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【精选热题·50道解答题专练】北师大版数学八年级下册期中复习测试卷
1．如图，在 中， 平分线AD与 的平分线相交于点E，过点E向AB作垂线EF，DE与EF相等吗？说明你的理由
2．如图，一船上午 时从海岛 出发，以 海里/时的速度向正北方向航行， 时到达 处，从 、 两处分别望灯塔 ，测得 ， ，求从 处到灯塔 的距离.
3．如图所示，为了固定电线杆，将两根长均为的钢丝一端同系在电线杆上的点A处，另一端固定在地面上的两个针上，那么两个锚离电线杆底部的距离相等吗？为什么？
4．解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
5．珠海台创园坐落于珠海市高栏港经济区平沙镇，是经国家农业部、国台办批准的广东省首家台创园，承担“广东（珠海）现代种业发展中心”项目，种植莲雾、芭乐等多种特色水果．夏季正是大量水果上市的时候，已知购买2斤莲雾和3斤芭乐共需要76元，购买4斤莲雾和5斤芭乐共需要140元．
（1）求每斤莲雾和每斤芭乐的售价分别是多少元？
（2）平沙某校七年级组织“六一”美食活动，计划从台创园购买莲雾和芭乐共100斤，且购买的总费用不能超过1500元，则至少应购买芭乐多少斤？
6．文化旅游节期间，某市所有A级旅游景区将实行门票五折的优惠政策．一商店抓住商机，决定购进甲、乙两种旅游节纪念品在节会期间进行销售．若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要340元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品5件，需要620元．
（1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，其中甲种纪念品的数量不少于38件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过6800元，那么该商店共有几种进货方案？
7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，△ABC的角平分线BE交AD于点O，已知∠ABC=40°，求∠AOB度数．
8．一架巡逻机从某基地出发，出发时油箱中油量为24000升．如图①，为了确保巡逻机持续飞行，出发后每隔1小时开始对飞行中的巡逻机进行空中加油，每次加油的速度为1600升/分钟，加油时间为2分钟．飞行过程中，假设巡逻机平均每分钟的耗油量相同，巡逻机的剩余油量y（升）与飞行时间x（分钟）之间的部分关系如图②．
（1）飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量为_______升；加油过程中，巡逻机油箱中油量上升的速度为_______升/分钟；
（2）求线段的函数表达式，并写出点A的实际意义；
（3）要使巡逻机返航时的剩余油量不低于16000升，则x的最大值为_______．
9．如图，在中，，，求的度数．
10．如图，直线：与x轴交于点B，与y轴交于点D，与直线：交于点A；直线：与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线：交于点E．
（1）点A的坐标是　 　，点B的坐标是　 　，点C的坐标是　 　．
（2）观察图象，当时，x的取值范围为　 　．
（3）试说明是等腰三角形．
11．根据以下提供的 边形信息，求 边形的内角和．
⑴ 边形的对角线总条数为 .
⑵ 边形的对角线总条数与边数相等．
12．解不等式 ，并在数轴上表示不等式组的解．
13．如图，为等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
14．已知，且度数均为整数，若，求：的度数．
15．解不等式：．请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．
16．已知一次函数．
（1）当y随x的增大而增大，求m的取值范围；
（2）若图象经过一、二、三象限，求m的取值范围；
（3）若，当时，求y的取值范围．
17．下面是小华设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC，求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．
试结合小华设计的尺规作图过程，说明AD为什么是△ABC的高．
18．如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠ABC交AD于点E，若∠C＝65°，∠BED＝68°，求∠ABC和∠BAC的度数．
19．解下列不等式，并把解集表示在数轴上．
（1）
（2）
20． 解一元一次不等式：，并把它的解集表示在数轴上.
21．张明的父亲打算在院子里种上蔬菜．已知院子是东西长为40m，南北宽为30m的长方形，为了行走方便，要修筑同样宽的三条道路（如图），东西方向两条，南北方向一条．南北方道路垂直于东西道路，余下的部分分别种上蔬菜．若每条道路的宽为1m，求种蔬菜的土地的总面积．
22．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，求∠C的度数．
23．已知方程组的解为正数，求a的取值范围．
24．如图， 是 的角平分线，在 上截取 .若 ， ，试求 的度数.
25． 2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相。第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生。已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元。
（1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？
（2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？
（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
26．如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，在已知的直角坐标系中，A（0，1），B（3，2）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2，并写出C2点的坐标．
27．已知，如图△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数．
28．如图，在中，．
（1）求的度数；
（2）过点Q作，交AP的延长线于点B，求证：．
29．如图，中，，，．
（1）求的面积；
（2）设点在上，若，求的长；
（3）设点在上，若为等腰三角形，求的长．
30．如图，是的角平分线，，，点P是上一动点．
（1）连接，求的最小值；
（2）若，求的面积．
31．解不等式组： ，并写出它的所有非负整数解．
32．【情境】嘉淇同学利用几何软件画出如图1所示的箭头，箭头的顶点均在格点上，继续画出两条直线，作出箭头关于直线对称的箭头，再作出箭头关于直线对称的箭头，对应点的连线、分别与对称轴相交于点、．
【探究】
情形一：当直线与直线平行时，如图2．
（1）箭头可以看作是箭头沿着射线方向平移而成的图形，平移的距离等于线段_____的长度；
（2）试说明：；
情形二：当直线与直线相交于点时，如图3．
（3）箭头可以看作是箭头绕着点_____旋转而成的图形，旋转角为_____，与的数量关系为_____；
（4）【拓展】当直线与直线垂直时，箭头与箭头是否关于点成中心对称？_____（填“是”或“否”）．
33．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，且EC∥AD．证明：△ACE是等腰三角形．
34．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，求△BCE的面积．
35．一个多边形，它的内角和比外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数.
36．解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
37．如图1，线段，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，使得．
（1）请说明的理由．
（2）若，将线段沿着直线平移得到线段，，的对应点分别为，，连接．
①如图2，当时，求的度数；
②在整个运动中，当时，则的度数 ▲ ．（直接写出答案）
38．如图，在 中， ， ， ， ， ，求 的长.
39．对于不等式组，根据它的解集是否能取到最大数与最小数，可分为四种类型，我们不妨约定：
既能取到最大数，也能取到最小数的不等式组称为“峰谷”不等式组，其中最大数称为峰值，最小数称为谷值；
只能取到最大数，不能取到最小数的不等式组称为“峰”不等式组，其中最大数称为峰值；
只能取到最小数，不能取到最大数的不等式组称为“谷”不等式组，其中最小数称为谷值；
既不能取到最大数，又不能取到最小数的不等式组称为“非峰非谷”不等式组。
（1）判断下列不等式组的类型，将字母（A“峰谷”不等式组；B“峰”不等式组；C“谷”不等式组；D“非峰非谷”不等式组）写在括号内：
①不等式组（　　）
②不等式组（　　）
③不等式组（　　）
（2）若关于x的不等式组是“谷”不等式，求关于x的不等式的解集；
（3）若关于x的不等式组是“峰谷”不等式组，且该不等式组的峰值、谷值均为整数，此时关于y的不等式组有4个整数解，求n的取值范围.
