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威远中学校 2027 届高二下期第一次阶段检测
数学试题
数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦
擦干净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
第Ⅰ卷(选择题，共58分)
一、单选题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求）．
1．在等比数列 中， ， ，则 （ ）
A．4 B． C． D．8
2．已知函数 的导函数为 ，且 ，则 （ ）
A．2 B．－2 C．4 D．－4
3．已知数列 满足 ，则 （ ）
A．1 B．5 C． D．
4．已知数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A．35 B．11 C． D．
5．如果函数 的图象如图，那么导函数 的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
6．设 是 的导函数，已知 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
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7．已知数列 的首项 ，且满足 ，则 （ ）
A． B． C．10 D．12
8．数列 的首项为 1，且 ，设 ，则数列 的前 20项和 为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分）．
9．已知定义在区间 上的函数 的导函数为 ， 的图象如图所示，则（ ）
A． 在 上单调递增
B． 在 上单调递增
C．曲线 在点 处的切线的斜率为 0
D． 有 1个极大值点
10．已知等差数列 的前 项和 存在最大值，且 ， ，则（ ）
A． B．
C．当 时， 取得最大值 D． 取得最小正值时 为 31
11．已知数列 的前 项和为 ，且 ，则（ ）
A．数列 是等差数列
B．
C．数列 的前 项的和为
D． 的前 项的和小于
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第Ⅱ卷（非选择题，共92分）
三、填空题（本大共 3小题 ，每小题 5分,满分 15分）．
12．已知等比数列 的前 项和为 ，且 ，则 __________.
13．已知函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是__________.
14．已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，若对
任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围为__________.
四、解答题（本题共计 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
15．设 为等差数列 的前 项和，已知 ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)记 ， 为数列 的前 项和，求 .
16．已知函数
(1)求函数 的单调区间；
(2)求函数 在 上的最大值和最小值．
17．已知 是数列 的前 项和， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)若 ，求数列 的前 项和 .
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18．已知函数 ，且 .
(1)求 的值及曲线 在点 处的切线方程；
(2)设 ，求 过点 的切线方程.
19．若数列 满足“ ，且 ” ，则称这个数列 为“ 型数列”.
(1)若数列 满足 ，求 的值并证明：数列 是“ 型数列”；
(2)若数列 的各项均为正整数，且 为“ 型数列”，记 ，数列 为等比数
列，公比 为正整数，当 不是“ 型数列”时，
（i）求数列 的通项公式；
（ii）求证： .
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威远中学校 2027 届高二下期第一次阶段检测
数学参考答案
（单选题本题共 8小题，每小题 5分，共 40分；多选题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18
分.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A D B C A D A D BC ACD ACD
三、填空题：
12．39 13． 14．
14题【详解】当 时，可得 ；
当 时， ，
两式相减得 ，所以 ，
所以数列 的通项公式为 ，当 时， ；
当 时， ，
当 时， 适合上式，所以
由不等式 ，即 ，
当 为奇数时，不等式 恒成立，即为 ，
可得 ，所以 ，
当 时，可得 取得最大值 ，所以 ；
当 为偶数时，不等式 恒成立，即为 ，
可得 ，所以 ，
设 ，
令 ，因为 是不小于 2的偶数，所以 为正奇数，且 ，
当 时，即 时， 取得最小值，最小值为 ，所以 ，
综上可得，实数 的取值范围为 .
四、解答题
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15．【详解】（1）等差数列 中， ， ，
，解得 ， ，
.........................................................................................6分
（2） ， ，
...................................13分
16．【详解】（1）. ，
令 ，解得 ，
由 得 或 ，此时函数单调递增，
由 得 ，此时函数单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减................................7分
（2）当 时，函数 与 的变化如下表：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
由表格可知：当 时，函数 取得极大值， ，
当 时，函数 取得极小值， ，
又 ，
可知函数 的最大值为 9，最小值为 ...........................................................15分
17．【详解】（1）在数列 中， ，当 时， ，
两式相减得 ，即 ，
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则 ，由 ，得 ，
因此数列 是首项为 ，公比为 2的等比数列，
故 ，所以数列 的通项公式为 ..................................................6分
（2）由（1）得 ，
则 ，
于是 ，
两式相减得
，
所以数列 的前 项和 .........................................................15分
18．【详解】【详解】（1）易知 的定义域为 ，
由 可得 ，
又 ，可得 ，解得 ；
因此在点 处的切线的斜率为 ，又此时 ，
所以切线方程为 ，即 ........................................................................8分
（2）由（1）可得 的定义域为 ，且 ，则 ；
设切点坐标为 ，
所以切线斜率为 ，此时切线方程为 ，
又点 在切线上，即 ，
整理可得 ，即 ，
解得 或 （舍）；
当 时，切线方程为 ；
综上可得 过点 的切线方程为 ......................................................17分
19【详解】（1） ，令 ，则 ，
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令 ，则 ；由 ①，
当 时， ②，由① ②得，当 时， ，
所以数列 和数列 是等比数列.
因为 ，所以 ，
所以 ，因此 ，
从而 ，所以数列 是“ 型数列”.............................................................5分
（2）（i）因为数列 的各项均为正整数，且 为“G型数列”，
所以 ，所以 ，因此数列 递增.又 ，
所以 ，因此 递增，
所以公比 .又 不是“ 型数列”，所以存在 ，
使得 ，所以 ，又公比为正整数，
所以 ，又 ，所以 ，则 . ..................................................10分
（ii） ，
因为 ，所以 ，
所以 ，令 ，当 时， ，
当 时，
............................................................17分
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