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北师大版2025—2026学年八年级下册期中模拟名校真题汇编卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，AC＝BC，CD为AB边上的高，∠ACB＝92°，则∠ACD的度数为（　　）
A．45° B．46° C．50° D．60°
2．北京成功举办了 2022年冬奥会，吉祥物冰墩墩深受人们的喜爱，下面四个图案可以看作由给出的“冰墩墩”经过平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
3．若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，AD是△ABC的中线，点E，F分别在AB，AC上（点E，F不与端点重合）且DE⊥DF.则线段BE，CF，EF的关系是（　　）
A． B．
C． D．与EF的大小关系不确定
5．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．90°
6．下列不等式变形正确的是（　　）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
7．如图，已知点D在AC上，点B在AE上，，且∠BDA=∠A，若∠A：∠C=4：3．则∠DBC=（　　）
A．12° B．24° C．20° D．36°
8．某班数学兴趣小组对不等式组讨论得到以下结论，其中正确的是（　　）
①若，则不等式组的解集为；②若不等式组无解，则a的取值范围为；③若，则不等式组无解；④若不等式组只有两个整数解，则a的取值范围为
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
9．已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法：①a+b-c＞0；②ac-bc＞0；③；④|2b-a|-|c+b|+|a-c|=-3b.其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，边的垂直平分线交于点F，交于点G，连接，．则的度数（　　）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在三角形中，将周长为12的三角形沿直线向右平移n个单位长度得到三角形，连接，G是，的交点．给出下列结论：①，；②若，则；③；④若四边形的周长为24，则三角形沿方向平移的距离为；其中，结论一定正确的有　 　．（填序号）
12．如图，在中，，，平分的外角，则　 　．
13．定义：不大于实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作 [x]，例如 按此规定，若 则x 的取值范围是　 　.
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于，则关于的不等式的解集是　 　．
15．如图是不等式组的解在数轴上的表示，则此不等式组的整数解是　 　.
16．如图，点D为△ABC内部一点，连接AD、BD，且BD=AC，∠BDA+∠DAC=180°，∠DAC+∠ACB=120°，若S△ABD=，则BC=　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程和不等式组：
（1）；
（2）．
18．如图，已知是平分线上的一点，，垂足分别为点C，D，连结CD.
（1）求证：点P在线段CD的垂直平分线上.
（2）OP是CD的垂直平分线吗？为什么？
19．定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边均有交点，则这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AE为BC边上的高线，则DE的长称为BC边上的“中高距”．
（1）若BC边上的“中高距”为0，则△ABC的形状是　 　三角形；
（2）若∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝4，求BC边上的“中高距”DE.
20．已知：如图，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若平分，若，求的度数．
21．如图，直线和相交于点O，，平分，设的度数为x．
（1）当时，则__________°，__________°；
（2）当时，射线从开始以每秒的速度绕点O逆时针旋转，同时射线从开始以每秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线旋转时，射线，同时停止旋转，在此旋转过程中，经过多少秒，射线与射线重合？
（3）在（2）的条件下，在射线旋转的过程中，当时，请直接写出射线转动的时间．
22．如图， 在边长为 1 的正方形 中， 为对角线 上的动点， 连结 ， ．
（1） 证明： ．
（2）①求 的最小值．
②求 的最小值．
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点，与一次函数的图象相交于点A．
（1）求直线的解析式及点A的坐标；
（2）请根据图象，直接写出关于x的不等式的解集；
（3）设点E在直线上，且，求点E的坐标．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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北师大版2025—2026学年八年级下册期中模拟名校真题汇编卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．在△ABC中，AC＝BC，CD为AB边上的高，∠ACB＝92°，则∠ACD的度数为（　　）
A．45° B．46° C．50° D．60°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AC＝BC，CD⊥AB，
∴∠ACD＝ ∠ACB＝ ×92°＝46°，
故答案为：B.
【分析】根据等腰三角形的三线合一，等腰三角形底边上高线就是顶角的角平分线可得∠ACD＝ ∠ACB，再代入即可算出答案.