40．如图，点 是等边△ 内一点， ， ， ．求 的度数．
41．如图，将三角板与三角板摆放在一起；其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．
（1）在旋转过程中，若，则当时，为_______度时（请直接写出值的）：
（2）在旋转过程中，若，试探究与之间的数量关系；
（3）在旋转过程中，若，当的一边与的一边平行（不共线）时，为_______度（请直接写出的值）．
42．如图，OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，垂足分别为E，F，且AB＝CD，∠ABD＝120°，∠CDB＝38°，求∠OBD的度数.
43．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于点P，交AC于点M，连接PC．
（Ⅰ）若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；
（Ⅱ）若AB＝BC，BM2+CM2＝m2（m＞0），△PCM的周长为m+2时，求△BCM的面积（用含m的代数式表示）．
44．如图①，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2m-6，0)，B(4，0)，C(-1，2)，点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于6个单位长度．
（1）m的值为_________；
（2）在x轴上是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，把线段AB向上平移2个单位得到线段EF，连接AE，BF，EF交y轴于点G，过点C作CD⊥AB于点D，将长方形GOBF和长方形AECD分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线AECDA运动，当长方形GOBF与长方形AECD重叠面积为1时，求此时点M的坐标．
45．若凸(4n+2)边形. (n为自然数)的每个内角都是 30°的整数倍，且 求n的值.
46．今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见下表：
票的种类 A B C
购票人数（人） 100以上
票价（元） 50 45 40
某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．
（1）求两个旅游团各有多少人？
（2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？
47．如图，在中，。作出AB边的垂直平分线DE，交AC于点，交AB于点，连接BD。
（1）下列结论正确的是 ▲ (填序号)。
①BD平分；②；③的周长等于；④。
（2）结论正确的说明理由。
48．如图1，将一条两边沿互相平行的纸带折叠(AM∥BN，AD∥BC)，AB为折痕，AD交BN于点E.
（1）试说明：∠MAD=∠NBC.
（2）设∠MAD的度数为x，试用含x的代数式表示∠ABE的度数.
（3）①若按图2所示的方式折叠，请问(2)中的关系式是否仍然成立 并说明理由.
②若∠ABE的度数是∠MAD度数的两倍，求∠MEC的度数.
49．如图，在△CBD中，CD＝BD，CD⊥BD，BE平分∠CBA交CD于点F，CE⊥BE垂足是E，CE与BD交于点A，求证，
（1）BF＝AC；
（2）BE是AC的中垂线；
（3）若AD＝2，求BD的长．
50．如图，在中，，，是经过点的直线，于，于．
（1）求证：．
（2）若将绕点旋转，使与相交于点如图，其他条件不变，求证：．
（3）在的情况下，若的延长线过的中点如图，连接，求证：．
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【精选热题·50道解答题专练】北师大版数学八年级下册期中复习测试卷
1．如图，在 中， 平分线AD与 的平分线相交于点E，过点E向AB作垂线EF，DE与EF相等吗？说明你的理由
【答案】解： ；
理由如下：
， 平分 ，
，
平分 ， ，
.
【解析】【分析】首先利用等腰三角形的三线合一 得到 ，然后根据角平分线上的点到角两边的距离相等证得 即可.
2．如图，一船上午 时从海岛 出发，以 海里/时的速度向正北方向航行， 时到达 处，从 、 两处分别望灯塔 ，测得 ， ，求从 处到灯塔 的距离.
【答案】解： ， ，
，
，
，
，
，
答：从 处到灯塔 的距离是 海里.
【解析】【分析】先求出，从而可得，利用等角对等边即得 ，利用速度×时间=路程可求出BC的长，从而得出结论.
3．如图所示，为了固定电线杆，将两根长均为的钢丝一端同系在电线杆上的点A处，另一端固定在地面上的两个针上，那么两个锚离电线杆底部的距离相等吗？为什么？
【答案】解：相等．理由如下：
，
，
在和中，，
．
，
即两个针离电线杆底部的距离相等．
【解析】【分析】根据HLAB=AC，AD=AD判定直角三角形全等即可得．
4．解不等式组，并求出它的所有整数解的和．
【答案】解：
由得，，
解得，；
由得，，
移项得，，
解得，，
原不等式组的解为：，
所有整数解为：，
所有整数解的和为：．
【解析】【分析】直接移项解出不等式①的解集，去分母，移项解不等式②的解集，再根据不等式组解集确定的口诀，确定不等式组的解集，写出所有整数解，再求和.
5．珠海台创园坐落于珠海市高栏港经济区平沙镇，是经国家农业部、国台办批准的广东省首家台创园，承担“广东（珠海）现代种业发展中心”项目，种植莲雾、芭乐等多种特色水果．夏季正是大量水果上市的时候，已知购买2斤莲雾和3斤芭乐共需要76元，购买4斤莲雾和5斤芭乐共需要140元．
（1）求每斤莲雾和每斤芭乐的售价分别是多少元？
（2）平沙某校七年级组织“六一”美食活动，计划从台创园购买莲雾和芭乐共100斤，且购买的总费用不能超过1500元，则至少应购买芭乐多少斤？
【答案】（1）解：设每斤莲雾的售价为元，每斤芭乐的售价为元，根据题意得：
解得：
答：每斤莲雾的售价20元，每斤芭乐的售价12元；
（2）解：设购买芭乐斤，则购买莲雾斤，根据题意得：
解得：
答：至少应购买芭乐62.5斤．
【解析】【分析】（1）本问可用二元一次方程组来求解，一般而言，题设问什么，就设什么为x或y，所以设每斤莲雾的售价为元，每斤芭乐的售价为元，根据“购买2斤莲雾和3斤芭乐共需要76元，购买4斤莲雾和5斤芭乐共需要140元”列出方程组，求解即可；
（2）本问需要求解至少应购买芭乐多少斤，关键词为“至少”，说明求解本题需要列不等式，设购买芭乐斤，则购买莲雾斤，根据“购买的总费用不能超过1500元”列出不等式，求解即可．
（1）解：设每斤莲雾的售价为元，每斤芭乐的售价为元，根据题意得：
解得：
答：每斤莲雾的售价20元，每斤芭乐的售价12元；
（2）解：设购买芭乐斤，则购买莲雾斤，根据题意得：
解得：
答：至少应购买芭乐62.5斤．
6．文化旅游节期间，某市所有A级旅游景区将实行门票五折的优惠政策．一商店抓住商机，决定购进甲、乙两种旅游节纪念品在节会期间进行销售．若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要340元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品5件，需要620元．
（1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，其中甲种纪念品的数量不少于38件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过6800元，那么该商店共有几种进货方案？
【答案】（1）解：设购进每件甲种纪念品需要x元，购进每件乙种纪念品需要y元，
依题意得：，
解得：．
答：购进每件甲种纪念品需要80元，购进每件乙种纪念品需要60元．
（2）解：设购进甲种纪念品m件，则购进乙种纪念品件，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以为38，39，40，
∴该商店共有3种进货方案．
【解析】【分析】（1）设购进每件甲种纪念品需要x元，购进每件乙种纪念品需要y元，根据“ 甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要340元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品5件，需要620元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设购进甲种纪念品m件，则购进乙种纪念品件，根据“ 用于购买这100件纪念品的资金不能超过6800元 ”列出不等式组，再求解即可.
