资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
【精选热题·50道解答题专练】人教版数学八年级下册期中复习测试卷
1．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
2．借助勾股定理，请你利用升旗的绳子、卷尺设计一个方案，测算旗杆的高度.
3．如图，在平行四边形中，点G，H分别是，的中点，点E、F在对角线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接交于点O，若，，求的长．
4．如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米．
（1）求梯子顶端与地面的距离OA的长．
（2）若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离．
5．已知矩形ABCD，点E在直线CD上，CF⊥AE，垂足为F，连结BF，DF。
（1）如图1，点E在线段CD上，写出线段BF与DF的位置关系并证明。
（2）如图2，点E不在线段CD上，请补全图形，写出线段BF与DF的位置关系并证明。
6．计算：
（1）
（2）×．
7．如图，点E是正方形ABCD的边CD上的一点，点F是CB的延长线上一点，且DE＝BF，问线段AE与线段AF之间有何关系，并说明理由．
8．湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东方向上，B在A的北偏东方向上，且在C的正南方向900米处．
（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据，）；
（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快侹能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
9．已知：，，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣3ab+b2．
10．请用两种方法证明；△ABC中，若∠C＝90°，则a2+b2＝c2．
11．如图，已知中，，点E、D、F分别是边的中点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的周长．
12．如图，一个水库大坝的横截面是梯形，其横截面的迎水坡AD的坡比为2：3，背水坡BC的坡比为4：3，大坝高DE为20米，坝顶宽CD为45米，求大坝横截面的面积和周长．
13．如图，在 中，对角线、相交于点，且，，．
（1）求的度数：
（2）求 的面积．
14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：FA=BD；
（2）连结BF ，若AB=AC，求证：四边形ADBF是矩形．
15．如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC＝10，点E是CD的中点，求AE的长.
16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：
（1）MD=MB；
（2）MN⊥BD．
17．如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，点 E 在边 AB上， ▲ .
请从“①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解决下列问题：
（1）求证：四边形 BCDE为平行四边形；
（2）若AD⊥AB，AD=8，BC=10，求线段AE的长.
18．已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝5，CD＝3，求BC的长．
19．如图，在中，，于点，点为的中点，连结．已知，，求，的长．
20．若一个四边形的两个内角是直角，另外两个内角中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个内角的度数．
21．如图所示，六边形ABCDEF中， ， ， ， ， ，求 的度数．
22．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）连接BE，若AC=10，BC=12，求BE的长
23．将两个完全相同的含有的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放，点、、、依次在同一条直线上，连接、．
（1）判断四边形的形状，并给出证明．
（2）已知，当四边形是菱形时，的长为　 　．
24．如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E是边BC的中点，若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长．
25．在矩形中，，E是的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边与、分别相交于点M，N时，观察或测量与的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论.
26．如图，已知，是正方形的对角线上的两点，且连接，，，．
（1）请判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若四边形的周长为，且，求正方形的边长．
27．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍还多180°，求这个多边形的边数．
28． 如图，的对角线AC与BD交于点，点、分别在OB、OD上.
（1） 下列条件：①；②；③，请你从中选择一个能证明四边形AECF是平行四边形的条件，并写出证明过程；
（2） 若四边形AECF是平行四边形，，，垂足为点，，，求的面积.
29．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，AD＝16，求AB的长．
30．如图， 在等腰 中， ．
（1） 请用尺规作图法， 作 的角平分线， 交 边于点 (不写作法， 保留作图痕迹)
（2）若 ， 求 的周长．
31．如图，在 ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由.
32．四边形是菱形，对角线与相交于，，，求的长．
33．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出以为对角线的正方形，点、在小正方形的顶点上；
（2）在方格纸中画出以为斜边的等腰直角三角形，点在小正方形的顶点上，连接，请直接写出长＝ ▲ ．
34．（1）若都是实数，且，求的立方根；
（2）已知与互为相反数，求的值．
35．如图，每个小正方形的边长都是1．按要求画图（所画图形的顶点都是格点，标字母，写结论）
①面积为13的正方形（边长是无理数）；
②三条边长都是无理数的直角三角形．
36．如图，在菱形ABCD中，P是BC边上一点，连结AP，E，F是AP上的两点，连结DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF。
求证：
（1）△ABF≌△DAE。
（2）DE=BF+EF。
37．如图所示， 内一点 满足 于点 ，且 ， .找出图中一条与 相等的线段，并加以证明.
38．如图，点E是矩形的边延长线上一点，连接，交于点G，作交于点F，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
39．如图，将 ABCD的对角线BD向两个方向延长至点E和点F，使BE=DF，证：四边形AECF是平行四边形.
40．实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：|a|﹣ ﹣ ．
41．如图，在四边形ABCD中，，，，，．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
42．如图， 在RtABC 中AB=10，BC⊥AC，P为线段AC上一点，点Q，P 关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，DQ与BC交于点 E，连结DP， 设AP=m．
（1） 若BC=8，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长；
（2）在（1）的条件下，若AP=PD．求CP的长：
（3）连结PE， 若∠A=60°，PCE与PDE的画积之比为1：2，求m的值．
43． 如图，点分别在正方形的边上，分别交于点，若．求证：
（1）
（2）
44．一个25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24米，如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，那么梯子底端B也外移4米，对吗？为什么？
45．如图，四边形 ABCD 为正方形，E 为线段AC 上一点，连结 DE，过点 E作EF⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE，EF为邻边作矩形DEFG，连结CG.
（1）求证：矩形DEFG 是正方形；
（2）若AB=2，CE= ，求 CG的长度；
（3）当线段 DE与正方形ABCD 的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数.
46．
（1）如图1，一个大正方形被分割成10个互不重叠的小正方形．若图中所给的两个小正方形的边长分别为1和2，则这个大正方形的面积为　 　．
（2）现有一大正方形如图2，将它分割成10个小正方形，请尽可能多地画出与图1不同的分割示意图．(当两种分割方法所得到的10个小正方形的大小都对应相同时，认为是同一种分割法．)
47．如图，中，，，点F为平行四边形外一点，连接、，且于点F．
（1）如图1，若，求的长度；
（2）如图2，延长、交于点E，过点D作交的延长线于点G，若C为的中点，求证：．
48．我国著名的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．数学兴趣小组的小伙伴们尝试用两对全等的直角三角形与一个矩形拼出了一个平行四边形．
（1）如图1，M是AB的中点，若ME=DG，AB=6，求CG的长．
（2）如图2，M是AB的中点，连结HF，EG交于点O，连结OM．
①求证：OM∥AD
②如图3，若AH=HE，取AD的中点N，连接ON，NG，MH，若，求的值.
