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四川省德阳市2025-2026学年高三第二次诊断考试数学试卷
1．已知集合，若，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，若，则.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集运算求参数范围即可.
2．当时，复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：整理可得，
则复数在复平面内对应的点为，
因为，所以，，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】先整理可得，再根据复数在复平面内的表示求得复数在复平面内对应的点，再根据，确定点的位置，即可得正确答案.
3．已知向量，，若，则（　　）
A．0或 B．0 C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
若，则，整理为：，解得或.
故答案为：A.
【分析】根据向量平行的坐标表示列式求解即可.
4．若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则圆心到两直线的距离相等，
易知圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为：，
圆心到直线的距离为：，
则，即，因为，所以，所以.
故答案为：A.
【分析】易知两直线平行，圆的圆心和半径，由题意可知圆心到两直线的距离相等，利用点到直线的距离公式列等量关系求解即可.
5．若，则＝（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，可得 ，解得
，
因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】整理原式求得，再根据平方差公式，结合同角三角函数基本关系化简可得，代入求值即可.
6．某知识过关题库中有三种难度的题目数分别为，其中小明完成型题目的正确率分别为，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式
【解析】【解答】解：设小明选道类试题为事件，
小明选道类试题为事件，小明选道类试题为事件，
设小明答对试题为事件，则，
，，
，，，
故.
故答案为：C.
【分析】先记事件，设小明答对试题为事件，利用全概率公式求解即可.
7．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：易知，，，
因为，
所以，
令定义域为，则，
，
令，
因为，所以，
即对于任意的，恒有，即
所以在上单调递增，所以.
故答案为：A.
【分析】易知，，，原式变形为，令，求导，利用判断函数的单调性，利用单调性求解即可.
8．过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，若两条切线斜率之积为1，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
则，，
由题意两条切线的方程分别为，，
联立两条切线的方程，
解得，
，
因为两条切线的斜率之积为，所以，解得，
可得，
，
则
，
令，则可化为，
，当且仅当，即时取得最小值，
因为，且，所以，即不成立，
则的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，求导，利用导数的几何意义，结合点斜式表示出切线方程，联立切线方程，求出、，再由两条切线的斜率之积为得到，即可用的式子表示、，代入化简可得，最后利用基本不等式求解即可.
9．下列命题中正确的是（　　）
A．若，则向量与的夹角为钝角
B．若，则向量在向量方向上的投影向量为
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．若为的外心，，则为的垂心
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数乘的运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、若，则向量与的夹角为钝角或平角，故A错误；
B、易知，向量在向量方向上的投影向量为，故B正确；
C、将两边平方，化简得，则，即向量夹角的范围得夹角为，故C正确；
D、因为为的外心，，
则，
所以，
所以，同理可得，故为的垂心，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据向量夹角公式，结合向量数量积的定义即可判断A；根据投影向量的定义求解即可判断B；将原式两边平方，结合夹角公式求解即可判断C；根据向量的线性运算，结合数量积求得，同理，推出为的垂心，即可判断D.
10．设函数，且记，则（ ）
A．数列的首项为1 B．数列的前10项和为512
C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0
【答案】B,D
【知识点】数列的求和；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：设函数，且记，
A、令，则，故A错误；
数列的前10项和等于，即展开式中所有项的系数之和，
令，则，故B正确；
数列的前10项和等于，
令，则，而，
则数列的前10项和为，故C错误；
数列的前10项和等于，
令，则，
因为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用赋值法逐项求解判断即可.
11．已知关于x的方程：有两个根，则下列说法正确的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】函数的图象；对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为方程有两个根，
所以，
又因为，，
所以函数与函数图象在上有两个交点，
而，
由此可作出的大致图象，如图所示：
由图可知：，故A正确；
根据图象可知当m逐渐增大时，，而将会大于1，此时，
可得不成立，故B不正确；
因为，则，
所以，
则，
因为，，所以，故C正确；
因为，则，
所以，
则，
两边取对数得.
因为，
令，
令，
，，
因为，，单调递增，
即得，即，
所以，即，故D正确.
【分析】易知函数与函数图象在上有两个交点，作出的大致图象，数形结合求解即可判断AB；根据满足的方程变形求解即可判断C；分析满足的方程，结合构造函数，利用函数单调性即可判断D.
12．已知随机变量X服从正态分布，若，则　 　
【答案】2
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由，可得，
结合正态分布的对称性知，，
则，即.
故答案为：2.
【分析】根据正态分布的曲线特点求解即可.
13．已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离是　 　
【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：设，
则到直线的距离为：，
当时，距离取得最小值，最小值为.
故答案为：.
【分析】设点，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求解即可.
14．被称为欧拉公式.我们运用欧拉公式，可以推导出倍角公式.如：.类比方法，我们可以得到＝　 　（用含有的式子表示）．
【答案】
【知识点】复数相等的充要条件；同角三角函数间的基本关系；二项展开式
【解析】【解答】解：，
根据二项式定理展开可得：
，
根据复数相等的条件可知，，
因为，
所以.