（1）解：设购进每件甲种纪念品需要x元，购进每件乙种纪念品需要y元，
依题意得：，
解得：．
答：购进每件甲种纪念品需要80元，购进每件乙种纪念品需要60元．
（2）设购进甲种纪念品m件，则购进乙种纪念品件，
依题意得：，
解得：．
又为正整数，
可以为38，39，40，
∴该商店共有3种进货方案．
7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，△ABC的角平分线BE交AD于点O，已知∠ABC=40°，求∠AOB度数．
【答案】解：∵AD⊥BC．
∴∠ADB=90°
∴∠BAD=90°-∠ABC= 50°
∵∠ABC=40°，BE平分∠ABC
∴∠ABO=∠ABC= 20°
∴∠AOB=180°-∠ABO-∠BAD=110°
【解析】【分析】根据 AD⊥BC 得∠ADB，进而得到∠BAD，再根据角平分线得∠ABO，最后根据三角形内角和得 ∠AOB .
8．一架巡逻机从某基地出发，出发时油箱中油量为24000升．如图①，为了确保巡逻机持续飞行，出发后每隔1小时开始对飞行中的巡逻机进行空中加油，每次加油的速度为1600升/分钟，加油时间为2分钟．飞行过程中，假设巡逻机平均每分钟的耗油量相同，巡逻机的剩余油量y（升）与飞行时间x（分钟）之间的部分关系如图②．
（1）飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量为_______升；加油过程中，巡逻机油箱中油量上升的速度为_______升/分钟；
（2）求线段的函数表达式，并写出点A的实际意义；
（3）要使巡逻机返航时的剩余油量不低于16000升，则x的最大值为_______．
【答案】（1）100；1500
（2）解：（升），∴，
（升），
∴，
设线段的函数表达式为（k、b为常数，且），
将坐标和分别代入，
得，
解得，
∴线段的函数表达式为，点A的实际意义表示巡逻机飞行62分钟时油箱中剩余油量是21000升．
（3）112
【解析】【解答】（1）解：飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量为（升），
加油过程中，巡逻机油箱中油量上升的速度为（升）．
故答案为：100，1500．
（3）解：根据题意，得，
解得，
∴x的最大值为112．
故答案为：112．
【分析】
（1）根据巡逻机平均每分钟的耗油量=油箱中油量的减少量÷飞行时间，巡逻机油箱中油量上升的速度=每分钟的加油量-每分钟的耗油量，分别列式计算即可；
（2）先根据题意，求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求出线段的函数表达式即可；
（3）根据线段的函数表达式列关于x的一元一次不等式并求其解集，从而得到x的最大值即可．
（1）解：飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量为（升），
加油过程中，巡逻机油箱中油量上升的速度为（升）．
故答案为：100，1500．
（2）解：（升），
∴，
（升），
∴，
设线段的函数表达式为（k、b为常数，且），
将坐标和分别代入，
得，
解得，
∴线段的函数表达式为，点A的实际意义表示巡逻机飞行62分钟时油箱中剩余油量是21000升．
（3）解：根据题意，得，
解得，
∴x的最大值为112．
故答案为：112．
9．如图，在中，，，求的度数．
【答案】解：在中，，，
，
是的一个外角，
，
在中，，，
．
【解析】【分析】先利用等边对等角的性质可得，再利用三角形外角的性质求出∠ADB的度数，最后结合AB=AD，利用等边对等角的性质可得．
10．如图，直线：与x轴交于点B，与y轴交于点D，与直线：交于点A；直线：与x轴交于点C，与y轴交于点D，与直线：交于点E．
（1）点A的坐标是　 　，点B的坐标是　 　，点C的坐标是　 　．
（2）观察图象，当时，x的取值范围为　 　．
（3）试说明是等腰三角形．
【答案】（1）；；
（2）
（3）解：联立 和 ，得 解得 所以点E的坐标为 ．
如图，过点A作y轴的垂线，垂足为G，与过点E作x轴的垂线交于点F，过点D作 于点P．因为 ， ， ，所以 ．
因为 ， ， ，所以 ．
因为 ， ， ，所以 ，所以 ，
所以 为等腰三角形．
【解析】【解答】解：（1）解：联立得：，点A的坐标为；
解得：，
∴点A的坐标为；
由：，当时，，
解得：，
∴点B的坐标为；
由：，当时，，
解得：，
∴点C的坐标为；
故答案为：；；
（2）解：观察图象，当时，x的取值范围为．
故答案为：
【分析】（1）联立，可求出点A的坐标，令，可求出点B，C的坐标；
（2）根据函数图象，即可求解；
（3）联立和，得，得出点E的坐标为．过点A作y轴的垂线，垂足为G，与过点E作x轴的垂线交的延长线于点F，过点D作于点P．然后根据勾股定理分别求出，即可求解．
11．根据以下提供的 边形信息，求 边形的内角和．
⑴ 边形的对角线总条数为 .
⑵ 边形的对角线总条数与边数相等．
【答案】解：解：由题意，得
，即 ，
解得 ， 舍，
由内角和公式，得
【解析】【分析】根据n边形的对角线总条数与边数相等，可得多边形，再根据多边形的内角和公式，可得答案．
12．解不等式 ，并在数轴上表示不等式组的解．
【答案】解： ，
由①得：x＞2，
由②得：x≥ ，
则不等式组的解集为x≥ ．
【解析】【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
13．如图，为等腰直角三角形，，点在上，点在的延长线上，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）证明：为等腰直角三角形，，
，
在和中，
，，
．
（2）解：为等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
因此的度数为．
【解析】【分析】（1）根据等腰之间的三角形性质可得 ，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据等腰之间的三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，由全等三角形性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）证明：为等腰直角三角形，，
，
在和中，
，，
．
（2）解：为等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
因此的度数为．
14．已知，且度数均为整数，若，求：的度数．
【答案】解：设的度数为，的度数为，
，
，
，
，
，
解得：，
度数均为整数，
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，；
当时，，，，
综上可知，的度数为或或或．
【解析】【分析】 设的度数为，的度数为， 则∠B=180°-7x，由，即得 ， 解得， 求出三个内角的度数均为整数时的∠B的度数即可.
