资源简介

2025-2026学年高三下学期阶段检测（三）
数学试题
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项： A．从折线图能看出世界人口的总量随着年份的增加而增加
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题 B．2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多
卡上填写清楚. C．2050年南美洲及大洋洲人口之和与欧洲人口基本持平
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， D．1957年到 2050年各洲中北美洲人口增长速度最慢
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 5．已知函数 f（x）的定义域为 R，g（x）＝f（x）﹣x+1是奇函数，h（x）＝f（x）﹣x3是偶函
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟. 数，则 （ ）
A．﹣10 B．﹣8 C．8 D．10
一．单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项 6．若 tanθ＝﹣2，则 （ ）
中，只有一项是符合题目要求的）
A．1 B．3 C．9 D．10
1．在复平面内，复数 z对应点的坐标是（2，﹣2），则 i z＝（ ）
7．如图，已知三棱锥 P﹣ABC中，平面 PBC⊥平面 ABC， ，AB＝AC＝2，∠BAC
A．2+2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．﹣2﹣2i
＝120°，则直线 PA与平面 PBC所成角的正弦值为（ ）
2．已知向量 ， ，则 （ ）
A．（﹣3，2） B．（1，0） C．﹣3 D．3
3．命题 p： x＞2，x2﹣2＞0，则￢p是（ ）
A． x＞2，x2﹣2≤0 B． x≤2，x2﹣2≤0
C． x≤2，x2﹣2≤0 D． x＞2，x2﹣2≤0
4．如图所示是世界人口变化情况的三幅统计图，下列结论中错误的是（ ） A． B． C． D．
8．已知函数 ， ，则下列关于函数 f（x）的极值点的叙述，正 11．已知函数 f（x）＝x
3﹣6x2+9x﹣2，以下命题正确的是（ ）
A．若函数 y＝f（x）﹣bx不存在极值，则实数 b的取值范围是（﹣3，+∞）
确的是（ ）
A．既没有极大值点也没有极小值点 B．方程 的所有实根的和为 8
B．既有极大值点也有极小值点 C．过点 M（0，1）且与曲线 y＝f（x）相切的直线有三条
C．有且只有一个极小值点 D．方程 ，则 g（x）的极大值为
D．有且只有一个极大值点
三．填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
二．多项选择题（本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四个
12．随机变量ξ的分布列如表所示，且 m+2n＝1.2，则 E（ξ）＝ ．
选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，
ξ 0 1 2 3
有选错的得 0分）
P 0.1 m n 0.1
9．已知函数 的图象关于直线 对称，则（ ）
13．记 Sn为等差数列 {an}的前 n项和，已知 a2＝11，S10＝40．则数列 {|an|}的前 20项和
A．f（x）在区间 上单调递减 为 ．
B．f（x）在区间 上有两个极值点 14．已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1，正方体所有顶点都在平面α的同一侧，正方体的 8个顶点到
平面α的距离恰好为 1，2，3，4，5，6，7，8，则正方体的棱长为 ．
C．f（x）的图象关于点 中心对称
D．直线 与 f（x）的图象相切 四．解答题（共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
10 E F F P E x 15．（13分）如图，在平面四边形 ABCD中， ，E在边 AB上，BE＝3，AE＝CE，DE⊥CE，．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 1， 2，点 为 上的动点且不在 轴上，
则（ ） △BEC的面积为 ，记 ．
（1）若 ，求线段 BC的长度；
A．E的离心率为
（2）当θ为何值时，线段 DE的长度最小？求出该最小值．
B．△PF1F2的面积的最大值为
C． 的最小值为
D．以 E的四个顶点为顶点的四边形的内切圆半径为
16．（15分）已知数列{an}的首项 a1＝3，且满足 an+1＝2an﹣1（n∈N*）． （1）若函数 ，且点 在曲线 y＝f（x）上．
（1）求证：{an﹣1}数列为等比数列；求数列{an}的通项公式；
（ⅰ）求曲线 y＝f（x）在点 A处的切线方程；
（2）记 bn＝log2（an﹣1），求数列 的前 n项的和 Sn． （ⅱ）求以点 A为一个顶点的“关联矩形”的面积．
（2）若函数 f（x）＝lnx，且 f（x）与 g（x）的“关联矩形”是正方形，记该“关联矩形”的
面积为 S．证明： ．（参考数据： ）
17．（15分）如图，在三棱锥 A﹣BCD中，AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠CBD．
（1）证明：BC⊥AD；