49．如图，中，，，点是线段延长线上一点，点为线段的中点，连接．将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作，垂足为点，连接．
（1）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
（2）求的大小（用含的代数式表示）；
（3）若点满足，直接写出一个的值，使得．
50．如图，矩形中，，，点P、点Q分别在边上，且．连结相交于点M，连结相交于点M．
（1）当时，大小为 度．
（2）求证：四边形是平行四边形．
（3）当时，求证：四边形是矩形
（4）在不添加辅助线与字母的前提下，若图中存在菱形，直接写由该菱形的边长；若不存在，请说明理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
【精选热题·50道解答题专练】人教版数学八年级下册期中复习测试卷
1．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长．
【答案】解：∵两直角边AC=6cm，BC=8cm，
在Rt△ABC中，由勾股定理可知AB=10，
现将直角边AC沿直线AD对折，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD=DE，AE=AC=6，
∴BE=10﹣6=4，
设DE=CD=x，BD=8﹣x，
在Rt△BDE中，根据勾股定理得：BD2=DE2+BE2，即（8﹣x）2=x2+42，
解得x=3．
即CD的长为3cm．
【解析】【分析】先由勾股定理求AB=10．再用勾股定理从△DEB中建立等量关系列出方程即可求CD的长．
2．借助勾股定理，请你利用升旗的绳子、卷尺设计一个方案，测算旗杆的高度.
【答案】解：将绳子一端系在旗杆顶端，拉直至地面，测量绳子总长度 l；
测量旗杆底部到绳子末端的水平距离 d；
旗杆高度.
【解析】【分析】利用旗杆、地面和拉直的绳子形成直角三角形，旗杆为垂直边，地面水平距离为底边，绳子为斜边，通过勾股定理公式计算旗杆高度.
3．如图，在平行四边形中，点G，H分别是，的中点，点E、F在对角线上，且．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）连接交于点O，若，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
∵点G，H分别是，的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：连接交于点O，
如图：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
又∵点G是的中点，
∴是的中位线，
∴．
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即，根据直线平行判定定理可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）连接交于点O，根据平行四边形性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
4．如图，一架长为5米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙ON上，梯子底端距离墙ON有3米．
（1）求梯子顶端与地面的距离OA的长．
（2）若梯子顶点A下滑1米到C点，求梯子的底端向右滑到D的距离．
【答案】（1）解：∵∠AOB=90°，米，米，
∴AO＝＝4（米），
答：梯子顶端与地面的距离OA的长为4米．
（2）解：∵（米），米，
∴OD＝＝4（米），
∴BD＝OD﹣OB＝4﹣3＝1（米）．
答：梯子的底端向右滑到D的距离为1米.
【解析】【分析】（1）在Rt△AOC中，用勾股定理计算即可求解；
（2）由线段的和差求出OC的长度，然后用勾股定理求出OD的长度，再根据线段的和差BD=OD-OB计算即可求解．
5．已知矩形ABCD，点E在直线CD上，CF⊥AE，垂足为F，连结BF，DF。
（1）如图1，点E在线段CD上，写出线段BF与DF的位置关系并证明。
（2）如图2，点E不在线段CD上，请补全图形，写出线段BF与DF的位置关系并证明。
【答案】（1）解：BF⊥DF，
理由如下：
如图1，连结AC，BD交于点O，连结OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OA=OC=OB=OD
∵CF⊥AE，垂足为F，
∴∠AFC=90°
∵在Rt△ACF中，OA=OC，
=OB=OD
∴OF=OB=OD
∴∠DBF=∠OFB，∠BDF=∠OFD
∵∠BFD+∠BDF+∠DBF=180°，
∴∠OFB+∠OFD+∠OFB+∠OFD=180°
∴∠OFB+∠OFD=90°
∴∠BFD=∠OFB+∠OFD=90°，
即BF⊥DF
（2）解：补全图形如图2或图3，BF⊥DF
理由如下：如图2，当点E在CD的延长线上时，连结AC，BD交于点O，连结OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分
∴OA=OC=OB=OD
∵CF⊥AE，垂足为F，
∴∠AFC=90°
∵在Rt△ACF中，OA=OC，
∴OF=OB=OD，
∴∠DBF=∠OFB，∠BDF=∠OFD
∵∠BFD+∠BDF+∠OFB+∠OFD=180°，
∴∠OFB+∠OFD=90°
∴∠BFD=∠OFB+∠OFD=90°，即BF⊥DF
【解析】【分析】(1)由四边形ABCD是矩形，得出对角线相等且互相平分，再通过直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可导出角的关系；
(2)理由同(1).
6．计算：
（1）
（2）×．
【答案】解：（1）==2；
（2）×=3×=9．
【解析】【分析】（1）直接利用二次根式乘法运算法则化简求出答案；
（2）直接利用二次根式乘法运算法则化简求出答案．
7．如图，点E是正方形ABCD的边CD上的一点，点F是CB的延长线上一点，且DE＝BF，问线段AE与线段AF之间有何关系，并说明理由．
【答案】解：线段AE与线段AF的数量关系是AE＝AF，位置关系是AE⊥AF，
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠ADE＝∠ABC＝90°，
∴∠ABF＝90°，
∴∠ADE＝∠ABF，
在△ADE和△ABF中，
，
∴△ADE≌△ABF（SAS），
∴AE＝AF，∠DAE＝∠BAF，
∵∠DAE+∠EAB＝90°，
∴∠BAF+∠EAB＝90°，
∴∠FAE＝90°，
∴AE⊥AF，
由上可得，线段AE与线段AF的数量关系是AE＝AF，位置关系是AE⊥AF．
【解析】【分析】相等且垂直.理由：根据正方形的性质，可推出∠ADE＝∠ABF，根据SAS可证△ADE≌△ABF，
可得AE＝AF，∠DAE＝∠BAF， 从而得出∠FAE=∠BAF+∠EAB=DAE+∠EAB＝90°，据此即得结论.