2．北京成功举办了 2022年冬奥会，吉祥物冰墩墩深受人们的喜爱，下面四个图案可以看作由给出的“冰墩墩”经过平移得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据平移的性质可得B选项的图案可以经过平移得到，
故答案为：B．
【分析】根据平移的性质，即可求解．
3．若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：不等式组解得：，
∵有且只有三个整数解，
∴整数解为x=3，4，5，
∴5＜≤6，
∴15＜a≤18，
故答案为：D．
【分析】 解不等式组后，由有且只有三个整数解确定出a的范围
4．如图，AD是△ABC的中线，点E，F分别在AB，AC上（点E，F不与端点重合）且DE⊥DF.则线段BE，CF，EF的关系是（　　）
A． B．
C． D．与EF的大小关系不确定
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，延长至点G，使，连接，
是边上的中线，
，
又，
是的垂直平分线，
，
又
(SAS)，
，
．
故答案为：A.
【分析】本题考查三角形中线的性质，垂直平分线的性质，三角形全等的性质与判定，三角形三边关系．延长至点G，使，连接，已知是边上的中线，所以；又由是的垂直平分线可推出，结合可证明，可得，结合三角形三边关系：，即可得推出答案．
5．将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠的度数是（　　）
A．45° B．60° C．75° D．90°
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=190°-90°-60°=30°，
∴∠α=45°+30°=75°．
故答案为：C.
【分析】对图形进行角标注，由内角和定理可得∠1的度数，由外角的性质可得∠α=45°+∠1，据此计算.
6．下列不等式变形正确的是（　　）
A．由，得 B．由，得
C．由，得 D．由，得
【答案】D
【解析】【解答】解：A. 由，若，则可得，故本选项变形错误，不符合题意；
B. 由，得，故本选项变形错误，不符合题意；
C. 由，若，则可得，故本选项变形错误，不符合题意；
D.，因为，所以可得，故本选项变形正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】不等式的基本性质：（1）等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，不等号方向不变；（2）等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；（3）等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．再对各选项逐一判断.
7．如图，已知点D在AC上，点B在AE上，，且∠BDA=∠A，若∠A：∠C=4：3．则∠DBC=（　　）
A．12° B．24° C．20° D．36°
【答案】A
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△DBE
∴∠ABC=∠DBE，∠C=∠E，∠A=∠BDE
设∠C=∠E=x，则∠A=∠BDE=∠BDA=x；
∴在三角形ADE中，∠A+∠ADE+∠E=180°，即x+x+x+x=180°，解得x=36°；
∴在三角形ABD中∠DBA=180°-×36°-×36°=84°
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=180°-∠A-∠C-∠DBA=180°-×36°-36°-84°=12°
故答案为：A.
【分析】根据三角形全等的性质，可得全等三角形对应角相等；根据三角形内角和定理，列一元一次方程，即可求出∠C的值以及∠DBA的值；根据角的运算，列代数式即可求解.
8．某班数学兴趣小组对不等式组讨论得到以下结论，其中正确的是（　　）
①若，则不等式组的解集为；②若不等式组无解，则a的取值范围为；③若，则不等式组无解；④若不等式组只有两个整数解，则a的取值范围为
A．①②④ B．②③④ C．①②③ D．①③④
【答案】D
【解析】【解答】解： ①若，则不等式组为，∴不等式组的解集为，①正确；②若不等式组无解，则a的取值范围为，②不正确；③若，则不等式组为，则不等式组无解，③正确；④若不等式组只有两个整数解，则这两个整数解是4和5，所以a的取值范围是 ，
④正确.
故答案为：①③④.