15．解不等式：．请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ；
（2）解不等式②，得 ；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．
【答案】（1）
（2）
（3）解：根据（1）和（2）结果，作图如下，
（4）
【解析】【解答】（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：；
（4）解：根据（3）中的图形，可知不等式组的解集为：，
故答案为：．
【分析】（1）根据去括号，移项，合并同类项即可求解；
（2）根据去分母，移项，合并同类项，系数化为1即可求解；
（3）根据（1）和（2）的计算结果并结合“＞”空心向右、“≤”实心向左作图即可；
（4）根据（3）中的图形，找到两个解集的公共部分，即可求解．
（1）
，
故答案为：；
（2）
，
故答案为：；
（3）根据（1）和（2）结果，作图如下，
（4）根据（3）中的图形，可知不等式组的解集为：，
故答案为：．
16．已知一次函数．
（1）当y随x的增大而增大，求m的取值范围；
（2）若图象经过一、二、三象限，求m的取值范围；
（3）若，当时，求y的取值范围．
【答案】（1）解：依题意，，
解得：；
（2）解：∵函数图像经过第一、二、三象限，
∴，
解得：；
（3）解：∵，
∴函数解析式为：，
，随的增大而增大
当时，，当时，，
∴当时，．
【解析】【分析】本题以一次函数的图象与性质为背景，综合考查一次函数的增减性、图象经过的象限与系数的关系以及给定自变量范围求函数值范围。
（1）由“x 随 y 增大而增大”得一次项系数 2m + 4 > 0，解不等式得 m > -2；
（2）图象经过第一、二、三象限，需同时满足一次项系数大于 0（图象上升）且常数项大于 0（与 y 轴交于正半轴），列不等式组求解；
（3）代入 m = 1 得解析式 y = 6x + 2，由 k > 0 得函数在区间上递增，分别计算端点函数值即得 y 的取值范围。
17．下面是小华设计的“作三角形一边上的高”的尺规作图过程．
已知：△ABC，求作：△ABC的边BC上的高AD．
作法：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交直线BC于点M，N；
②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；
③作直线AP交BC于点D，则线段AD即为所求△ABC的边BC上的高．
试结合小华设计的尺规作图过程，说明AD为什么是△ABC的高．
【答案】证明：连接AM、AN、PM、PN，
由作图知：AM=AN，PM=PN，
∴A点和P点在MN的垂直平分线上，
即AP垂直平分MN，
∴AD⊥BC，
即AD是△ABC的高．
【解析】【分析】连接AM、AN、PM、PN，由作图知：AM=AN，PM=PN，推出AP垂直平分MN，则AD⊥BC，据此解答.
18．如图，AD是△ABC边BC上的高，BE平分∠ABC交AD于点E，若∠C＝65°，∠BED＝68°，求∠ABC和∠BAC的度数．
【答案】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∴∠BED+∠EBD＝90°，
∵∠BED＝68°，
∴∠EBD＝22°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBD＝44°；
∵∠ABC+∠BAC+∠C＝180°，
∵∠C＝65°，
∴∠BAC＝71°．
【解析】【分析】先根据三角形的高得到∠ADB＝∠ADC＝90°，进而根据角的运算得到∠EBD＝22°，从而根据角平分线的定义得到∠ABC＝2∠EBD＝44°，再根据角的运算即可求解。
19．解下列不等式，并把解集表示在数轴上．
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
；
在数轴上表示如下：
．
（2）解：，
，
，
，
，
；
在数轴上表示如下：
【解析】【分析】（1）去括号、移项、合并同类项，系数化为1求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1求出不等式的解集，然后在数轴上表示即可．
（1）解：，
，
，
；
在数轴上表示如下：
．
（2）解：，
，
，
，
，
；
在数轴上表示如下：
20． 解一元一次不等式：，并把它的解集表示在数轴上.
【答案】解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
该不等式的解集在数轴上表示如图：
【解析】【分析】根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，进而根据数轴上表示不等式解集的方法“大向右，小向左，实心等于，空心不等"，据此将该不等式的解集在数轴上表示出来即可.
21．张明的父亲打算在院子里种上蔬菜．已知院子是东西长为40m，南北宽为30m的长方形，为了行走方便，要修筑同样宽的三条道路（如图），东西方向两条，南北方向一条．南北方道路垂直于东西道路，余下的部分分别种上蔬菜．若每条道路的宽为1m，求种蔬菜的土地的总面积．
【答案】解：（40﹣1）（30﹣2）=39×28=1092m2，
答：种蔬菜的土地的总面积1092m2．
【解析】【分析】把道路移到种蔬菜的土地的边上，种蔬菜的土地的长为（40﹣1）m，宽为（30﹣2）m，再根据长方形的面积公式进行计算即可．
22．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，求∠C的度数．
【答案】解：∵∠B=90°，∠BAE=10°，
∴∠BEA=80°．
∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=EC，
∴∠C=∠EAC．
∵∠BEA=∠C+∠EAC，
∴∠C=40°
【解析】【分析】根据直角三角形的性质求得∠BEA=80°；根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，则∠C=∠EAC，再根据三角形的外角的性质即可求解．
23．已知方程组的解为正数，求a的取值范围．
【答案】解：解方程组得：，
由题意得：，
解得：，
∴
【解析】【分析】先解二元一次方程组得，再根据其解为正数得，解出不等式的解集即可.
24．如图， 是 的角平分线，在 上截取 .若 ， ，试求 的度数.
【答案】解： ， ， .
平分 ， .
.
， ，
∴ .
.
【解析】【分析】根据三角形内角和定理得到 ，根据角平分线的定义得到 ，通过证明 得到 .
25． 2024年8月6日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”在京发布，吉祥物“蜀宝”和“锦仔”亮相。第一中学为鼓励学生积极参加体育活动，准备购买“蜀宝”和“锦仔”奖励在活动中表现优秀的学生。已知购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元。
（1）购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要多少元？
（2）若学校计划购买这两种吉祥物共30个，投入资金不少于2160元又不多于2200元，有哪几种购买方案？
（3）设学校投入资金W元，在（2）的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？
【答案】（1）解：设购买一个“蜀宝”需要x元，购买一个“锦仔”需要y元，由题意得：
解得：
答： 购买一个“蜀宝”需要88元，购买一个“锦仔”68元
（2）解：设购买“蜀宝” a个， 则购买“锦仔”(30-a) 个.由题意得：
1880+688(30-2)≥22000
解得： 6≤a≤8
∵a和(30-a)均为正整数
∴a=6，7，8
30-a=24，23，22
共有3种购买方案：
方案一：购买“蜀宝”6个，购买“锦仔”24个；
方案二：购买“蜀宝”7个，购买“锦仔”23个；
方案三：购买“蜀宝”8个，购买“锦仔”22个.