【分析】由倍角公式可得，根据二项式定理展开，结合复数相等的条件以及，整理求解即可.
15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积．
（1）求角B的大小；
（2）若时，求△ABC面积的最大值．
【答案】（1）解：在中，，因为，所以，
则，由余弦定理得，则；
（2）解：由（1）知，，，由，可得，
即，当且仅当时取等号，
则的面积，当时，面积取得最大值.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式，结合余弦定理求解即可；
（2）由（1）的结论，结合基本不等式求出的最大值，即可得面积的最大值.
（1）在中，，而，即，
，由余弦定理得，
所以.
（2）由（1）知，，，而，于是，
即，当且仅当时取等号，
因此的面积，
所以当时，面积取得最大值.
16．如图，在平行六面体中，E在线段上，且F，G分别为线段，的中点，且底面为正方形.
（1）求证：平面平面
（2）若与底面不垂直，直线与平面所成角为且求点 A 到平面的距离.
【答案】（1）证明：因为，为中点，
所以，，即，
因为是正方形，所以，
因为分别是的中点，所以，所以，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：以为坐标原点，过作与平面垂直的直线为轴，以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
如图所示：
易知，设，
则，，，
设平面的法向量为，则，令，则，可得，
又因为，所以，
设直线与平面所成角为，则，解得，，
点到平面的距离为，则点到平面的距离为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用线面垂直的判定定理先证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明平面平面即可；
（2）以为坐标原点，过作与平面垂直的直线为轴，以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）因为，为中点，
所以，，即，
因为是正方形，所以，
因为分别是的中点，所以，所以，
又，平面，
平面，又平面，
平面平面.
（2）以为坐标原点，过作与平面垂直的直线为轴，以的方向为轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，
则，设，
则，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以，又，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
解得或（舍），，
所以点到平面的距离为，则点到平面的距离为.
17．东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立．
（1）从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差；
（2）东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）．
①求，；
②求．
【答案】（1）解：由题意可知：，
则，，
，，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
，；
（2）解：①因为每位游客选择东门入园的概率是，则选择其他门入园的概率是，
若人气值为1点，则仅有1人入园且选择其他门入园，所以；
若人气值为2点，则仅有1人且选择东门入园，或仅有2人入园且均选择其他门入园，则；
②若人气值为点，可知在人气值为点的前提下仅有1人且选择东门入园，或在人气值为点的前提下仅有1人且选择其他门入园，
则，可得，
且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，
则，
当时，则
，
且符合上式，故.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求X的分布列，再求均值和方差即可；
（2）①、利用独立事件概率的乘法公式求解即可；
②、由题意，分析可得，结合等比数列的概念，构造法和累加法求.
（1）由题意可知：，
则，，
，，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以X的均值，且方差.
（2）①因为每位游客选择东门入园的概率是，则选择其他门入园的概率是，
若人气值为1点，则仅有1人入园且选择其他门入园，所以；
若人气值为2点，则仅有1人且选择东门入园，或仅有2人入园且均选择其他门入园，
所以；
②若人气值为点，可知在人气值为点的前提下仅有1人且选择东门入园，或在人气值为点的前提下仅有1人且选择其他门入园，
则，可得，
且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，
则，
当时，则
，
且符合上式，所以.
18．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左、右顶点分别为，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求面积的最大值；
（3）若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为，是否存在常数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：易知，
设，由题意可得，化简可得，，
则，解得，
故椭圆的标准方程为；
（2）解：由（1）可知椭圆的右焦点坐标为，设直线方程为，，
联立，代入可得，
由韦达定理可知，
则，
而，
代入可得，
根据点到直线距离公式，
则，
令则，所以，
函数在上单调递增，当，即时，，
则的面积最大，最大值为；
（3）解：假设存在使得，分别求出，
因为在直线上，所以，
故，
化简可得，
由（2）知，
则，所以可得，
整理化简可得，
要对任意的都成立，需系数满足，解得，
故存在，使得.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）易知的值，设，代入椭圆方程可得，再利用斜率公式分别表示出，根据求出，即可得椭圆标准方程；
（2）由（1）可知椭圆的右焦点坐标为，设直线方程为，，联立直线和椭圆方程，消元整理可得，由韦达定理可得的值，求出，再由点到直线距离公式求出左顶点到直线距离，求的面积，利用换元法，结合函数的单调性求最大值即可；
（3）假设存在使得，分别表示出，再根据，代入到，由（2）韦达定理可知的值，代入到上式，再根据对任意的都成立，可求出值.
（1）由椭圆的左右顶点可知，
设，则，
化简可得，则，
，
所以，则椭圆的标准方程为；
（2）由（1）可知椭圆的右焦点坐标为，设直线方程为，
，将直线和椭圆方程联立，
代入可得，
由韦达定理可知，
则，
而，
代入可得，
根据点到直线距离公式，
所以，
令则，所以，
函数在上单调递增，
所以即时，，
此时的面积最大，最大值为；
（3）假设存在使得，分别求出，
因为在直线上，
所以，
故，
化简可得，
由（2）知，
则，所以可得，
整理化简可得，
要对任意的都成立，需系数满足，
解得，故存在，使得.
