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2026年吉林省通化市梅河口五中高考数学二模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若抛物线：的准线过点，则( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列满足，，则( )
A. B. C. D.
4.已知单位平面向量，满足，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数，设甲：，乙：曲线关于直线对称，则( )
A. 甲是乙的充分不必要条件 B. 甲是乙的必要不充分条件
C. 甲是乙的充要条件 D. 甲是乙的既不充分也不必要条件
6.已知等差数列的前项和为，，且，则使得的的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知直线：与圆相交于、不同两点，劣弧所对的圆心角为，若，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
8.椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点对两公共焦点，的张角为，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的是( )
A. 一个样本的平均数为，若添加一个新数据组成一个新样本，则新样本的平均数不变，方差变小
B. 在成对样本数据中，两个变量间的样本相关系数越小，则它们的线性相关程度越弱
C. 数据，，，，，，，，，，的极差为，则这组数据的第百分位数为
D. 依据小概率值的独立性检验推断两个分类变量与之间是否有关联，经计算得，则可以认为“与没有关联”
10.在中，角，，的对边分别为，，，外接圆的半径为，且，则下列结论正确的是( )
A.
B.
C. 面积的最大值为
D. 若，角的平分线交于点，则
11.定义在上的奇函数满足，当时，，则下列结论正确的有( )
A. 当时，
B. 的图象在处的切线方程为
C. 的图象与的图象所有交点的横坐标之和为
D. 的图象与直线恰有一个公共点，则实数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.暑期同学们相约到某体育馆参加社会实践活动，其中小李、小明等名同学被安排到，两个场馆，若每个场馆至少安排人，则小李、小明被安排在同一场馆的方法共 种用数字作答．
13.已知抛物线：的焦点为，直线过与相交于，两点，若点的坐标为，则为坐标原点的面积为 ．
14.已知直线：与曲线和都相切，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，求的面积的最大值．
16.本小题分
近几年来空气质量逐步转好，全民健身运动引起广泛关注某兴趣小组随机调查了某市天中每天的空气
质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表单位：天：
空气质量 锻炼人次
优良
轻度污染
中度污染
求空气质量优良的概率的估计值；
根据所给数据，完成下面的列联表：
空气质量 人次 人次 合计
优良
污染
合计
根据小概率值的独立性检验，能否认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
附：．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，．
求证：平面平面；
若，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，过点的直线与抛物线：的两个交点为，，为抛物线上异于，的一点，线，与直线：交于，两点．
；
，其中，，分别是直线，，的斜率；
，其中为抛物线的焦点．
请从中任选一个，证明其结果为定值．
若，求实数的值．
19.本小题分
定义：若存在，使得曲线在点和点处有相同的切线，则称切线为曲线的“自公切线”已知函数．
若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
证明：当时，曲线不存在“自公切线”；
若曲线有且只有两条“自公切线”，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.解：由题意得，
故，即．
由，所以，
得，故．
由知，
所以，所以，当且仅当时等号成立，
所以，故面积的最大值为．
16.由表格中数据可得空气质量优良的概率的估计值为：；
由题意补充列联表如下：
空气质量 人次 人次 合计
优良
污染
合计
零假设为：一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量无关．
经计算可得，
依据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即可以判定一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关．
17.证明：因为平面平面，平面平面，，且平面，
所以平面，又平面，所以平面平面；
解：以点为坐标原点，以，，过垂直于平面的直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系如图所示，
设，则，，
因为，所以，
所以，，
故，
过点作交于点，则，
因为，，所以，
又，所以，，
所以，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，故，
因为直线与平面所成角的正弦值为，
所以，
整理可得，即，
解得或，均符合题意，
故线段的长为或．
18.选，可设的方程为，与抛物线的方程联立，
可得，
则，，
，
因为，在抛物线上，可得，，
则为定值；
选，；
选，；
设，又，，
由，，三点共线，可得，
即为，
可得，
同理，，三点共线，可得，
因为，所以，
即，
代入，，化简可得恒成立，
可得．
19.解：当时，，．
因为函数在区间上单调递增，所以在上恒成立，
即，变形可得．
令，则．
令，即，因为，，所以，解得．
当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，．
因为恒成立，所以，解得．
因此，实数的取值范围是；
证明：当时，，．
假设存在“自公切线”，设切点分别为，，则切线斜率，
即，
同时，切线方程为，，
因为是同一条切线，所以．
由，可得，
代入中，化简后得到矛盾，
所以当时，曲线不存在“自公切线”．
因此，当时，曲线不存在“自公切线”．
解：因为，所以函数是偶函数，其图象关于轴对称．
当时，，函数在上单调递增，不存在“自公切线”，不符合题意．
当时，，令，则．
令，即，解得．
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，．
若，即，化简得，即，解得，
此时，函数在上单调递增，不存在“自公切线”，不符合题意．
若，即，化简得，即，解得．
因为，当时，，
所以存在，，使得，即，
又因为函数是偶函数，所以曲线有且只有两条“自公切线”．
因此，实数的取值范围是．
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