（3）解：由题意可得：
W=88a+68(30-a)=20a+2040∵k=20＞0
∴W随a的增大而增大∴当a=6时， 元
答：学校购买“蜀宝”6个，购买“锦仔”24个，投入资金最少，最少资金是2160元.
【解析】【分析】（1）设购买一个“蜀宝”需要x元，购买一个“锦仔”需要y元，根据购买3个“蜀宝”和1个“锦仔”共需花费332元，购买2个“蜀宝”和3个“锦仔”共需380元，可得方程组，解方程组求得方程组的解，即可得出答案；
（2）设购买“蜀宝” a个， 则购买“锦仔”(30-a) 个，根据 投入资金不少于2160元又不多于2200元， 可得出不等式1880+688(30-2)≥22000，解不等式求得不等式的解集，进一步即可得出不等式的整数解，即可得出购买方案；
（3） 设学校投入资金W元，购买“蜀宝” a个， 则购买“锦仔”(30-a) 个，由（1）可知购买一个“蜀宝”需要88元，购买一个“锦仔”68元，可得出W=88a+68(30-a)=20a+2040，然后根据一次函数的增减性，结合（2）的方案，即可得出当a取最小值6时， 需要的资金最少 ，并可进一步求出最小值。
26．如图，△ABC的顶点均在正方形网格的格点上，在已知的直角坐标系中，A（0，1），B（3，2）．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）画出将△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°后所得的△A2B2C2，并写出C2点的坐标．
【答案】解：（1）△A1B1C1为所作；
（2）△A2B2C2为所作，C2点的坐标为（﹣4，1）．
【解析】【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征，写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可得到△A1B1C1；
（2）利用网格特点和旋转的性质，画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，则可得到△A2B2C2，然后写出C2点的坐标．
27．已知，如图△ABC中，∠B＝65°，∠C＝45°，AD是BC边上的高，AE是∠BAC的平分线．求∠DAE的度数．
【答案】解：∵∠B＝65°，∠C＝45°
∴∠BAC=70°
∵AE是∠BAC的平分线
∴∠BAE= ∠BAC=35°
∵AD是BC边上的高
∴∠BAD=90°－∠B=25°
∴∠DAE=∠BAE-∠BAD=10°
【解析】【分析】根据三角形内角和定理求出∠BAC=70°，又因为AE是∠BAC的平分线，所以∠BAE= ∠BAC=35°，再利用AD是BC边上的高求出∠BAD的度数，之后进一步求解即可.
28．如图，在中，．
（1）求的度数；
（2）过点Q作，交AP的延长线于点B，求证：．
【答案】（1）解：
为的外角
（2）证明：
在和中
∴
（方法不唯一）
【解析】【分析】（1）先利用三角形外角的性质及计算方法求出，再结合，利用角的运算求出∠PAC的度数即可；
（2）先证出，再利用“ASA”证出即可.
29．如图，中，，，．
（1）求的面积；
（2）设点在上，若，求的长；
（3）设点在上，若为等腰三角形，求的长．
【答案】（1）解：，，，
，
∴的面积，
答：三角形ABC的面积为96；
（2），
，
设，
，
，
解得：，
；
（3）的长为8或10或．
如图1，当时，，
如图2，当时，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
如图3，当时，过作于点，
则，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为8或10或．
【解析】【分析】
（1）根据勾股定理求得，再由直角三角形面积公式计算即可求解；
（2）由等角对等边可得，设，在中，用勾股定理列关于x的方程，解方程即可求解；
（3）根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：当时，当时，当时，结合图形即可求解．
（1）解：，，，
，
∴的面积，
（2），
，
设，
，
，
解得：，
；
（3）的长为8或10或．
如图1，当时，，
如图2，当时，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
如图3，当时，过作于点，
则，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的长为8或10或．
30．如图，是的角平分线，，，点P是上一动点．
（1）连接，求的最小值；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）解：如图所示，过点D作于H，∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴当点P与点H重合时，有最小值，最小值为；
（2）解：在中，，∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
【解析】【分析】（1）由垂线段最短知，当时最小，此时再应用角平分线的性质知；
（2）由直角三角形两锐角互余可得，由角平分线的概念可知，则由直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半可求出AD的长，再应用勾股定理可得AC，则AB可求，再利用三角形面积公式计算即可．
（1）解：如图所示，过点D作于H，
∵是的角平分线，，，
∴，
∵，
∴当点P与点H重合时，有最小值，最小值为；
（2）解：在中，，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
∴．
31．解不等式组： ，并写出它的所有非负整数解．
【答案】解： 由①4x＋4≤7x＋10，－3x≤6， x≥－2，由②3x－15＜x－8， 2x＜7， ，∴ ，∴非负整数解为0，1，2，3.
【解析】【分析】先分别求出不等式组中的每一个不等式的解集，再确定出不等式组的解集，然后求出不等式组的非负整数解。
32．【情境】嘉淇同学利用几何软件画出如图1所示的箭头，箭头的顶点均在格点上，继续画出两条直线，作出箭头关于直线对称的箭头，再作出箭头关于直线对称的箭头，对应点的连线、分别与对称轴相交于点、．
【探究】
情形一：当直线与直线平行时，如图2．
（1）箭头可以看作是箭头沿着射线方向平移而成的图形，平移的距离等于线段_____的长度；
（2）试说明：；
情形二：当直线与直线相交于点时，如图3．
（3）箭头可以看作是箭头绕着点_____旋转而成的图形，旋转角为_____，与的数量关系为_____；
（4）【拓展】当直线与直线垂直时，箭头与箭头是否关于点成中心对称？_____（填“是”或“否”）．
【答案】（1）；
（2）证明：∵箭头、箭头关于直线对称，箭头、箭头关于直线对称，
∴直线垂直平分，直线垂直平分，
∴，，
又，，
∴
（3）O，，；
（4）是
【解析】【解答】解：
（1）箭头还可以看作是箭头沿着方向平移而成的图形，平移的距离等于线段的长度，
故答案为：；
（3）箭头可以看作是箭头绕着点O旋转而成的，旋转角为，
∵箭头、箭头关于直线对称，箭头、箭头关于直线对称，
∴，
又，，
∴，
即与的数量关系为，
故答案为：O，，；
（4）如图，
箭头与箭头的对称关系是关于点O成中心对称，
故答案为：是．
【分析】
（1）根据平移的定义可判断平移的方向和距离，解答即可；
（2）根据轴对称的性质得出直线垂直平分，直线垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得到，，再进行线段的和差运算解答即可；
（3）根据旋转的性质得到箭头可以看作是箭头绕着点O旋转而成的，旋转角为，轴对称的性质得到，，再进行线段的和差运算解答即可；
（4）先根据题意画出轴对称后的图形，然后根据中心对称的定义判断即可解答．
（1）解：箭头还可以看作是箭头沿着方向平移而成的图形，平移的距离等于线段的长度，
故答案为：；
（2）证明：∵箭头、箭头关于直线对称，箭头、箭头关于直线对称，
∴直线垂直平分，直线垂直平分，
∴，，
又，，
∴
（3）解：箭头可以看作是箭头绕着点O旋转而成的，旋转角为，
∵箭头、箭头关于直线对称，箭头、箭头关于直线对称，
∴，
又，，
∴，
即与的数量关系为，
故答案为：O，，；
（4）解：如图，
箭头与箭头的对称关系是关于点O成中心对称，
故答案为：是．
33．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，且EC∥AD．证明：△ACE是等腰三角形．
【答案】证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵EC∥AD，
∴∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，
∴∠E＝∠ACE，
∴△ACE是等腰三角形．
【解析】【分析】由角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，由平行线的性质可得∠BAD＝∠E，∠CAD＝∠ACE，利用等量代换可得∠E＝∠ACE，根据等腰三角形的判定即证结论.
