可得到∠1=∠3，结合已知条件可证得∠2=∠3，据此可证得结论.
29．如图，直线AB，CD，EF相交于点O．若∠1与∠2互为余角，则CD⊥EF，请说明理由．
【答案】解：∵∠1与∠2互为余角，
∴∠1+∠2=90°，
∴∠COE=180°-(∠1+∠2)=90°，
∴CD⊥EF.
【解析】【分析】根据余角的定义得出∠1+∠2=90°，从而得出∠COE=180°-(∠1+∠2)=90°，即可证出CD⊥EF.
30．如图，直线AB，CD被直线EF所截。请找出一对同位角、一对内错角和一对同旁内角。
【答案】解：答案不唯一.
同位角：与与与，与；
内错角：与与；
同旁内角：与与.
【解析】【分析】分别根据同位角、内错角、同旁内角定义寻找即可，答案不唯一.
同位角：当一条直线（称为截线）与两条平行线相交时，位于相同相对位置的角称为同位角；
内错角：当一条直线（称为截线）与两条平行线相交时，位于两条平行线之间且在截线两侧的角称为内错角；
同旁内角：当一条直线（称为截线）与两条平行线相交时，位于两条平行线之间且在截线同侧的角称为同旁内角.
31．（1）课本再现：如图1，2是“数形结合”的典型实例，应用“等积法”验证乘法公式．图1验证的是______，图2验证的是______；
（2）应用公式计算：
已知，求的值；
求的值．
【答案】解：（1）：，；
（2）∵，
∴
=1
【解析】【解答】解：（1）图1中：∵两个长方形的长、宽分别为a，b，∴面积都为ab，∵从小到大三个正方形的边长分别为a，b，a+b，∴面积分别为a2，b2，(a+b)2，根据四块面积之和等于总面积，可得
图2中：∵左边阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积，
∴左边阴影部分的面积为：.
∵右边阴影部分为长为a+b，宽为a-b，
∴右边阴影部分面积为（a+b）（a-b）.
∴=（a+b）（a-b）.
故答案为：，；
【分析】（1）根据图1中大正方形由两个正方形和两个长方形组成，求总面积有两个方法，方法一求出部分和就是总面积，方法二直接求出总面积，两个算法结果相等，可得结论；
根据图2中左边的图形的阴影部分面积为大正方形面积减小正方形面积，右边阴影部分面积为一个长为（a+b），宽这（a-b)的长方形，直接利用长方形面积公式求解，可得结论；
（2）利用求解；利用平方差公式化简运算．
32．已知（x+y）2＝1，（x-y）2＝49，求x2+y2与xy的值．
【答案】解：∵（x+y）2＝x2+y2+2xy＝1①，（x-y）2＝x2+y2-2xy＝49②，
∴①+②得：2（x2+y2）＝50，即x2+y2＝25；
①-②得：4xy＝-48，即xy＝-12．
【解析】【分析】把完全平方公式相加减即可求解．（a+b)2=a2+2ab+b2，（a-b)2=a2-2ab+b2。
33．如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOC＝40°，OE平分∠AOD，OF平分∠BOD．
（1）求∠BOD的度数；
（2）试说明OE⊥OF．
【答案】（1）解：∵∠BOD＝∠AOC，∠AOC＝40°，∴∠BOD＝40°；
（2）解：∵∠AOC＝40°，∴∠AOD＝180°﹣∠AOC＝180°﹣40°＝140°．
∵OE平分∠AOD，OF平分∠BOD，∴∠2 ∠AOD °，∠1 ∠BOD 20°，∴∠EOF＝∠1+∠2＝20°+70°＝90°，∴OE⊥OF．