【分析】根据题中条件分别求出不等式组的解集和a的取值范围即可。
9．已知数a，b，c在数轴上的位置如图，下列说法：①a+b-c＞0；②ac-bc＞0；③；④|2b-a|-|c+b|+|a-c|=-3b.其中正确结论的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：据数轴知 c>a>0>b，且，
∴a-c<0，
又b<0，
∴ a+b-c<0，故 ① 不正确；
∵a>b，c>0
∴a-b>0，
∴ ac-bc＞0.故 ② 正确；
又c>a>0>b，
∴，故 ③ 不正确；
∵c>a>0>b，且，
∴2b-a<0，c+b>0，a-c<0，
∴ |2b-a|-|c+b|+|a-c|= a-2b-c-b-a+c=-3b，故 ④ 正确.
综上所述，正确的结论为②④，
故答案为：B.
【分析】根据数轴确定a、b、c的符号及大小，再根据不等式基本性质及绝对值性质对各选项逐一判断即可.
10．如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，交于点E，边的垂直平分线交于点F，交于点G，连接，．则的度数（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】已知E为AB的垂直平分线，∴AE=BE， ∠EAB＝∠B 同理∠CAG＝∠C 两边相加得∠EAB+ ∠CAG=∠B+ ∠C 又 ∠EAB+ ∠CAG =∠BAG+ ∠EAG+∠EAG+ ∠CAE=80°+ ∠EAG 且 ∠B+ ∠C=180°- ∠BAC=100° ∴ 80°+ ∠EAG =100° ∴∠EAG=100°-80°=20°
【分析】熟悉垂直平分线的性质、等边对等角定理，等量代换。
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，在三角形中，将周长为12的三角形沿直线向右平移n个单位长度得到三角形，连接，G是，的交点．给出下列结论：①，；②若，则；③；④若四边形的周长为24，则三角形沿方向平移的距离为；其中，结论一定正确的有　 　．（填序号）
【答案】①②④
【解析】【解答】解：① 由平移得，，故①正确，符合题意；
②由平移得，
，
，即，
，
，故②正确，符合题意；
③ G是，的交点，但不一定是中点，故③错误，不符合题意；
④ 由平移得，
四边形的周长为，
，即三角形沿方向平移的距离为，故④正确，符合题意；
综上所述，①②④符合题意．
故答案为：①②④．
【分析】根据平移的性质得到，，进而判断①；根据平移的性质得到，再根据平行线的性质得到，再根据垂直得到，进而判断②；根据题意即可判断③；根据平移的性质得到，进而即可得到四边形的周长，则，即三角形沿方向平移的距离为，从而判定④.
12．如图，在中，，，平分的外角，则　 　．
【答案】55°
【解析】【解答】解：，，
，
，
平分的外角，
，
故答案为：55°．
【分析】先求出，再根据平分的外角，计算求解即可。
13．定义：不大于实数x 的最大整数称为x 的整数部分，记作 [x]，例如 按此规定，若 则x 的取值范围是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：因为，根据定义可知，
得到不等式组，
解不等式得：x≤1，
解不等式得：，
故x的取值范围是：，
故答案为：.
【分析】首先根据新定义得出关于x的不等式，然后求解这个不等式得到x的取值范围.
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于，则关于的不等式的解集是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵直线与直线相交于，
∴当x=4时，两直线的y值相等，
∵不等式
∴，
∴，
∴.
故答案为：.
【分析】先通过两直线有交点，求出x=4时，两直线y值相等，再将转化，观察图象即可求出其解集.
15．如图是不等式组的解在数轴上的表示，则此不等式组的整数解是　 　.
【答案】-1，0，1
【解析】【解答】解：因为是整数，且在处和2处分别是实心和空心，
所以整数有，0，1，
故答案为，0，1.
【分析】由数轴可得不等式组的解集为-1≤x＜2，据此求出其整数解即可.
16．如图，点D为△ABC内部一点，连接AD、BD，且BD=AC，∠BDA+∠DAC=180°，∠DAC+∠ACB=120°，若S△ABD=，则BC=　 　.