34．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，求△BCE的面积．
【答案】解：作EF⊥BC于F，
∵BE平分∠ABC，CD是AB边上的高线，EF⊥BC，
∴EF=DE=2，
∴△BCE的面积= ×BC×EF=5
【解析】【分析】作EF⊥BC于F，根据角平分线的性质求出EF，根据三角形的面积公式计算即可．
35．一个多边形，它的内角和比外角和的3倍多180°，求这个多边形的边数及内角和度数.
【答案】解：设多边形边数有n条，由题意得：
180（n-2）=3×360+180，
解得：n=9，
内角和度数：180°×（9-2）=1260°.
答：这个多边形的边数为9；内角和度数为1260°.
【解析】【分析】 设多边形边数有n条 ，根据多边形的内角和公式可知：其内角和为 180（n-2） ，又任何多边形的外角和都是360°，从而根据 内角和比外角和的3倍多180° 列出方程求解算出n的值，进而即可算出答案。
36．解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：解不等式 ，得：x＞﹣2，
解不等式 ，得：x≤5，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤5，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【解析】【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴画出解集即可.
37．如图1，线段，被直线所截，点是线段上的点，过点作，连接，使得．
（1）请说明的理由．
（2）若，将线段沿着直线平移得到线段，，的对应点分别为，，连接．
①如图2，当时，求的度数；
②在整个运动中，当时，则的度数 ▲ ．（直接写出答案）
【答案】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
（2）解：①如图所示，延长，交于点．
根据平移的性质可知，
∴．
∵，
∴．
∴；
②．
【解析】【解答】解：(2) ② 如图，
根据平移的性质可知，
∴，
∵，
∴，
，，
，
.
故答案为：.
【分析】(1)利用平行线的性质得到，进而得到，然后判定.
(2) ① 根据平移的性质可知，再利用平行线的性质得到，然后通过三角形的内角和定理求得的度数.
②根据平移的性质可知，再利用平行线的性质得到，然后通过三角形的外角和定理求得的度数.
38．如图，在 中， ， ， ， ， ，求 的长.
【答案】解：把 绕点 顺时针旋转90°，得到 ，连接 .
根据旋转性质可知 ， ， ， .
∴ .
∴ .
∴ .
∵ ， ，
∴ .
在 中，利用勾股定理可得 .
【解析】【分析】把 绕点 顺时针旋转90°，得到 ，连接 .证明 ≌ ，把 转化到 .而后在 中利用勾股定理求得 长.
39．对于不等式组，根据它的解集是否能取到最大数与最小数，可分为四种类型，我们不妨约定：
既能取到最大数，也能取到最小数的不等式组称为“峰谷”不等式组，其中最大数称为峰值，最小数称为谷值；
只能取到最大数，不能取到最小数的不等式组称为“峰”不等式组，其中最大数称为峰值；
只能取到最小数，不能取到最大数的不等式组称为“谷”不等式组，其中最小数称为谷值；
既不能取到最大数，又不能取到最小数的不等式组称为“非峰非谷”不等式组。
（1）判断下列不等式组的类型，将字母（A“峰谷”不等式组；B“峰”不等式组；C“谷”不等式组；D“非峰非谷”不等式组）写在括号内：
①不等式组（　　）
②不等式组（　　）
③不等式组（　　）
（2）若关于x的不等式组是“谷”不等式，求关于x的不等式的解集；
（3）若关于x的不等式组是“峰谷”不等式组，且该不等式组的峰值、谷值均为整数，此时关于y的不等式组有4个整数解，求n的取值范围.
【答案】（1）解：
解不等式组得①：
解不等式组得② ：
解不等式组得③：
①B②A③D
（2）解：解不等式组得：
∵不等式组为谷不等式
∴
解得：
∵
解得：
（3）解：∵不等式组为峰谷不等式
∴
解不等式组得：
∵峰值、谷值均为整数
解得：
不等式组化为：
解不等式组得：
∵有4个整数解
∴y的整数解为-1，0，1，2
∴
解得：
【解析】【分析】(1)分别解三个不等式组，再根据解集的情况进行判断即可；
(2)先解关于x的不等式组，由“谷”不等式组的概念可得关于a的不等式半解不等式求出a的解集，再把a看作常数解关于x的不等式即可.
40．如图，点 是等边△ 内一点， ， ， ．求 的度数．
【答案】解：将 绕点 逆时针旋转60°到 ，
连接 ， ．
∵△ 是等边三角形，
∴BA=BC，∠ABC=60°，
∵∠FBE=60°，
∴∠ABF=∠CBE，
∵BF=BE，
∴ ．
∴ ， ，
．
∵ ，
∴△ 为等边三角形．
∴ ．
∴ ．
∴△ 为直角三角形．
即 ．
∴ ．
∴ ．
【解析】【分析】将 绕点 逆时针旋转60°到 ，连接AF、EF，利用全等，勾股定理的逆定理求解即可。
41．如图，将三角板与三角板摆放在一起；其中，，．固定三角板，将三角板绕点按顺时针方向旋转，记旋转角．
（1）在旋转过程中，若，则当时，为_______度时（请直接写出值的）：
（2）在旋转过程中，若，试探究与之间的数量关系；
（3）在旋转过程中，若，当的一边与的一边平行（不共线）时，为_______度（请直接写出的值）．
【答案】（1）15
（2）设：，，
①如图，当时，
，，
故；
即°
②当时，如图
，即
③当，如图
∴
∴即°
④当时，如图
∴
∴即°
综上所述，当时，，当时，，当时，
（3），，
【解析】【解答】（1）解：如图，
∵，
∴
∴
∴，
故答案为：．
（3）①如图
当时，，
②当时，，
③当时，，
综上所述，或或
故答案为：，，．
【分析】(1)当 BC 垂直 DE 时，因为 AD 也垂直 DE，所以 BC 和 AD 平行，由此得到角 DAC 等于角 ACB=30°，再结合角 DAE=45°，算出旋转角 α=45° 30°=15°。
(2)设角 CAD 为 γ，角 BAE 为 β，按 α 的范围分三类讨论：
当 0°<α≤45° 时，利用角 BAC=90°、角 DAE=45°，推出角 BAE 减角 CAD 等于 45°；
当 45°<α≤90° 时，推出角 BAE 加角 CAD 等于 45°；
当 90°<α<180° 时，推出角 CAD 减角 BAE 等于 45°。
(3) 在 90°<α<180° 里，分三种平行情况：DE 平行 BC 时，α=105°；DE 平行 AC 时，α=135°；
AE 平行 BC 时，α=150°。据此解题。
（1）解：如图，
∵，
∴
∴
∴，
故答案为：．
（2）设：，，
①如图，当时，
，，
故；
即°
②当时，如图
，即
③当，如图
∴
∴即°
④当时，如图
∴
∴即°
综上所述，当时，，当时，，当时，
（3）①如图
当时，，
②当时，，
③当时，，
综上所述，或或
故答案为：，，．
42．如图，OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，垂足分别为E，F，且AB＝CD，∠ABD＝120°，∠CDB＝38°，求∠OBD的度数.