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等即可求出答案；（2）求出∠AOD的度数，求出∠1、∠2的度数，相加即可求出∠EOF，根据垂直定义求出即可．
34．一个角的余角比它的补角的 还少40°，求这个角的度数．
【答案】解：设这个角为x，则
90°﹣x+40°= （180°﹣x），
解得x=30°，
答：这个角的度数为30°．
【解析】【分析】互为余角的两角相加为90°，互为补角的两角相加为180°，列式计算出这个角的度数。
35．如图，直线相交于点O，且为的平分线，，若，求的度数．
【答案】解：∵，
∴∠BOC=150°，
∵OE为∠BOC的平分线，
∴∠COE=75°，
∴∠EOD=105°，
∵DF∥OE，
∴∠D=∠EOD=105°．
【解析】【分析】先利用角平分线的定义及角的运算求出∠EOD=105°，再利用平行线的性质可得∠D=∠EOD=105°。
36．每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了培养学生的阅读习惯，计划开展以“书香润泽心灵，阅读丰富人生”为主题的读书节活动．在“形象大使”选拔活动中，甲、乙、丙、丁4位同学表现最为优秀，学校现打算从4位同学中任选2人作为学校本次读书节活动的形象大使，请你用列表或画树状图的方法，求恰好选中甲和乙的概率．
【答案】解：列表如下：
　 甲 乙 丙 丁
甲 　 乙，甲 丙，甲 丁，甲
乙 甲，乙 　 丙，乙 丁，乙
丙 甲，丙 乙，丙 　 丁，丙
丁 甲，丁 乙，丁 丙，丁 　
由列表可以看出，总共有12种可能出现的结果，其中恰好选中甲和乙的有2种结果，
所以：P(恰好选中甲和乙)= ．
【解析】【分析】先列表，再求出总共有12种可能出现的结果，其中恰好选中甲和乙的有2种结果，最后求概率即可。
37．如图，于点D，于点G，若，试说明：．下面是推理过程，请将推理过程补充完整．
∵于点D，于点G（已知），
∴（垂直的定义）
∴（ ）
∴（ ）
∵（已知），
∴（ ）
又∵（已证），
∴（ ）
∴（等量代换）．
【答案】证明：∵于点D，于点G（已知），
∴（垂直的定义），
∴（同位角相等，两直线平行），
∴（两直线平行，内错角相等），
∵（已知），
∴（等量代换），
又∵（已证），
∴（两直线平行，同位角相等），
∴（等量代换）．
【解析】【分析】利用平行线的判定和性质求解即可。
38．如图，，为上一点，平分，，，求的度数．
【答案】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
又∵平分，
∴，
又∵，
∴．
【解析】【分析】先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，最后利用平行线的性质可得．
39．图①是一个长为2m，宽为2n（m>n）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它平均分成形状和大小都一样的四个小长方形，然后按图②那样拼成一个正方形。
（1）观察图②，请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：
方法 1：　 　
方法2： 　 　
（2）直接写出三个代数式（m+n）2，（m-n）2，mn之间的等量关系： 　 　
（3）若a+b=7，ab=6，求a-b的值。
【答案】（1）(m+n)2-4mn；(m-n)2
（2）(m+n)2-4mn=(m-n)2
（3）解：因为a+b=7，ab=6，
所以(a-b)2= (a+b)2-4ab=49-24=25，
所以a-b=±5.
