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2025-2026学年北京八十中高三（下）一模练习数学试卷（二）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，那么等于( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知，，则“”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.下列函数中，在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
5.设，分别是正方形的边，上的点，且，，如果为实数，那么的值为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知，直线，则点到直线的距离为( )
A. B. C. D.
7.设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足．若直线的斜率为，则( )
A. B. C. D.
8.一种细胞的分裂速度单位：个秒与其年龄单位：岁的关系可以用下面的分段函数来表示：其中，而且这种细胞从诞生到死亡，它的分裂速度变化是连续的若这种细胞岁和岁的分裂速度相等，则( )
参考数据：
A. B. C. D.
9.如图，有一个圆柱形状的玻璃水杯，底面圆的直径为，高为，杯内有深的溶液，现将水杯倾斜，且倾斜时点始终在桌面上，设直径所在直线与桌面所成的角为图要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，则角的最大值为( )
A. B. C. D.
10.地铁某换乘站设有编号为，，，，的五个安全出口若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下：
安全出口编号 ， ， ， ， ，
疏散乘客时间
则疏散乘客效率最高的一个安全出口的编号是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.二项式展开式中的常数项为 ．
12.在数列中，，，则______．
13.双曲线的渐近线为等边三角形的边，所在直线，直线过双曲线的焦点，且，则 ______．
14.已知函数的部分图象如图所示．
函数的最小正周期为 ；
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象若函数为奇函数，则的最小值是 ．
15.已知曲线：，给出下列四个结论：
曲线关于轴对称；
当时，曲线上任意一点到点的距离均不超过；
曲线与直线，围成图形的面积小于；
经过点且与平行的直线与曲线的所有交点的横、纵坐标均为有理数．
其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，已知，．
Ⅰ求证：是钝角；
Ⅱ请从下面三个条件中选择两个作为已知，使存在且唯一确定，并求的面积．
；
；
．
注：如果选择的条件不符合要求，第Ⅱ问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面，平面平面，点为线段的中点，，直线与平面所成的角为．
Ⅰ若点为线段的中点，求证：平面；
Ⅱ求二面角的余弦值；
Ⅲ求点到平面的距离．
18.本小题分
某工厂有两条生产线生产同一种产品，产品需要经过质量检测检测结果分为优质、合格和不合格三种从两条生产线上各随机抽取件产品，检测结果如下表．
优质 合格 不合格
甲生产线 件 件 件
乙生产线 件 件 件
假设各件产品的检测结果相互独立，用频率估计概率．
Ⅰ从甲生产线抽取的样本中随机取件，求这件产品均合格的概率；
Ⅱ从甲、乙两条生产线的产品中各随机抽取件，记这件产品的利润总和为元利润标准：优质元，合格元，不合格元求的分布列及数学期望；
Ⅲ工厂考虑对乙生产线进行技术改造，改造后，乙生产线生产的产品优质率可提高到，不合格率降为但改造需要一次性投入，会导致每件产品的生产成本增加元试判断改造后乙生产线产品的平均利润是否比改造前有所提高直接写出结论
19.本小题分
已知点为椭圆的右端点，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于、两点，直线、分别与轴交于、点．
Ⅰ求椭圆的标准方程；
Ⅱ试判断线段的中点是否为定点，若是，求出该点纵坐标，若不是，说明理由．
20.本小题分
已知函数，．
若，求函数的极值；
若时，，求的取值范围；
若函数有两个极大值点，，求的范围．
21.本小题分
已知数集，具有性质：对任意的，，，使得成立．