8．湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A的北偏东方向上，B在A的北偏东方向上，且在C的正南方向900米处．
（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据，）；
（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快侹能否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
【答案】（1）解：如图，过点A作AD⊥CB交CB的延长线于点D，
根据题可知，∠NAC=30°，∠NAB=60°，米，，
∴，
，
米，
在中，，．
米，
（米），
在中，，，
（米），
答：湖岸A与码头C的距离约为1559米；
（2）解：米．
答： 在接到通知后，快侹能在5分钟内将该游客送上救援船 .
【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥CB交CB的延长线于点D，由题意得，根据等腰三角形的性质得米，在中，米，根据勾股定理得，由直角三角形的性质得，即可得解；
（2）救援船行驶的路程+快艇行驶的路程= ，根据时间=路程÷速度，计算求解即可.
9．已知：，，分别求下列代数式的值：
（1）a2﹣b2；
（2）a2﹣3ab+b2．
【答案】（1）解：∵，，
∴，，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴a2﹣3ab+b2
＝（a2+2ab+b2）﹣5ab
＝（a+b）2﹣5ab
＝
＝0．
【解析】【分析】（1）先求出a+b，a-b得值，再将原式化为，然后代入计算即可；
（2）先求出a+b，ab的值，再将原式化为（a+b）2﹣5ab，然后代入计算即可；
10．请用两种方法证明；△ABC中，若∠C＝90°，则a2+b2＝c2．
【答案】解：方法一：
证明：
如图，，
整理得，，
即．
方法二：
证明：如图，
整理得，，
即．
【解析】【分析】利用勾股定理的证明方法求解即可。
11．如图，已知中，，点E、D、F分别是边的中点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的周长．
【答案】（1）证明：∵E，D，F分别是边的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是菱形.
（2）解：如图，连接交于点O，
∴，，
∴，
∴，，
由（1）得，
∴是的中位线，
∴，
设，则，
∴，
解得：
∴，
∴四边形的周长为．

【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合，即可证出四边形是菱形；
（2）连接交于点O，先证出是的中位线，利用中位线的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，求出x的值，可得，最后利用菱形的周长公式求解即可.
（1）证明：∵E，D，F分别是边的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是菱形；
（2）如图，连接交于点O，
∴，，
∴，
∴，，
由（1）得，
∴是的中位线，
∴，
设，则，
∴，
解得：
∴，
∴四边形的周长为．
12．如图，一个水库大坝的横截面是梯形，其横截面的迎水坡AD的坡比为2：3，背水坡BC的坡比为4：3，大坝高DE为20米，坝顶宽CD为45米，求大坝横截面的面积和周长．
【答案】解：，米，
，
米，
，米，
，
米，
∵四边形ABCD是梯形，
∴CD∥AB，
∵DE⊥AB，CF⊥AB，
∴DE∥CF，∠DEF=90°，
∴四边形DEFC是矩形，
∴EF=CD=45米
（米），
（平方米）．
∵，
，
=（米），
大坝的横截面积为1350平方米，周长为（米）．
【解析】【分析】坡比就是坡面的竖直高度与水平宽度的比值，据此求出AE、BF的长，由梯形两底平行得出CD∥AB，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得DE∥CF，则可得四边形DEFC是矩形，由矩形的对边相等得EF=CD=45米，根据线段和差算出AB的长，进而根据梯形面积公式可求出梯形ABCD的面积；在Rt△ADE与Rt△BFC中，分别根据勾股定理算出AD与BC，最后根据梯形周长计算公式算出梯形的周长即可.
13．如图，在 中，对角线、相交于点，且，，．
（1）求的度数：
（2）求 的面积．
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
，
；
（2） 的面积
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AO=CO=3，BO=DO=5，再根据勾股定理得逆定理可求出∠BAC的度数；
（2）平行四边形的面积=底×高，据此计算即可.
14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．
（1）求证：FA=BD；
（2）连结BF ，若AB=AC，求证：四边形ADBF是矩形．
【答案】（1）证明：∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∠FAE=∠CDE．
又∵E为AD的中点，AE=DE，
∴△AEF≌△DEC( AAS)，
∴AF=DC．
又∵D为BC的中点，
∴ BD=CD，
∴AF=BD．
（2）解：∵AF=BD ，AF∥BD，
∴四边形ADBF是平行四边形．
∵ AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB= 90°，
∴四边形ADBF是矩形．
【解析】【分析】（1）根据三角形全等的判定与性质，先证△AEF≌△DEC，得AF=DC，结合题意，即可得出结论；
（2）由题意四边形ADBF是平行四边形，根据等腰三角形的性质可得AD⊥BC，即可得四边形ADBF是矩形．
15．如图，已知AB＝12，AB⊥BC，垂足为点B，AB⊥AD，垂足为点A，AD＝5，BC＝10，点E是CD的中点，求AE的长.
【答案】解：如图，延长AE交BC于点F，
∵点E是CD的中点 ∴DE＝CE，
∵AB⊥BC，AB⊥AD ∴AD∥BC
∴∠ADE＝∠BCE且DE＝CE，∠AED＝∠CEF
∴△AED≌△FEC（ASA）
∴AD＝FC＝5，AE＝EF
∴BF＝BC﹣FC＝5
∴在Rt△ABF中，AF＝ ＝13
∴AE＝ ＝
【解析】【分析】 延长AE交BC于点F，易证△AED≌△FEC，然后由全等三角形对应边相等可求出AD、FC、BF的值，接下来在Rt△ABF中，根据勾股定理可得AF的值，最后根据AE=EF就可得到AE的值.
16．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，M、N分别是AC、BD的中点，试说明：
（1）MD=MB；
（2）MN⊥BD．
【答案】证明：（1）∵∠ABC=∠ADC=90°，M是AC的中点，
∴BM=AC，DM=AC，
∴DM=BM；
（2）由（1）可知DM=BM，
∵N是BD的中点，
∴MN⊥BD．
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等边对等角的性质即可证明；
（2）根据等腰三角形的三线合一证明．
17．如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，点 E 在边 AB上， ▲ .