【解析】【解答】解：（1）大正方形的面积可以表示为大正方形的面积－四个小正方形的面积和，即(m+n)2－4mn；也可以表示成小正方形的边长×边长，即(m－n)2；
故答案为：(m+n)2-4mn；(m-n)2
（2）由题意得：(m+n)2-4mn=(m-n)2
故答案为：(m+n)2-4mn=(m-n)2
【分析】（1）大正方形的面积可以表示为大正方形的面积－四个小正方形的面积和，也可以表示成小正方形的边长×边长，据此即可得到答案；
（2）由（1）的两种表示方式都是大正方形的面积，令两个代数式相等即可得到结论；
（3）由（2）的结论代入数据即可得到结论。
40．某人制成了一个如图所示的游戏转盘，转盘被分成8个相同的扇形，取名为“开心转转转”．游戏规定：参与者自由转动转盘，转盘停止后，若指针指向字母“A”，则参与者交费2元；若指针指向字母“B”，则参与者获奖3元，若指针指向字母“C”，则参与者获奖1元．那么任意转动转盘一次，转盘停止后，参与者交费2元、参与者获奖3元、参与者获奖1元的概率各为多少？
【答案】解：任意转动转盘一次，转盘停止后，参与者交费2元的概率＝ ；
参与者获奖3元的概率＝ ；
参与者获奖1元的概率＝ ．
【解析】【分析】利用概率公式分别计算各事件的概率即可。
41．某校为了调查九年级学生寒假期间平均每天观看冬奥会时长情况，随机抽取部分学生进行调查，根据收集的数据绘制了不完整的频数分布表和频数分布直方图如下：
“平均每天观看纪录片时长”频数表
观看时长（min） 频数（人） 频率
2
6
18
4
（1）频数分布表中， ▲ ， ▲，请将频数分布直方图补充完整；
（2）九年级共有520名学生，请你根据频数分布表，估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的约有多少人；
（3）校学生会拟在甲、乙、丙、丁四名同学中，随机抽取两名同学做“我与冬奥”主题演讲，请用画树状图法或列表法求恰好抽到甲、乙两名同学的概率．
【答案】（1），10
补全频数分布直方图如下：

（2）解：（人），
即估计九年级学生平均每天观看冬奥会时长超过60分钟的约有52人．
（3）解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两名同学的结果有2种，
∴恰好抽到甲、乙两名同学的概率为：．
【解析】【解答】解：调查学生的人数为：（人）∴，
人，
故答案为：，10．
【分析】（1）用观看时间为 的频数除以频率求出调查的学生人数，再用18除以调查人数求出a的值，总人数乘以观看时间为分的频率求出b，补全频数分布直方图即可．
（2）用九年级人数乘以观看时间为分的频率解答即可．
（3）画树状图得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
42．目前，“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，某校九年级数学兴趣小组的同学随机调查了若干名家长对“中学生带手机”的态度（态度分为：A．无所谓；B．基本赞成；C．赞成；D．反对）．并将调查结果绘制成折线统计图和扇形统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
（1）此次抽样调查中，共调查了多少名家长？
（2）扇形统计图中C所对的圆心角的度数为______；将折线统计图补充完整；
（3）在此次调查活动中，初三（1）班有，两位家长对中学生带手机持反对态度，初三（2）班有，两位家长对中学生带手机也持反对态度，现从这4位家长中选2位家长参加学校组织的家校活动，用列表法或画树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．
【答案】（1）解：共调查的中学生家长数是：（人）；
（2），
C类的人数是：（人），
补图如下：
（3）解：画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中2人来自不同班级共有8种，
∴选出的2人来自不同班级的概率．
【解析】【解答】解：（1）D类所占百分比为：，
扇形C所对的圆心角的度数是：，
故答案为：；
【分析】（1）根据B类的人数及扇形统计图中所占的百分比即可得出调查的总人数；
（2）先求出D、C类在扇形统计图中所占的百分比，然后用乘以C类百分比即为圆心角，用总人数乘以百分比即为C类的人数，然后补全折线统计图即可；
（3）画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出2人来自不同班级的结果，再根据概率公司即可求出答案.