（2）若△ABC和△DBC所在平面垂直，且平面 ABD与平面 BCD所成角的余弦值为 ，求
∠CBA．
19．（17分）双曲线 的离心率为 ，斜率为
k1的直线 l1和斜率为 k2的直线 l2均过原点，且分别与 E1，E2， ，En的右支交于点 A1，A2，
，An和点 B1，B2， ，Bn．
（1）求实数 m的值；
（2）作斜率为 k的过原点的直线 l（异于 l1，l2）与 E1，E2， ，En的右支分别交于点 P1，P2，
，Pn，记△AiBiPi的面积为 Si（i＝1，2， ，n）．
（i）求证：AiBi∥Ai+1Bi+1：18．（17分）当一个函数值域内任意一个函数值 y都有且只有一个自变量 x与之对应时，可以把
这个函数的函数值 y作为一个新的函数的自变量，而这个函数的自变量 x作为新的函数的函数 （ ii）若 k1＝1，k2＝0，0＜k＜1，且 ，记 ，证明：
值，我们称这两个函数互为反函数．例如，由 y＝3x，x∈R，得 ，通常用 x表示 ．
自变量，则写成 ，我们称 y＝3x，x∈R与 互为反函数．已知函数 f
（x）与 g（x）互为反函数，若 A，B两点在曲线 y＝f（x）上，C，D两点在曲线 y＝g（x）上，
以 A，B，C，D四点为顶点构成的四边形为矩形，且该矩形的其中一条边与直线 y＝x垂直，
则我们称这个矩形为 f（x）与 g（x）的“关联矩形”．
参考答案 因为△BEC的面积为 ，BE＝3，所以 ，则 ，
一．选择题 因为 DE⊥CE，所以 ，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 因为 ，所以 ，
答案 A B D D C C C D
在△DAE中利用正弦定理可得， ，
则
二．多选题
题号 9 10 11 ，
答案 BD ABD BC 因为 ，所以 ，则 ，
则 ，则 ，
三．填空题
等号成立时 ，则 ，即 ，
12．1.5．
13．218． 故当 时线段 DE的长度最小，最小为 ．
14． ．
16．（1）证明：由 an+1＝2an﹣1，得 an+1﹣1＝2（an﹣1），
又 a1﹣1＝2，四．解答题
所以{an﹣1}是以 2为首项，以 2为公比的等比数列；
15．解：（1）因为△BEC的面积为 ，BE＝3， ，
（2）解：由（1）知， ，
所以 ，则 EC＝2， 所以 bn＝log2（an﹣1）＝n，
在 △ BEC中 利 用 余 弦 定 理 得
则 ，
，
可得 Sn＝b1+b2+b3+ +bn
所以线段 BC的长度为 ； ．
（2）设 AE＝CE＝m，
17．解：（1 则有 ，）证明：取 AD中点 M，连接 BM，CM，
因为 BA＝BD，所以 BM⊥AD， 故可取 ，
又由题 AB＝BC＝BD，∠CBA＝∠CBD，
易知平面 DBC的一个法向量为 ，
可得△ABC≌△DBC，则 AC＝DC，
故 CM⊥AD， 则 ，
因为 CM∩BM＝M，CM，BM 平面 CBM， 解得 ，
所以 AD⊥平面 CBM，
所以∠CBA＝60°或∠CBA＝120°．
又 BC 平面 CBM，
所以 BC⊥AD．
18．解：（1）（ⅰ）∵点 在曲线 上，∴ ．
（2）设∠CBA＝∠CBD＝θ，AB＝BC＝BD＝1，
由平面 ABC⊥平面 DBC且平面 ABC∩平面 DBC＝BC，由面面垂直的性质定理可知， ∵ ，则 ，
可以点 B为坐标原点，过点 B垂直于平面 ABC的直线为 x轴，直线 BC为 y轴， 则曲线 y＝f（x）在点 A处的切线方程为 y 1×（x ），即 ．
过点 B垂直于平面 DBC的直线为 z轴建立空间直角坐标系，
（ⅱ）∵函数 f（x）与 g（x）互为反函数，∴g（x）＝x2（x≥0）．
根 据 对 称 性 可 设 A， D关 于 直 线 y＝ x对 称 ， 可 得 ， 则
．
若 AB⊥AD，则直线 AB的方程为 ，与曲线 y＝f（x）相切，不符合题意．
若 AC⊥AD，则直线 AC的方程为 ，
则有 B（0，0，0），A（0，cosθ，sinθ），D（sinθ，cosθ，0），
则 ， 联立方程组 ，消去 y整理得 x
2﹣x 0，解得 或 （舍去），
设平面 ABD的一个法向量为 ， 将 代入 y＝x2，可得 y ，
则 ， ∴ ，
则该“关联矩形”的面积 ． ∵Ei的离心率 ，
（2）证明：由 f（x）＝lnx，得 g（x）＝ex．
∴ ，
显然 f（x）﹣g（x）＜0，根据对称性可设 A，D关于直线 y＝x对称，B，C关于直线 y＝x对
称，且 AB⊥AD． ∴m＝16，
设 ，其中 x1＜x2，x4＜x3，且 x4＝lnx1，x3
（2）（i）证明：联立： ，
＝lnx2．
则 ，
∵“关联矩形”是正方形，∴ ．由
|AB|＝|BC|，得 x1＝x3＝lnx2． 即 ，
由 lnx2﹣lnx1＝x2﹣x3，可得 ． ∴ ， ，
令 h（x）＝ex﹣2x+lnx，则 ，则 h（x）在（0，+∞）
即： ，
上单调递增．
同理， ，
由 ，可得 ． ．
令φ（x）＝ex﹣x，则φ'（x）＝ex﹣1， ∴ ，
当 x∈（0，+∞）时，φ'（x）＞0，∴φ（x）在（0，+∞）上单调递增，
同理， ，
，
从而 ． ∴ ．
∴ ，
19．解：（1）∵双曲线 ， 即 AiBi∥Ai+1Bi+1．
（ii）证明：由（i）知：当若 k1＝1，k2＝0时， ，∴ ．
，且 ．
同理有： ，
∴Pi到 AiBi的距离 ．
∵△AiBiPi的面积为 Si（i＝1，2， ，n），
∴ ．
令 ，
则 ，
令 f′（k）＜0，解得 ，令 f′（k）＞0，解得 ，
则当 时，f（k）单调递减；当 时，f（k）单调递增，
∴ ，当 k→0时， ；当 k→1时， ，
因此 ，
∴ ，
∴ ，
又∵i≥2时， ，
∴
．

展开更多......

收起↑