请从“①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解决下列问题：
（1）求证：四边形 BCDE为平行四边形；
（2）若AD⊥AB，AD=8，BC=10，求线段AE的长.
【答案】（1）证明：选择①或②.证明如下：
选择①，∵∠B=∠AED，∴BC∥DE.
又∵AB∥CD，
∴四边形 BCDE 为平行四边形.
选择②，∵AE=BE，AE=CD，
∴BE=CD.
又∵AB∥CD，
∴四边形 BCDE为平行四边形
（2）解：由(1)可知，四边形 BCDE 为平行四边形，
∴DE=BC=10.
∵AD⊥AB，∴∠A=90°，
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定定理证明即可；
（2）根据平行四边形的性质得到DE=BC=10，然后根据勾股定理计算解答即可.
18．已知△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于D，若AB＝5，CD＝3，求BC的长．
【答案】解：在Rt△CDA中，
∵AC=AB=5，CD=3，
∴AD= ，
∴BD=AB-AD=5-4=1，
在Rt△CBD中，BC=
【解析】【分析】在Rt△CDA中，利用勾股定理求出AD的长，根据BD=AB-AD，可求出BD的长，然后在Rt△CBD中，利用勾股定理求出CB的长度．
19．如图，在中，，于点，点为的中点，连结．已知，，求，的长．
【答案】解：，于点，
，
，
，
于点，
，
在中，，
，
，
为的中点，点为的中点，
【解析】【分析】（1）先由等腰三角形三线合一知AD平分BC，即；
（2）再由勾股定理求出AB的长，再利用直角三角形斜边上的中线的性质可得.
20．若一个四边形的两个内角是直角，另外两个内角中一个角比另一个角的2倍少30°，求这两个内角的度数．
【答案】解：四边形内角和为(4-2)×180°=360°
设四边形其中一个角为x°，则另一个角为(2x-30)°
x+2x-30+90×2=360，
∴x＝70，
∴2x-30=110
∴这两个内角的度数分别为70°和110°.
【解析】【分析】设一个角是x°，则另一个角是2x-30°，根据多边形的内角和列方程求解即可．
21．如图所示，六边形ABCDEF中， ， ， ， ， ，求 的度数．
【答案】解：连接AD
在四边形ABCD中， ．
， ．
又 ， ．
， ．
.
．
在六边形ABCDEF中， ，
又 ， ， ，
．
【解析】【分析】连接AD，利用四边形的内角和以及 ， 可推出 ，再根据 与等角替换得出 ，然后利用六边形的内角和即可求出 的度数．
22．如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.
（1）求证：四边形ADCE是矩形；
（2）连接BE，若AC=10，BC=12，求BE的长
【答案】（1）解：证明：∵AB=AC，AD是中线，
∴，
又∵AN平分∠MAD，
∴
，
又∵CE⊥AN，
∴∠AEC=90°，
∴四边形ADCE是矩形
（2）解：∵BC=12，
∴CD=6，
∴AD==8，
∵四边形ADCE是矩形，
∴∠BCE=90°，CE=AD=8，
∴BE===.
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质可得，再根据角平分线定义可得，根据角之间的关系可得∠DAN，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据中心性质可得CD，根据勾股定理可得AD，再根据矩形性质可得∠BCE=90°，CE=AD=8，再根据勾股定理即可求出答案.
23．将两个完全相同的含有的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放，点、、、依次在同一条直线上，连接、．
（1）判断四边形的形状，并给出证明．
（2）已知，当四边形是菱形时，的长为　 　．
【答案】（1）解：四边形平行四边形，
理由：由题意得：≌，
，，
，
四边形平行四边形；
（2）24
【解析】【解答】解：四边形是菱形，
，
，
，
，，
是的一个外角，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】（1）由完全相同的三角板可得三角形ABC和DEF全等，根据全等三角形的性质，结合平行四边形的判定定理证明即可；
（2）根据菱形的性质证CA=CD，结合30°直角三角形的性质求AB的长，BC和BD的长，根据AD=AB+BD求解即可。
24．如图，在菱形ABCD中，AC是对角线，点E是边BC的中点，若∠B=60°，AB=4，求线段AE的长．
【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC，∠BAE= ∠B=30°，
∵AB=4，
∴BE=2，
在Rt△ABE中，
AE= = =2 ．
【解析】【分析】根根据菱形的四条边相等得出△ABC是等边三角形，根据等腰三角形的三线合一求出BE的长，再根据勾股定理即可求解.
25．在矩形中，，E是的中点，一块三角板的直角顶点与点E重合，将三角板绕点E按顺时针方向旋转，当三角板的两直角边与、分别相交于点M，N时，观察或测量与的长度，你能得到什么结论？并证明你的结论.
【答案】解：，
证明：过E点作于点F，
∵为矩形，
∴，
∴为矩形，
又∵，E是的中点，
∴
∴为正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴
∴.
【解析】【分析】 过E点作EF⊥BC于点F，由矩形的性质可得∠A=∠B=∠C=∠D=∠EFN=90°，AB=CD，根据矩形的判定可得四边形ABEF、EFCD是矩形，结合已知和线段中点的定义可得AB=AE=DE=DC=EF=AD，根据一组邻边相等的矩形是正方形可得四边形ABEF、EFCD是正方形，由正方形的性质可得AE=EF，AB=FC由同角的余角相等可得∠AEM=∠FEN，用角边角可证，由全等三角形的性质可得AM=FN，则可得BM=CN.
26．如图，已知，是正方形的对角线上的两点，且连接，，，．
（1）请判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若四边形的周长为，且，求正方形的边长．
【答案】（1）解：四边形是菱形，理由如下：
连接，交于点，
四边形是正方形，
，，，
，
，即，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形
（2）解：由知，四边形是菱形，
菱形的周长，
，
设，则，
在中，，
，
，舍去，
，
，
故正方形的边长为．
【解析】【分析】（1） 连接，交于点， 根据正方形的性质得到，，，结合题意先证明 四边形是平行四边形，再由菱形的判定定理即可证明 四边形是菱形 ；
（2）先根据菱形的性质以及周长求得菱形的边长，设，则，利用勾股定理得到关于x的方程，解方程取符合题意的x的值，进而得到，从而求解.