【答案】解：连接OA，OC，
∵OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AB＝CD，
∴△ABO≌△COD（SSS），
∴∠ABO＝∠CDO，
设∠OBD＝∠ODB＝α，∠ABO＝∠CDO＝β，
∴α+β＝120°，β﹣α＝38°，
∴α＝41°，
∴∠OBD＝41°.
【解析】【分析】连接OA，OC，根据线段垂直平分线的性质得到OA=OC，OB=OD，从而利用SSS证明△ABO≌△COD，根据全等三角形的对应角相等得到∠ABO=∠CDO，设∠OBD=∠ODB=α，∠ABO=∠CDO=β，解方程组即可求出∠OBD.
43．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于点P，交AC于点M，连接PC．
（Ⅰ）若∠A＝60°，∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；
（Ⅱ）若AB＝BC，BM2+CM2＝m2（m＞0），△PCM的周长为m+2时，求△BCM的面积（用含m的代数式表示）．
【答案】解：（Ⅰ）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC， ∴PB＝PC， ∴∠PBC＝∠PCB， ∵BP平分∠ABC， ∴∠PBC＝∠ABP， ∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP， ∵∠A＝60°，∠ACP＝24°， ∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝120°﹣24°， ∴3∠ABP＝120°﹣24°， ∴∠ABP＝32°； （Ⅱ）∵AB＝BC，BP平分∠ABC， ∴BM⊥AC， ∴∠BMC＝90°， ∵PD⊥BC，点D是BC边的中点， ∴PD垂直平分BC， ∴PB＝PC， ∵△PCM的周长为m+2， ∴PM+PC+CM＝PM+PB+CM＝BM+CM＝m+2， ∴（BM+CM）2＝BM2+CM2+2BM CM＝m2+2 BM CM＝（m+2）2， ∴BM CM＝2m+2， ∴△BCM的面积＝ BM CM＝m+1．
【解析】【分析】（Ⅰ）根据线段垂直平分线的性质，可得∠PBC＝∠PCB，根据角平分线的定义，可得∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，最后根据三角形内角和定理，即可得到∠ABP的度数；（Ⅱ）根据直角三角形的性质得到BM⊥AC，求得∠BMC＝90°，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，求得BM+CM＝m+2，推出BM CM＝2m+2，于是得到结论．
44．如图①，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(2m-6，0)，B(4，0)，C(-1，2)，点A，B分别在原点两侧，且A，B两点间的距离等于6个单位长度．
（1）m的值为_________；
（2）在x轴上是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积，若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，把线段AB向上平移2个单位得到线段EF，连接AE，BF，EF交y轴于点G，过点C作CD⊥AB于点D，将长方形GOBF和长方形AECD分别以每秒1个单位长度和每秒2个单位长度的速度向右平移，同时，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线AECDA运动，当长方形GOBF与长方形AECD重叠面积为1时，求此时点M的坐标．
【答案】（1）2
（2）解：存在，∵AB=6，C（-1，2），
∴S△ABC=AB×|yC|=6，
∵△COM的面积=△ABC的面积，
∴S△COM=2，
当点M在x轴上时，
设M（a，0），
∴OM=|a|，
∴S△COM=OM×|yC|=×|a|×2=2，
∴a=±2，
∴M（-2，0）或（2，0）.
（3）解：设经b秒后长方形GOBF与长方形AECD重叠面积为1，由题意可得，bs后，点D'（-1+2b，0），O'（b，0），B'（4+b，0），
①当长方形GOBF与长方形AECD重叠部分在长方形GOBF左侧时，
∵高必为2，
∴底为，
∴-1+2b-b=0.5，
∴b=1.5，
∴点M也运动1.5秒，
∴1.5×1=1.5＜2=AE，
∴点M在AE上，
∴点M（1，1.5）；
②当长方形GOBF与长方形AECD重叠部分在长方形GOBF右侧时，
∵高必为2，
∴底为，
∴4+b-（-2+2b）=0.5，
∴b=5.5，
∴点M也运动5.5秒，
∴5.5×1=5.5，
∵AE+EC+CD=5＜5.5，
∴点M在AD上，5.5-5=0.5，
而点D'（10，0），
∴点M（9.5，0），
综上所述：点M坐标为（1，1.5）或（9.5，0）．
【解析】【解答】（1）解：∵点A、B分别在原点两侧，且A、B两点间的距离等于6个单位长度，B（4，0），
∴4-（2m-6）=6，
解得：m=2；
故答案为：2.
【分析】（1）根据“A、B两点间的距离等于6个单位长度”列出方程4-（2m-6）=6，再求出m的值即可；
（2）设M（a，0），利用“S△COM=2”列出方程S△COM=OM×|yC|=×|a|×2=2，求出a的值，可得点M的坐标；
（3）分类讨论：①当长方形GOBF与长方形AECD重叠部分在长方形GOBF左侧时，②当长方形GOBF与长方形AECD重叠部分在长方形GOBF右侧时，再分别求解即可.
45．若凸(4n+2)边形. (n为自然数)的每个内角都是 30°的整数倍，且 求n的值.
【答案】解：设多边形除∠A1，∠A2，∠A3外，其他角为∠A；(i=4，5，…，4n+2)，不妨设( ，则此多边形的外角和必大于 360°，这与多边形的外角和等于360°矛盾，所以对每个i， 又因为它们都为30°的整数倍，所以. 或150°(i=4，5，…，4n+2).设∠A4，∠A5，…，∠A4n+2中有 k 个 120°的角，t 个150°的角，则k+t=4n-1(k，t为非负整数)，则[(4n+ 或(
整理得 又因为n是自然数，k为非负整数，所以k=0，n=1.