43．【教材原题】
（1）通过第章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．
如图①可以得到的公式为_____；
如图②可以得到的公式为_____；
【探索发现】
（2）现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图③的图形，根据图中条件，、和之间的等量关系为_____；
【结论应用】
（3）①若，则_____；
②当时，求的值；
【拓展提升】
（4）如图④，若大正方形的边长为，小正方形的边长为，已知这两个正方形的边长之和为3，则阴影部分的面积为_____．
【答案】（1），；
（2）；
（3）①，
②令，
则，
，
；
由（2）可知，
则；
（4）
【解析】【解答】（1）解：由①可得，
由②可得，
故答案为：，；
（2），，
，
即，
故答案为：；
（3）解：①，
，
故答案为：；
（4）解：根据题意可知，
，
，
根据图形可知阴影部分的面积为两个正方形面积的一半，故阴影部分的面积为，
故答案为：．
【分析】(1) 分别用整体法和分割法计算图①、图②的面积，推导出完全平方和与完全平方差公式。
(2) 用图①的完全平方和公式减去图②的完全平方差公式，得到、和之间的等量关系。
(3) ① 利用完全平方和公式变形，代入已知数值求出；
② 通过换元法将式子转化为完全平方差形式，代入已知乘积和和值计算结果。
(4) 先对边长和的等式两边平方，求出的值，再根据阴影面积为两正方形面积和的一半，代入计算得到结果。
44．已知
（1）求 ab+ bc+ ca 的值.
（2）求 的值.
【答案】（1）解：
得
（2）解：由 得
即
得 又
平方得
故
【解析】【分析】(1)根据完全平方和公式展开( 然后将 整体代入来求 的值；
(2)根据完全平方和公式展开 然后将 整体代入来求 的值.
45．已知，，…，的值都是1或－1，设S是这2002个数的两两乘积之和．（参考公式：）
（1）求S的最大值和最小值，并指出能达到最大值、最小值的条件；
（2）求S的最小正值，并指出能达到最小正值的条件．
【答案】（1）解：，
，
当或时，S取得最大值2003001；
当，，…，中有1001个1，1001个0时，S取得最小值.
（2）∵大于2002的最小完全平方数为，且必为偶数，
∴当或时，即当这2002个数中有1024个1，978个，或有1024个， 978个1时，S取得最小值．
【解析】【分析】（1）由于，可得，时，m有最大值，时，m有最小值，最大值为2003001，最小值为；
（2）找到最小的比2002大的偶数完全平方数，即当这2002个数中有1024个1，978个，或有1024个， 978个1时取得最小正值．
（1）解：，
，
当或时，S取得最大值2003001，
当，，…，中有1001个1，1001个－1时，S取得最小值；
（2）∵大于2002的最小完全平方数为，且必为偶数，
∴当或时，即当这2002个数中有1024个1，978个，或有1024个， 978个1时，S取得最小值．
46．定义：是多项式化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式乘多项式化简得到多项式（即），如果，则称是的“好多项式”，如果，则称是的“极好多项式”．
（1）若，均是关于的多项式，则_________选填“是”或“不是”）的“好多项式”；
（2）若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，则__________；
（3）若，均是关于的多项式，且是的“极好多项式”，求的值．
【答案】（1）是
（2）2
（3）解：∵，，∴
，
当时，则，，此时B是A的“极好多项式”，符合题意；
当时，，
∵B是A的“极好多项式”，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
【解析】【解答】（1）解：B是A的“好多项式”，
理由如下：∵，，
∴
，
∵，，
∴，
∴B是A的“好多项式”；
故答案为：是．
（2）解：∵，，
∴
，
∵，B是A的“极好多项式”，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；
【分析】（1）根据定义，计算，则，，得，则B是A的“好多项式”；
（2），根据题意，得，则，；
（3）先求出当时，则，，此时B是A的“郡园志勤多项式”，符合题意；当时， 则，即可得到，则，综上所述，或．
（1）解：B是A的“好多项式”，理由如下：
∵，，
∴
，
∵，，
∴，
∴B是A的“好多项式”；
故答案为：是．
（2）解：∵，，
∴
，
∵，B是A的“极好多项式”，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2；
（3）解：∵，，
∴
，
当时，则，，此时B是A的“极好多项式”，符合题意；
当时，，
∵B是A的“极好多项式”，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或．
47．附加题：(有兴趣的同学自愿完成)
已知a= +2019，b= +2020，c= +2021，请计算代数式a2+b2+c2-ab-bc-ac的值
【答案】解：因为a= +2019， b= +2020，c= +2021
所以a-b=-1，a-c=-2，b-c=-1
则原式= (2a2 +2b2+2c2 -2ab-2ac-2bc)
= [(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2]
= (1+4+1)
=3
【解析】【分析】关键是完全平方式的灵活应用，给代数式扩大2倍，则恰好得到a、b、c三个字母两两之差的完全平方，结合已知即可计算出其结果，最后再给结果除以2就可以了。
48．为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这四个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果．
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或画树状图求他俩选到相同社团的概率．
【答案】（1）解：所有的可能结果共有 6 种， 分别为 ， ．
（2）解：两树状图如下：
共有 9 种等可能的结果， 其中小宇和小江选到相同社团的结果有 3 种，
所以他俩选到相同社团的概率为 ．
【解析】【分析】（1）将所有可能的结果列举出来即可；
（2）本题考察通过画树状图求概率，画出树状图，共有 9 种等可能的结果， 其中小宇和小江选到相同社团的结果有 3 种，再根据概率计算公式算出概率即可.