【答案】4
【解析】【解答】解：延长AD交BC于点E，过点B作BF||AC交AE延长线于点F，延长BD交AC于点H，
∵ ∠BDA+∠DAC=180° ，∠BDA+∠ADH=180°
∴∠DAC=∠ADH
∵BF||AC
∴∠F=∠DAC
又∠BDF=∠ADH
∴∠BDF=∠F
∴BD=BF
∵BF=AC
∴△BEF≌△CEA
∴BE=CE，AE=FE
又∵ ∠DAC+∠ACB=120°，∠AEB=∠CAD+∠ACB
∴∠AEB=120°
∴∠BEF=60°
作BG⊥AF于点G
∵BD=BF
∴GF=GD
∵AD+DE=EG+FG
∴AD+DG-EG=EG+DG
∴AD=2EG
设 BE=2m，则GE=m，BG=，AD=2m，
，得m=1，于是BE=2，BC=4
故答案为：4
【分析】延长AD交BC于点E，同时过点B作BF||AC，由 ∠BDA+∠DAC=180° 得△BDF为等腰三角形 ，由 ∠DAC+∠ACB=120° 得∠BEG=60，结合△BEF≌△CEA和等腰三角形的性质可得AD和GB的关系，利用面积关系即可得BC的长.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程和不等式组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为．
【解析】【分析】（1）此方程是一元二次方程的一般形式，方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积等于零，则至少有一个因式为零，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可．
（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（2）解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴原不等式组的解集为．
18．如图，已知是平分线上的一点，，垂足分别为点C，D，连结CD.
（1）求证：点P在线段CD的垂直平分线上.
（2）OP是CD的垂直平分线吗？为什么？
【答案】（1）证明：是的平分线，且，
∴点在线段CD的垂直平分线上；
（2）解：OP是CD的垂直平分线.
理由如下：
由（1）知PC=PD，
.
，
，
点O在线段CD的垂直平分线上.
由（1）知点P在线段CD的垂直平分线上，
是线段CD的垂直平分线.
【解析】【分析】（1）根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PC=PD，进而根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上可得结论；
（2）由等边对等角得∠PCD=∠PDC，由等角得余角相等得∠OCD=∠ODC，进而根据等角对等边可得OC=OD，根据到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上可得点O在线段CD的垂直平分线上，最后根据两点确定一条直线可得OP是线段CD的垂直平分线.
19．定义：若一个三角形一边上的中线、高线与这条边均有交点，则这两个交点之间的距离称为这条边上的“中高距”．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，AE为BC边上的高线，则DE的长称为BC边上的“中高距”．
（1）若BC边上的“中高距”为0，则△ABC的形状是　 　三角形；
（2）若∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝4，求BC边上的“中高距”DE.
【答案】（1）等腰
（2）解：在Rt△ABE中，∠B＝30°，AB＝4，
∴AE＝AB＝2，
∴BE＝＝2.
在Rt△ACE中，∠C＝45°，AE＝2，
∴易得CE＝AE＝2，
∴BC＝BE＋CE＝2＋2.
∵点D为BC的中点，
∴CD＝BC＝＋1，
∴DE＝CD－CE＝－1.
【解析】【解答】解： (1)∵ BC边上的“中高距”为0，
中BC边上的中线、高线重合，
∴ AD垂直平分BC，
的形状是等腰三角形，
故答案为：等腰；
【分析】(1)利用垂直平分线的性质即可解答；
(2)根据含： 角的直角三角形的性质求出.AE=2， 根据等腰直角三角形的性质得EC=AE=2，可得 由DE=CD-CE即可求解.
20．已知：如图，，．
（1）判断与的位置关系，并说明理由．
（2）若平分，若，求的度数．
【答案】（1）解：，
理由如下：∵，
∴．
∵，
∴，
∴.