27．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍还多180°，求这个多边形的边数．
【答案】解：设这个多边形的边数是n，依题意得
（n﹣2）×180°=4×360°+180°，
（n﹣2）=8+1，
n=11．
即这个多边形的边数是11
【解析】【分析】多边形的外角和是360度，根据多边形的内角和比它的外角和的4倍还多180°，即可得到多边形的内角和的度数．根据多边形的内角和定理即可求得多边形的边数．
28． 如图，的对角线AC与BD交于点，点、分别在OB、OD上.
（1） 下列条件：①；②；③，请你从中选择一个能证明四边形AECF是平行四边形的条件，并写出证明过程；
（2） 若四边形AECF是平行四边形，，，垂足为点，，，求的面积.
【答案】（1）解：我选择①
证明：在中，，
四边形AECF是平行四边形；
我选择②
证明：在 ABCD中，
在和中，
又
四边形AECF是平行四边形；
我选择③
证明：在 ABCD中，
∵
∴
∴
在和中，
∴
∴
又∵
∴四边形AECF是平行四边形.
（2）解：，
在 中，，
，
，
∵
【解析】【分析】（1）选择①，先根据平行四边形的性质得到，，再进行线段的运算得到，从而根据平行四边形的判定即可求解；选择②，先根据平行四边形的性质得到，再根据平行线的性质得到，进而根据三角形全等的判定与性质（AAS）证明得到，从而结合平行四边形的判定即可求解；选择③根据平行四边形的性质得到，再等量代换得到，进而根据平行线的判定证明，从而根据三角形全等的判定与性质证明得到，最后根据平行四边形的判定即可求解；
（2）先根据垂直得到，再根据含30°角的直角三角形的性质得到AE，根据勾股定理求出DE，从而即可求出EF，再根据平行四边形的面积公式即可求解。
29．如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，AD＝16，求AB的长．
【答案】解：∵CD⊥AB于D，
∴∠ADC=∠BDC=90°．
∵在直角△ACD中，AC=20，AD=16，
∴CD= =12；
∵在直角△BCD中，BC=15，CD=12，
∴BD= =9，
∴AB=AD+BD=25．
【解析】【分析】在直角△ACD中利用勾股定理得出CD的长，再利用在直角△BCD中利用勾股定理求得BD，再根据线段的和差关系求得AB的长．
30．如图， 在等腰 中， ．
（1） 请用尺规作图法， 作 的角平分线， 交 边于点 (不写作法， 保留作图痕迹)
（2）若 ， 求 的周长．
【答案】（1）如解图，AN即为所求；
（2）解：∵AB=AC，AN平分∠BAC，
∴BN=NC=4，∠ANB=90°，
∴，
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=5+5+8=18 ．
【解析】【分析】（1）利用作角的平分线的方法作图即可；
（2）根据三线合一得到BN=NC=4，∠ANB=90°，然后利用勾股定理求出AB和AC的长即可解题 ．
31．如图，在 ABCD中，E、F分别是BC、AD上的点，且AE∥CF，AE与CF相等吗？说明理由.
【答案】解：AE=CF.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AF∥EC.
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形.
∴AE=CF.
【解析】【分析】利用平行四边形的对边平行可证得AD∥BC，即AF∥EC，再利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证得四边形AECF是平行四边形，然后利用平行四边形的对边相等，可证得结论.
32．四边形是菱形，对角线与相交于，，，求的长．
【答案】解：四边形是菱形，对角线与相交于，
，，
，，
，
．
【解析】【分析】根据菱形的性质可得AC与BD垂直平分，先利用勾股定理求得BO的长，2BO即可得到BD.
33．如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段和线段，点、、、均在小正方形的顶点上．
（1）在方格纸中画出以为对角线的正方形，点、在小正方形的顶点上；
（2）在方格纸中画出以为斜边的等腰直角三角形，点在小正方形的顶点上，连接，请直接写出长＝ ▲ ．
【答案】（1）解：正方形AEBF作图如下：
（2）解：等腰直角三角形如图：
；
【解析】【解答】解：（2）
故答案为：.
【分析】（1）根据正方形的性质和判定，作图即可；
（2）根据等腰直角三角形的性质和判定画图，再根据方格纸的特征，利用勾股定理即可算出MB的长度.
34．（1）若都是实数，且，求的立方根；
（2）已知与互为相反数，求的值．
【答案】解：（1）由题意得：，解得，
所以，
所以；
（2）∵与互为相反数，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据“二次根式的被开方数不能为负数”列出关于字母x的不等式组，求解可以得到x的值，进而得到y的值，最后代入5x+13y+6计算后再根据立方根的定义求解即可；
（2）根据互为相反数的两个数的立方根依然互为相反数得到，进一步计算即可求解．
35．如图，每个小正方形的边长都是1．按要求画图（所画图形的顶点都是格点，标字母，写结论）
①面积为13的正方形（边长是无理数）；
②三条边长都是无理数的直角三角形．
【答案】解：①由勾股定理得：
= ，
正方形如图1所示：
②由勾股定理得：
= ， = ，
（ ）2+（ ）2=（ ）2，
直角三角形如图2所示：
【解析】【分析】（1）由勾股定理得出边长为 的正方形即可；（2）由勾股定理得出两条边长为 ，另一条为 的三角形，根据勾股定理的逆定理画出图形即可．
36．如图，在菱形ABCD中，P是BC边上一点，连结AP，E，F是AP上的两点，连结DE，BF，使得∠AED=∠ABC，∠ABF=∠BPF。
求证：
（1）△ABF≌△DAE。
（2）DE=BF+EF。
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，AD∥BC
∴∠BPA=∠DAE
∵∠ABC=∠AED，
∴∠BAF=∠ADE
∵∠ABF=∠BPF，∠BPA=∠DAE，
∴∠ABF=∠DAE
∵AB=DA，
∴△ABF≌△DAE(ASA)
（2）证明：∵△ABF≌△DAE，
∴AE=BF，DE=AF
∵AF=AE+EF=BF+EF，
∴DE=BF+EF
【解析】【分析】(1)由AD//BC，得∠BPA=∠DAE；由菱形的性质，得AB=DA，即得证；
(2)由△ABF≌△DAE，得AE=BF，DE=AF=AE+EF，从而得证.
