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陕西西安市第八十五中学2025-2026学年度第二学期高三下学期大练习数学试题
一、单选题
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数模为，则的值为（ ）．
A．1 B． C．3 D．
3．已知随机变量，且，则当时，的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．已知、为椭圆的两个焦点，、为上关于坐标原点对称的两点，若四边形为矩形，则四边形的外接圆面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知直线，平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
6．已知向量，满足，，且，若向量，则等于（ ）
A． B．17 C．13 D．
7．已知函数的定义域是，其图象如图所示，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．31
二、多选题
9．已知双曲线的右焦点为F，直线是C的一条渐近线，P是l上一点，则（　　）
A．C的虚轴长为 B．C的离心率为
C．的最小值为2 D．直线PF的斜率不等于
10．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则的图象关于点中心对称
B．若曲线的图象向左移动个单位后关于轴对称，则的最小值为2
C．若，则在单调递增
D．若在上恰有三个零点，则
11．已知等比数列的前n项和为满足，数列满足，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．设，，则的最小值为12．
C．若对任意的恒成立，则
D．设若数列的前n项和为，则
三、填空题
12．在的展开式中，的系数为___________．（用数字作答）
13．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径⊙A的与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是______.（结果保留π）
14．曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数________．
四、解答题
15．记的内角，，的对边分别为，，.已知.
(1)求；
(2)若，，求的面积.
16． 2026年央视马年春晚节目《武BOT》将传统武术与现代科技完美融合，“人机共武”完成了棍术攻防、醉拳互动、双节棍对练及极限空翻等高难度表演动作，不仅展示了我国人工智能技术的飞速发展，也体现了科技赋能传统文化的实践创新，其中高空弹射空翻转体完成后，稳准落地让人震撼.研究人员将机器人极限空翻动作划分为空翻转体和稳准落地两个环节，在空翻转体环节中，每个机器人完成空翻转体的概率均为0.9；在落地环节，机器人的表现存在差异：若空翻转体完成，则稳准落地的概率为0.8；若空翻转体未完成，则稳准落地的概率为0.1.在极限空翻这个表演中，假设每个机器人完成动作互不影响.
(1)如果随机抽取3个机器人，记为完成空翻转体的机器人人数，求的分布列及数学期望；
(2)如果随机抽取一个机器人，已知其稳准落地，求其空翻转体完成的概率.
17．如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面平面，，为的中点，点为线段上的动点．
(1)求证：平面平面；
(2)记平面与平面的夹角为，求的取值范围．
18．设函数， ．
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数有两个零点，求实数取值范围；
(3)若对任意的， 恒成立，求实数的取值范围．
19．已知抛物线的焦点为，点在上，.
(1)求的方程；
(2)设，直线过焦点，与交于，两点，直线，分别交于另两点，.
①求的面积的最小值；
②试判断直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.
参考答案
1．A
2．B
3．C
4．B
5．D
6．D
7．B
8．B
9．AD
10．ABD
11．CD
12．
13．
14．
15．（1）因为，故.
由正弦定理有，即.
故由余弦定理有，.
所以.
（2）由余弦定理有，又，，，
故，解得或（舍去）.
故的面积为.
16．（1）由题意可知：，则有：
；
；
；
；
则的分布列为：
0 1 2 3
0.001 0.027 0.243 0.729
数学期望为.
（2）设事件为“一个机器人空翻转体完成”，事件为“一个机器人稳准落地”.
则，，，，
由全概率公式可得：，
所以.
17．（1）因为，为的中点，所以，
又平面平面，是交线，平面，
所以平面，因为平面，所以,
又平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）以为坐标原点，分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
设，
则，
设平面的法向量，则，
令，可得，
设平面的法向量，则，
令，可得，
则，
所以，当时，，即
当时，，由可得，
所以，
综上，可知，即的取值范围为.
18．（1）因为
所以当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
所以当时，取得极小值，无极大值.
（2）由题可得，
令，得．
设，则．
所以当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减；
所以的最大值为，又，，可知：
当时，函数有2个零点，
即实数取值范围为.
（3）原命题等价于恒成立，
令，
则等价于在上单调递减，在恒成立,
所以恒成立，又，
所以，
即的取值范围是．
19．（1）抛物线的准线方程为，
因为点在上且，所以，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）①由（1）知，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不符合题意.
设直线的方程为，设.
联立得，，
因此，.
又，所以，
故当时，的面积最小，且最小值为；
②由题意直线也不与轴重合，设、，
设直线的方程为，联立得，
则，因此，，则，同理可得.
所以.
因此直线的方程为，
由对称性知，定点在轴上，
令得，
，
所以直线过定点.

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