Ⅰ分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
Ⅱ求证；
Ⅲ若，求数集中所有元素的和的最小值．
参考答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.解：Ⅰ证明：因为，由正弦定理得．
又在中，，
所以，
所以，即，
又、，所以，，所以为钝角．
Ⅱ若选择，则，，，
由正弦定理得，则，
故B为直角，与角为钝角矛盾，故选不成立．
若选择，即，，，
由正弦定理得，解得．
由，，及为钝角，为锐角，得，，
所以，所以．
所以的面积．
若选择，即，，．
由为钝角，得．
由正弦定理，得，解得．
又为锐角，得，
所以．
所以的面积．
17.解：Ⅰ证明：取的中点，连接，，
因为，分别为，的中点，
所以，．
因为四边形是平行四边形，为线段的中点，
所以，，
所以，．
所以四边形为平行四边形，
所以．
因为面，面，
所以平面．
Ⅱ因为平面，所以即为直线与平面所成的角，
由题意可知：，又，所以，
因为平面，
所以，，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，因为平面，所以，
所以且，，两两垂直，
分别以，，所在直线为轴，轴，轴如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
则，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，则，即，
令，则，
则，则，即，
令，则，
则，
由图可知：二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．
Ⅲ因为
所以点到平面的距离．
18.解：设事件 ：“从甲生产线抽取的样本中随机取 件，这 件产品均合格”，则所求概率 ；
用频率估计概率，所以甲生产线和乙生产线取到优质品概率分别和，
由题易知，随机变量的所有可能取值为，，，，，
，
．
随机变量的分布列为：
；
改造后乙生产线产品的平均利润比改造前提高；
改造前平均利润 ，
改造后平均利润 ，
，所以改造后乙生产线产品的平均利润比改造前提高．
19.解：Ⅰ因为为椭圆的右端点，且椭圆的离心率为，
所以，，
又，
解得，，，
则椭圆的标准方程为；
Ⅱ设，，
因为直线经过且与椭圆交于两点，
所以直线的斜率一定存在，
设直线的方程为，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
因为直线的方程，
令，
解得，
即，
同理得
因为
．
则的中点为．
20.解：时，
，
令或舍去或舍去，


极大值
极大值为，函数无极小值；
法：因为，
所以关于对称，
所以时，等价于时，，
首先：由时，得，
其次：证明时，时，，
当时，在递增，，
当时，，
当，即时，
递增，
当，即时，
存在唯一使得，即，
，，递增：，，递减，
当，即时，
递减，
综上，最小值为，
因为；，
所以时，，
综上，的取值范围是；
法：令，，，
，
令，，
时，，等价于时，，
，，
当时，，，递增，
当时，存在唯一使得，
，，递增，，，递减，
当时，，在，上递减，其最小值为，
欲满足题意，需，即，
结合条件，此情况下的范围是，
综上时，，
因为；，
所以时，，当且仅当，，
综上，的取值范围是；
法：所以时，，所以，，
当时，，
，，
综上，的取值范围是；
当时，，
，只有一个极值点，
当时，，
令或，
若函数有两个极大值点，，
则在有两个不等实根，，
所以，且，


极大值 极小值 极大值
由表可知，函数的两个极大值点为，，极小值点为，
，，
，
，．
21.解：无法表示，数集不具有性质．
，，，，
数集具有性质．
集合具有性质：即对任意的，，使得成立，
又，，
，，
，，
，
即，，，，
累加得，
化简得．
最小值为．
首先注意到，根据性质，得到，
数集的元素都是整数，
构造或者，这两个集合具有性质，此时元素和为下面证明是最小的和．
假设数集，，满足最小，
第一步：首先说明集合，中至少有个元素：
由可知，，，，又，
，，，，，．
第二步：证明，，
若，设，
，为了使最小，
在集合中一定不含有元素，使得，从而；
若，根据性质，对，有，，使得，显然，，
此时集合中至少有个不同于，，的元素，从而，矛盾，
，且．
同理可证：．
至此，我们得到，，
根据性质，有，，使得，我们需要考虑如下几种情形：
，，此时集合，；
，，此时集合，；
，，此时集合中至少还需要一个大于的元素，才能得到元素，则；
，，此时集合中至少还需要一个大于等于的元素，才能得到元素，则．
综上所述，若，则数集中所有元素的和的最小值是．
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