37．如图所示， 内一点 满足 于点 ，且 ， .找出图中一条与 相等的线段，并加以证明.
【答案】解： .
证明：延长 与 交于点 ，
∵四边形 是平行四边形，
∴ . .
∵ ， ，
∴ ，
∴ .∴ .
又∵ ， ，
∴
.∴ ，
∴
【解析】【分析】延长DE与BC交于点F，利用平行证明∠DFC=∠ADF=90°，从而证明Rt△BEF≌Rt△DFC，得EB=DC，因此BE=DC=AB，即线段DC和线段AB与EB相等.
38．如图，点E是矩形的边延长线上一点，连接，交于点G，作交于点F，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，
∴，
解得：．
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合DC=DE，即可证出四边形是菱形即可；
（2）连接，先利用“SAS”证出，利用全等三角形的性质可得FG=GD，再利用线段的和差求出FG，利用勾股定理可得，最后求出AG的长即可.
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：如图，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴
在和中，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得，
∴，解得：．
39．如图，将 ABCD的对角线BD向两个方向延长至点E和点F，使BE=DF，证：四边形AECF是平行四边形.
【答案】证明：连接AC交EF于点O；
∵平行四边形ABCD
∴OA=OC，OB=OD
∵BE=DF，
∴OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形.
【解析】【分析】首先连接AC交EF于点O，由平行四边形ABCD的性质，可知OA=OC，OB=OD，又因为BE=DF，可得OE=OF，即可判定AECF是平行四边形.
40．实数a、b在数轴上的位置如图所示，请化简：|a|﹣ ﹣ ．
【答案】解：∵从数轴可知：a＜0＜b，
∴|a|﹣ ﹣
=|a|﹣|a|﹣|b|
=﹣|b|
=﹣b．
【解析】【分析】根据数轴的特点，判断出a、b的符号，然后根据二次根式的性质 化简计算即可.
41．如图，在四边形ABCD中，，，，，．
（1）求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积．
【答案】（1）解：，，，
；
（2）解：，，，
，
是直角三角形，
，
四边形ABCD的面积为．
【解析】【分析】本题考查勾股定理及其逆定理：
（1）直接利用勾股定理可求出AC的长度；
（2）通过计算可得：，利用勾股定理的逆定理可证明是直角三角形，则四边形的面积等于与面积之和，代入数据可求出答案．
42．如图， 在RtABC 中AB=10，BC⊥AC，P为线段AC上一点，点Q，P 关于直线BC对称，QD⊥AB于点D，DQ与BC交于点 E，连结DP， 设AP=m．
（1） 若BC=8，求AC的长，并用含m的代数式表示PQ的长；
（2）在（1）的条件下，若AP=PD．求CP的长：
（3）连结PE， 若∠A=60°，PCE与PDE的画积之比为1：2，求m的值．
【答案】解：（1）∵RtABC 中AB=10，BC⊥AC，BC=8，
∴AC=，
∵AP=m，
∴PC=6-m，
∵点Q，P 关于直线BC对称，
∴PQ= 2PC=12-2m；
（2）∵AP=PD，
∴∠A=∠ADP，
∵QD⊥AB，
∴∠ADP+∠PDQ=∠A+∠AQD=90°，
∴∠PDQ=∠AQD，
∴PD=PQ，
∴AP=PQ=PD，
∴m=12-2m，解得：m=4，
∴CP=6-4=2；
（3）∵PCE与PDE的面积之比为1：2，PCE的面积和DCE的面积相等，
∴PQE和PDE的面积相等，
∴点E是DQ的中点，即：DE=QE，
∵点Q，P 关于直线BC对称，
∴EP=EQ，
∴EP=EQ=ED，
∴∠EDP=∠EPD，∠EPQ=∠EQP，
∴∠EPD+∠EPQ=180°÷2=90°，即：∠DPQ=90°，
∵∠A=60°，QD⊥AB，
∴∠AQD=30°，∠B=30°，
∴AC=AB=5，
∴AD=AQ=（AP+PQ）=（10-2m+m）=5-m，
∵∠APD=90°，
∴∠ADP=30°，
∴AP=AD=-m，
∴-m=m，解得：m=2．
【解析】【分析】（1）先利用勾股定理求出AC，则PC＝AC－AP＝6-m，再利用轴对称的性质可得PQ＝2PC；
（2）由AP=PD，则∠A=∠ADP，再由等角的补角相等可得∠PDQ=∠AQD，则AP=PQ=PD，可得关于m的一元一次方程并求解即可；
（3）由轴对称的性质可知，又已知，且与共底同高，则点E平分DQ； 再由轴对称的性质知PE＝QE，则，又PA＝PD，则，则由直角三角形两锐角互余可证，因为，则，再利用直角三角形中30度所对的直角边是斜边的一半列方程并求解即可．
43． 如图，点分别在正方形的边上，分别交于点，若．求证：
（1）
（2）
【答案】（1）证明：延长到P使得，
由题意，，，
∴，
∴，
∵，，
∴
∴
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）过点A作，过点D作交于点Q，连，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴．
【解析】【分析】（1）延长到P使得，先证出可得，再证出，最后利用线段的和差及等量代换可得；
（2）过点A作，过点D作交于点Q，连，先证出，可得，再结合，利用勾股定理及等量代换可得.
44．一个25米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24米，如果梯子的顶端A沿墙下滑4米，那么梯子底端B也外移4米，对吗？为什么？
【答案】解：不对．
理由：如图，依题意可知
AB＝25(米)，AO＝24(米)，∠O＝90°，
∴ BO2＝AB2﹣AO2＝252-242，
∴ BO＝7(米)，
移动后，A＇O＝20(米)，B＇O2＝(A＇B＇)2-(A＇O)2＝252-202＝152，
∴ B＇O＝15(米)，
∴ BB＇＝B＇O－BO＝15－7＝8(米)．
【解析】【分析】根据勾股定理求出BO的长度，再根据移动后的三角形的勾股定理，求出 BB＇的长度。
45．如图，四边形 ABCD 为正方形，E 为线段AC 上一点，连结 DE，过点 E作EF⊥DE，交射线 BC 于点 F，以 DE，EF为邻边作矩形DEFG，连结CG.