（2）解：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先利用平行线的性质可得，再利用等角的补角相等可得，最后证出即可；
（2）先利用角平分线的定义求出，再利用角的运算求出即可．
（1）解：，理由如下：
∵，
∴．
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴，
∴．
21．如图，直线和相交于点O，，平分，设的度数为x．
（1）当时，则__________°，__________°；
（2）当时，射线从开始以每秒的速度绕点O逆时针旋转，同时射线从开始以每秒的速度绕点O顺时针旋转，当射线旋转时，射线，同时停止旋转，在此旋转过程中，经过多少秒，射线与射线重合？
（3）在（2）的条件下，在射线旋转的过程中，当时，请直接写出射线转动的时间．
【答案】（1）70；80
（2）解：当时，，
所以．
因为平分，
所以．
因为，
所以．
设经过秒，射线与射线重合．
由题意，得，
解得．
故经过秒，射线与射线重合．
（3）秒或秒
【解析】【解答】（1）解：，
，
，
，
，
又平分，
，
故答案为：70，80；
（3）解：设射线较动的时间为秒．
①与相遇前，如图1，
则有，
解得；
②与相遇后，如图2，
则有，
解得．
综上所述，射线转动的时间为秒或秒．
【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余可得∠EOC，根据补角可得∠AOD，再根据角平分线定义即可求出答案.
（2）根据补角可得∠AOD，再根据角平分线定义可得∠AOF，再根据角之间的关系可得∠EOF，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（3）设射线较动的时间为秒，分情况讨论：①与相遇前，②与相遇后，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：，
，
，
，
，
又平分，
，
故答案为：70，80；
（2）解：当时，，
所以．
因为平分，
所以．
因为，
所以．
设经过秒，射线与射线重合．
由题意，得，
解得．
故经过秒，射线与射线重合．
（3）射线转动的时间为秒或秒．
解：设射线较动的时问为秒．
①与相遇前，如图1，
则有，
解得；
②与相遇后，如图2，
则有，
解得．
综上所述，射线转动的时间为秒或秒．
22．如图， 在边长为 1 的正方形 中， 为对角线 上的动点， 连结 ， ．
（1） 证明： ．
（2）①求 的最小值．
②求 的最小值．
【答案】（1）
（2）解：①当A，C，E在同一直线上是最短的， 由勾股定理得，
∴AE+EC=AC=
②如图， 以AB为边作等边三角形ABM， M落在正方形ABCD外， 连结CM交BD于点E， 在CM上取点N，使MN=AE， 过M作MF⊥BC与CB的长线于点F.
∵BM=BA=BC，
∴△BEN是等边三角形，∴BE=EN， 此时AE+BE+CE的值最小， 且
【解析】【分析】（1）先根据三角形全等的判定与性质证明得到，同理可得，再等量代换即可求解；
（2）①根据题意得到当A，C，E在同一直线上是最短的，进而运用勾股定理求出AC即可求解；
②以AB为边作等边三角形ABM， M落在正方形ABCD外， 连结CM交BD于点E， 在CM上取点N，使MN=AE， 过M作MF⊥BC与CB的长线于点F，先根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而根据等边三角形的判定与性质得到BE=EN， 此时AE+BE+CE的值最小， 且，再结合题意运用勾股定理求出最小值即可。
23．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，且与x轴相交于点，与一次函数的图象相交于点A．
（1）求直线的解析式及点A的坐标；
（2）请根据图象，直接写出关于x的不等式的解集；
（3）设点E在直线上，且，求点E的坐标．
【答案】（1）解：∵直线经过和，
解得：
即直线的解析式为；
解方程组得，
∴点A的坐标为；
（2）
（3）解：把代入得：解得：
∴点，
∵点，
，
，
，
，
设点的纵坐标为，
则解得：或，
∵一次函数的解析式为点在直线上，
∴把代入得：
解得：
∴此时点的坐标为
把代入得：解得：
∴此时点的坐标为
综上分析可知，点的坐标为或
【解析】【解答】解（2）∵点的横坐标为4，
∴根据函数图象可知，不等式的解集是；
【分析】
（1）将和列方程组求出k，b从而得到一次函数的解析式，将两解析式联成方程组可得交点A的坐标；
（2）结合函数图象，写出直线在直线上方，即是交点的左边，即所对应的的范围即可；
（3）先确定点坐标，求出的面积，设点的纵坐标为，然后求出，即可得到点坐标.
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