49．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
（1）上述操作能验证的等式是________（填字母）．
A．
B．
C．
（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：
①已知，，求的值；
②计算：；
③计算：．
【答案】（1）B
（2）解：①，即，而，
；
②原式
；
③原式
．
【解析】【解答】（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，
故答案为：B.
【分析】（1）利用不同的表达式表示同一个图形的面积即可证出；
（2）①利用平方差公式可得，再结合，求出即可；
②先利用平方差公式展开，再计算即可；
③先将原式变形为，再用平方差公式的计算方法分析求解即可.
（1）解：图1中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为，
所以有，
故选：B；
（2）解：①，即，而，
；
②原式
；
③原式
．
50．如图， 这是一个台灯的示意图， 其中灯头连结杆 始终和桌面 平行， 灯脚 始终和桌面 垂直．
（1） 当 时， 求 的度数．
（2） 连杆 可以绕着 和 进行旋转， 灯头 始终在 左侧， 设 ， 的度数分别为 ， 请写出 之间的数量关系．
【答案】（1）解：如图， 过点 作 ， 延长 交 于点 ．
．
（2）解：如图，过点B作MN∥DE，过点C作PQ∥DE，
∵DE∥FG，
∴MN∥DE∥PQ∥FG，
①若∠DCB在左侧，∠CBA在右侧，如图1，
由MN∥DE∥PQ∥FG，∠EDC=α，∠DCB=β，∠CBA=γ，
同（1）可得，∠DCP=180°-∠D=180°-α，
∴∠BCP=∠BCD-∠DCP=β-(180°-α)=α+β-180°，
同理，∠CBN=∠ABC-∠ABN=∠BCP，即，整理得.
②若∠DCB在右侧，∠CBA在右侧，如图2，
同理可得，∠DCQ=∠D=α，
∴∠BCQ=∠BCD-∠DCQ=β-α，
∠CBN=∠ABC-∠ABN=180°-∠BCQ，即，整理得.
③若∠DCB在左侧，∠CBA在左侧，如图3，
同理可得，∠DCP=180°-α，
∴∠BCP=∠BCD-∠DCP=α+β-180°，
∠CBM=∠ABC-∠ABM=180°-∠BCP，即，整理得.
④若∠DCB在右侧，∠CBA在左侧，如图4，
同理可得，∠DCQ=∠D=α，
∴∠BCQ=∠BCD-∠DCQ=β-α，
∠CBM=∠ABC-∠ABM=∠BCQ，即，整理得.
综上所述， 之间的数量关系可能为；；；
【解析】【分析】（1）为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质即可推理分析目标角的度数；
（2）首先根据行成目标角的位置不同进行分类并画出大致草图，角度关系推理则同理，即通过过拐点作已知直线的平行线，在设元的基础上逐一进行表示，结合平行线的性质逐一推理分析角度关系即可.
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