（1）求证：矩形DEFG 是正方形；
（2）若AB=2，CE= ，求 CG的长度；
（3）当线段 DE与正方形ABCD 的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数.
【答案】（1）证明：作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，
∵∠DCA=∠BCA，
∴EQ=EP，
∵∠QEF+∠FEC=45°，∠PED+∠FEC=45°，
∴∠QEF=∠PED，
在△EQF和△EPD中，
∴△EQF≌△EPD(ASA)，
∴EF=ED，
∴矩形DEFG是正方形
（2）解：如图
在Rt△ABC中，，
∵
∴AE=CE.
∴点F与C重合，此时△DCG是等腰直角三角形，易知.
（3）解：①当DE与AD的夹角为30°时，点F在BC边上，∠ADE=30°，
则∠CDE=90°-30°=60°，
在四边形CDEF中，由四边形内角和定理得：∠EFC=360°-90°- 90°- 60°=120°，
②当DE与DC的夹角为30°时，点F在BC的延长线上，∠CDE=30°，如图所示：
∵∠HCF=∠DEF=90°，∠CHF=∠EHD，
∴∠EFC=∠CDE=30°，
综上所述，∠EFC=120°或30°
【解析】【分析】(1)作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明△EQF≌△EPD，得到EF=ED，根据正方形的判定定理证明即可；
(2)通过计算发现E是AC中点，点F与C重合，CDG是等腰直角三角形，由此即可解决问题；
(3)分两种情形考虑问题即可.
46．
（1）如图1，一个大正方形被分割成10个互不重叠的小正方形．若图中所给的两个小正方形的边长分别为1和2，则这个大正方形的面积为　 　．
（2）现有一大正方形如图2，将它分割成10个小正方形，请尽可能多地画出与图1不同的分割示意图．(当两种分割方法所得到的10个小正方形的大小都对应相同时，认为是同一种分割法．)
【答案】（1）81
（2）解：如图所示，（答案不唯一）
【解析】【解答】解：(1)、根据图1可得，大正方形的边长为9，
这个大正方形的面积为：.
故答案为：81.
【分析】 (1)根据图示求出大正方形的面积即可；
(2)根据题目要求画出即可.
47．如图，中，，，点F为平行四边形外一点，连接、，且于点F．
（1）如图1，若，求的长度；
（2）如图2，延长、交于点E，过点D作交的延长线于点G，若C为的中点，求证：．
【答案】（1）解：如图1，∵四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，∠A=∠C=45°，AD=BC
∴，
∵，
∴∠ADB=90°-∠A=45°，∠DBC=90°-∠DCB=45°
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
即BF的长度为12
（2）解：如图2，在线段上截取，连接，
∵C为的中点，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∵∠DBF+∠BFC+∠FCD+∠CDB=360°
∴，
∵，
∴，
∴在△DCG和△DBF中
∴（），
∴，
∴，
∵∠DMG=90°
∴，
∴，
∵DM=EF
∴，
∴．
【解析】【分析】
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识点，利用截长补短法添加辅助线是解决第二问的关键．（1）根据平行四边形的性质：对边平行且相等，对角相等可知：AB∥CD，∠A=∠C=45°，AD=BC，再由平行线的性质：两直线平行，内错角相等可知：，由直角三角形两锐角互余可知：∠ADB=90°-∠A=45°，∠DBC=90°-∠DCB=45°，根据等腰直角三角形的性质：等角对等边和等腰直角三角形三边之比为：可知：，由平行四边形的面积=底×高，即：代入数据即可得出：，再根据等腰直角三角形三边之比为：，可求出，最后根据勾股定理：在Rt△BCF中，即可得出答案；
（2）在线段上截取，连接，由中点的定义可知；，根据全等三角形的判定方法SAS可证得：，再由全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等可知： ，由垂直的定义可知；，根据等式的基本性质：等式两边同时加上或减去同一个相同的式子，等式不变可知： ，即：∠GDC=∠BDF，结合（1）的结论：BD=CD，∠CBD=∠BCD=45°，根据四边形内角和为360°可知：∠DBF+∠BFC+∠FCD+∠CDB=360°，结合∠BDC=90°，∠BFC=90°可得：，由平角的定义可知：，根据同角的补角相等可知：，根据三角形全等的判定方法ASA可证得：，由全等三角形的性质：对应边相等可知：，再根据等腰三角形的性质：等边对等角可知：，根据三角形内角和为180°可求得：，根据等腰三角形的判定：等角对等边可知：，等量代换可知：，最后由线段的和差运算即可证得结论。
（1）解：如图1，∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴、是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：如图2，在线段上截取，连接，
∵C为的中点，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴（），
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
48．我国著名的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形．数学兴趣小组的小伙伴们尝试用两对全等的直角三角形与一个矩形拼出了一个平行四边形．
（1）如图1，M是AB的中点，若ME=DG，AB=6，求CG的长．
（2）如图2，M是AB的中点，连结HF，EG交于点O，连结OM．
①求证：OM∥AD
②如图3，若AH=HE，取AD的中点N，连接ON，NG，MH，若，求的值.
【答案】（1）解：∵ △ABE是直角三角形，点M是AB中点，
∴ ME=AB=3，
∴ DG=ME=3，
∵ 四边形ABCD为平行四边形，
∴ CD=AB=6，
∴ 在Rt△CDG中，CG=；
（2）解：①连结OB，OD，
∵OE=OG，BE=DG，∠BEO=∠DGO，
∴△BOE≌△DOG（SAS），
∴∠BOE=∠DOG，OB=OD，
∴B，O，D三点共线，
∵点M是AB中点，
∴OM是△ABD的中位线，
∴OM∥AD，
②∵AH=HE，M是AB中点，
∴MH是△ABE的中位线，
∴MH∥BE，BE=2MH，
设ON与MD交于点K，作△MOH的高h1，△NKG的高h2，
可知，h1=h2
∵，，
又∵，∴.
设MH=2x，KG=3x，则BE=DG=2MH=4x，
∴KD=KM=7x，∴HK=5x，∴HG=8x，
.