【解析】【分析】先根据多边形内角和公式求出凸(4n+2)边形的内角和，再结合已知条件求出除 外其余内角的和，最后根据每个内角都是 的整数倍这一条件确定n的值.
46．今年五一小长假期间，我市迎来了一个短期旅游高峰．某热门景点的门票价格规定见下表：
票的种类 A B C
购票人数（人） 100以上
票价（元） 50 45 40
某旅行社接待的甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元．
（1）求两个旅游团各有多少人？
（2）一个人数不足50人的旅游团，当游客人数最低为多少人时，购买B种门票比购买A种门票节省？
【答案】（1）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，
根据题意得：，
解得：．
答：甲旅游团有58人，乙旅游团有44人；
（2）设游客人数为m人，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m的最小值为46．
答：当游客人数最低为46人时，购买B种门票比购买A种门票节省．
【解析】【分析】（1）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，分51＜x≤100及x＞100两种情况考虑，根据“甲、乙两个旅游团共102人（甲团人数多于乙团），在打算购买门票时，如果把两团联合作为一个团体购票会比两团分别各自购票节省730元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之取其符合题意的值即可得出结论；
（2）设游客人数为m人，根据购买B种门票比购买A种门票节省，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再取其中的最小整数值，即可得出结论。
47．如图，在中，。作出AB边的垂直平分线DE，交AC于点，交AB于点，连接BD。
（1）下列结论正确的是 ▲ (填序号)。
①BD平分；②；③的周长等于；④。
（2）结论正确的说明理由。
【答案】（1）解：如图所示；①②③
（2），
，
是AB边的垂直平分线，
平分，
故①正确；
，故②正确；
的周长，故③正确；
，故④错误；
综上所述：正确的是①②③，
【解析】【解答】解：（1）∵，，
∴，
∵是 边的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴BD平分，故①正确；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故②正确；
∵，，
∴的周长为：
，故③正确；
∵，
∴，
∵，
∴，故④错误；
综上所述：正确的结论：①②③．
故答案为：①②③．
【分析】（1）用尺规作图作出边的垂直平分线，进而得出正确的结论；
（2）根据线段垂直平分线的性质得，根据等腰三角形的性质得，，即可判断结论①、②；求出的周长，可判断结论③；再根据，可判断结论④；
48．如图1，将一条两边沿互相平行的纸带折叠(AM∥BN，AD∥BC)，AB为折痕，AD交BN于点E.
（1）试说明：∠MAD=∠NBC.
（2）设∠MAD的度数为x，试用含x的代数式表示∠ABE的度数.
（3）①若按图2所示的方式折叠，请问(2)中的关系式是否仍然成立 并说明理由.
②若∠ABE的度数是∠MAD度数的两倍，求∠MEC的度数.
【答案】（1）证明：∵
∴
∴.
（2）解：反向延长AM，如图，
∵
∴
由折叠得：
∴为等腰三角形，
∴；

（3）解：①反向延长BN，如图，
∵
∴
由折叠得：
∴
∴为等腰三角形，
∴.
②∵∠ABE的度数是∠MAD度数的两倍，
∴
∴，
∴
∴
∵
∴.
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，同位角相等得：进而即可求解；
（2）反向延长AM，根据平行线的性质得到：由折叠得：即可证明：为等腰三角形，最后利用三角形内角和定理即可求解；
（3）①反向延长BN，根据平行线的性质得到：由折叠得：进而证明：为等腰三角形，最后利用三角形内角和定理即可求解；
②根据题意得到：进而得到关于x的方程，解方程得到：最后根据平行线的性质得到：.
49．如图，在△CBD中，CD＝BD，CD⊥BD，BE平分∠CBA交CD于点F，CE⊥BE垂足是E，CE与BD交于点A，求证，
（1）BF＝AC；
（2）BE是AC的中垂线；
（3）若AD＝2，求BD的长．
【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠BDF＝∠ADC＝∠AEB＝90°，
∵∠DBF+∠A＝90°，∠DCA+∠A＝90°，
∴∠DBF＝∠DCA，
∵BD＝CD，
∴△BDF≌△CDA（SAS），
∴BF＝AC．
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE，
∵∠BEA＝∠BEC＝90°，
∴∠A+∠ABE＝90°，∠BCA+∠CBE＝90°，
∴∠A＝∠BCA，
∴BC＝BA，
∵BE⊥AC，
∴CE＝EA，
∴BE是AC的中垂线．
（3）解：连接AF．
∵△BDF≌△CDA，
∴AD＝DF＝2，AF＝2，
∵BE垂直平分AC，
∴CF＝AF＝2，
∴BD＝CD＝2+2，
∴AB＝BD+AD＝3+2．
【解析】【分析】(1)利用垂直可得∠DBF+∠A＝90°，∠DCA+∠A＝90°，再根据同角的余角相等，所以∠DBF＝∠DCA，进而证明△BDF≌△CDA，求得 BF＝AC ；
(2)根据平分线和垂直，得到∠A＝∠BCA，所以BC＝BA，又BE⊥AC，所以BE是AC的中垂线；
(3)根据全等AD＝DF=2，再根据勾股定理得AF，由(2)知CF=AF=2， 可知CD=CF+DF=2+2. 最后BD=CD=2+2.
50．如图，在中，，，是经过点的直线，于，于．
（1）求证：．
（2）若将绕点旋转，使与相交于点如图，其他条件不变，求证：．
（3）在的情况下，若的延长线过的中点如图，连接，求证：．
【答案】（1）证明：如图，，，
，
，
，
又，
，
在和中，，
≌，
；
（2）证明：如图，，，
，
，
，
，
在和中，，
≌，
；
（3）解：如图，过作交于，
，
，
，
，
由得：，
在和中，，
≌，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
，
，
在和中，，
≌，
，
，
．
【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，余角的性质，
（1）由垂直的定义可知：∠BDA=∠AEC=90°，由同角的余角相等可得：∠1=∠3，再由AB=AC，可用AAS证得△ADB≌△CEA，由全等三角形对应边相等可得出得出BD=AE即可求证；
（2）由垂直的定义可知：∠BDA=∠AEC=90°，由同角的余角相等可得：∠BAD=∠ACE，再由AB=AC，可用AAS证得△ABC≌△ACE，由全等三角形对应边相等可得出BD=AE即可求证；
（3）过点B作BP∥AC交MN于P，由平行线的性质可知：∠PBA+∠BAC=180°，从而得出∠PBA=90°，再由，AB=AC，可用ASA证得△ACF≌△ABP，由全等三角形对应边相等，对应角相等可得出∠1=∠BPA，AF=BP，再通过SAS证得△BFG≌△BPG，由全等三角形对应角相等可得：∠BPG=∠2，通过等量代换即可得出结论.
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