【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质可得ME的长，再根据平行四边形的性质可得CD，根据勾股定理即可求得CG；
（2）①连结OB，OD，根据SAS判定△BOE≌△DOG推出B，O，D三点共线，OB=OD，根据三角形的中位线的性质即可求得OM∥AD；
②根据三角形的中位线的性质可得MH∥BE，BE=2MH，设ON与MD交于点K，作△MOH的高h1，△NKG的高h2，根据题意可推出，设MH=2x，KG=3x，表示出HG与DG，求比值即可.
49．如图，中，，，点是线段延长线上一点，点为线段的中点，连接．将射线绕点顺时针旋转得到射线，过点作，垂足为点，连接．
（1）用等式表示线段与之间的数量关系，并证明；
（2）求的大小（用含的代数式表示）；
（3）若点满足，直接写出一个的值，使得．
【答案】（1）解：，理由如下：
如图，延长，使，连接，，
，
，
，
，
延长，使，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为线段的中点，
，
又，
且，
，
；
（2）解：由（1）可得：，，
，
，
由（1）可得：，
；
（3）
【解析】【解答】（3）解：，理由如下：
如图，连接，取的中点，连接，
，
，
，
，
由（1）可得：，
，
点是的中点，
，
又，
，
，
是等边三角形，
，
由（2）可得：，
即：，
，
解得：．
【分析】（1）延长，使，连接，，根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得，延长，使，连接，再根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得，则，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据线段中点可得，再根据三角形中位线定理可得且，再根据边之间的关系即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据直线平行性质即可求出答案.
（3）连接，取的中点，连接，根据垂线的定义可得，再根据直角三角形斜边上的中线性质可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，再根据角之间的关系即可求和粗答案.
（1）解：，理由如下：
如图，延长，使，连接，，
，
，
，
，
延长，使，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为线段的中点，
，
又，
且，
，
；
（2）解：由（1）可得：，，
，
，
由（1）可得：，
；
（3）解：，理由如下：
如图，连接，取的中点，连接，
，
，
，
，
由（1）可得：，
，
点是的中点，
，
又，
，
，
是等边三角形，
，
由（2）可得：，
即：，
，
解得：．
50．如图，矩形中，，，点P、点Q分别在边上，且．连结相交于点M，连结相交于点M．
（1）当时，大小为 度．
（2）求证：四边形是平行四边形．
（3）当时，求证：四边形是矩形
（4）在不添加辅助线与字母的前提下，若图中存在菱形，直接写由该菱形的边长；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）90
（2）证明：∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴，则，
∵，
∴，
∵
∴
∴四边形是平行四边形，
∴，则
∴四边形是平行四边形；
（3）解：当时，如图1所示，
由（2）可知，四边形是平行四边形；
∵四边形为矩形，
∴，，，
∵
∴，
∴，
在中，由勾股定理得到，
在中，由勾股定理得到，
在中，，
∴，
∴是直角三角形，是斜边，
∴
∴四边形是矩形；
（4）当四边形或四边形是菱形时，其边长为．当四边形是菱形时，其边长为
【解析】【解答】（1）解：∵四边形为矩形，，
∴，，，
∵
∴．
∴
在中，由勾股定理得到，
在中，由勾股定理得到，
在中，，
∴，
∴是直角三角形，是斜边，
∴
故答案为：90
（4）解：图中存在菱形时，有以下三种情况：
①当，四边形是菱形，其边长为，
理由如下：
∵，，
∴
在中，由勾股定理得到，
∴，
由（2）可知，四边形是平行四边形；
∴四边形是菱形，其边长为，
②当，四边形是菱形，其边长为，如图3所示，
理由如下：∵，，
∴
在中，由勾股定理得到，
∴，
由（2）可知，四边形是平行四边形；
∴四边形是菱形，其边长为，
③当，四边形是菱形，其边长为，如图4，
理由如下：
连接，
在中，由勾股定理得到，
∵，，
∴点P、Q分别是、的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由（2）可知，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，边长为，
综上可知，当四边形或四边形是菱形时，其边长为．当四边形是菱形时，其边长为
【分析】（1）根据矩形性质可得，，，再根据边之间的关系可得，DQ=8，再根据勾股定理及勾股定理逆定理即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，，，则，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，则，根据边之间的关系可得，根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，则，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（3）由（2）可知，四边形是平行四边形，根据矩形性质可得，，，根据边之间的关系可得，DQ=2，再根据勾股定理及勾股定理逆定理可得是直角三角形，是斜边，则，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（4）分情况讨论：①当，四边形是菱形，其边长为，②当，四边形是菱形，其边长为，③当，四边形是菱形，其边长为，根据边之间的关系可得Q，再根据勾股定理即可求出答案；
（1）解：∵四边形为矩形，，
∴，，，
∵
∴．
∴
在中，由勾股定理得到，
在中，由勾股定理得到，
在中，，
∴，
∴是直角三角形，是斜边，
∴
故答案为：90
（2）证明：∵四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵
∴四边形是平行四边形，
∴，则，
∵，
∴，
∵
∴
∴四边形是平行四边形，
∴，则
∴四边形是平行四边形；
（3）解：当时，如图1所示，
由（2）可知，四边形是平行四边形；
∵四边形为矩形，
∴，，，
∵
∴，
∴，
在中，由勾股定理得到，
在中，由勾股定理得到，
在中，，
∴，
∴是直角三角形，是斜边，
∴
∴四边形是矩形；
（4）解：图中存在菱形时，有以下三种情况：
①当，四边形是菱形，其边长为，
理由如下：
∵，，
∴
在中，由勾股定理得到，
∴，
由（2）可知，四边形是平行四边形；
∴四边形是菱形，其边长为，
②当，四边形是菱形，其边长为，如图3所示，
理由如下：∵，，
∴
在中，由勾股定理得到，
∴，
由（2）可知，四边形是平行四边形；
∴四边形是菱形，其边长为，
③当，四边形是菱形，其边长为，如图4，
理由如下：
连接，
在中，由勾股定理得到，
∵，，
∴点P、Q分别是、的中点，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
由（2）可知，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形，边长为，
综上可知，当四边形或四边形是菱形时，其边长为．当四边形是菱形时，其边长为
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