19．已知，函数（），记为的从小到大的第（）个零点．
（1）当时，求；
（2）若
证明：（i）数列是等比数列；
（ii）若，则对一切恒成立．
【答案】（1）解：当时，函数，
令，则，解得，
因为为的从小到大的第（）个零点，所以；
（2）证明：（i）由，得，则，其中，
，则，
，
因为，，所以数列是等比数列；
（ii）欲证，即证，
，且，
则只需证，又，
则只需证，即证，
令函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
因此，于是当时，成立；
当时，，，又，则，
于是，即，
则当时，，即成立；
当时，，，，成立，
所以当，则对一切，恒成立.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）当时，利用辅助角公式化简函数，再根据正弦函数的性质求零点即可；
（2）（i）由，求出的表达式，再根据等比数列的定义证明即可；
（ii）欲证，即证，由（i）结论，利用分析法证明，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最小值，转化证即可.
（1）当时，，
令，则，解得，
因为为的从小到大的第（）个零点，所以；
（2）（i）由，得，则，其中，
，所以，
，又，
因此，所以数列是等比数列；
（ii）欲证，即证，
，且，
则只需证，又，
则只需证，即证，
令函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
因此，于是当时，成立；
当时，，，又，则，
于是，即，
则当时，，即成立；
当时，，，，成立，
所以当，则对一切，恒成立.
1 / 1四川省德阳市2025-2026学年高三第二次诊断考试数学试卷
1．已知集合，若，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．当时，复数在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量，，若，则（　　）
A．0或 B．0 C． D．
4．若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（　　）
A．0 B．1 C．2 D．4
5．若，则＝（　　）
A． B． C． D．
6．某知识过关题库中有三种难度的题目数分别为，其中小明完成型题目的正确率分别为，小明从该题库中任选一道题完成，做对的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．若，则（　　）
A． B． C． D．
8．过点作曲线的两条切线，记两切点分别为，若两条切线斜率之积为1，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．下列命题中正确的是（　　）
A．若，则向量与的夹角为钝角
B．若，则向量在向量方向上的投影向量为
C．两个非零向量，若，则与共线且反向
D．若为的外心，，则为的垂心
10．设函数，且记，则（ ）
A．数列的首项为1 B．数列的前10项和为512
C．数列的前10项和为 D．数列的前10项和为0
11．已知关于x的方程：有两个根，则下列说法正确的有（　　）
A． B．
C． D．
12．已知随机变量X服从正态分布，若，则　 　
13．已知点是抛物线上一点，则点到直线的最短距离是　 　
14．被称为欧拉公式.我们运用欧拉公式，可以推导出倍角公式.如：.类比方法，我们可以得到＝　 　（用含有的式子表示）．
15．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积．
（1）求角B的大小；
（2）若时，求△ABC面积的最大值．
16．如图，在平行六面体中，E在线段上，且F，G分别为线段，的中点，且底面为正方形.
（1）求证：平面平面
（2）若与底面不垂直，直线与平面所成角为且求点 A 到平面的距离.
17．东湖山公园位于四川省德阳市，是一处集山水园林为一体的生态公园．公园总面积超过80公顷，六分为山，四分为水，山水相抱，岸势蜿蜒，景色迷人．公园内设有小桥流水、亭榭楼坊、热带沙滩、体育中心、雕塑、栈道等景观，以及丹井流霞、竹林夜雨、曲桥风荷、静心园、樱花岛等景点，使游人感到典雅、古朴、和谐自然．她以其独特的自然风光和丰富的文化内涵，成为了德阳市民和游客喜爱的休闲胜地．出入东湖山公园有三道门供游客自由选择，分别是东门、西门、南门，若每位游客选择东门入园的概率是，游客之间选择意愿相互独立．
（1）从游客中随机选取3人，记3人中选择东门入园的人数为X，求X的分布列、均值和方差；
（2）东湖山公园管理处计划在2026年中秋节当天，在月上东山处设立一个中秋节人气值显示屏，初始值为0，从东门进入一名游客，增加人气值2点，其它门进入一名游客，增加人气值1点，记当日人气值显示屏上曾经出现数值n的概率为（不考虑人流量有限的限制）．
①求，；
②求．
18．在平面直角坐标系中，已知椭圆C：的左、右顶点分别为，F为椭圆C的右焦点，P为椭圆C上不同于A、B的动点，若，直线PF与椭圆C的另一个交点为Q．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）求面积的最大值；
（3）若P在x轴的上方，设直线AP、BQ的斜率分别为，是否存在常数，使得成立？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
19．已知，函数（），记为的从小到大的第（）个零点．
（1）当时，求；
（2）若
证明：（i）数列是等比数列；
（ii）若，则对一切恒成立．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算
【解析】【解答】解：集合，若，则.
故答案为：C.
【分析】根据集合的交集运算求参数范围即可.
2．【答案】B
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：整理可得，
则复数在复平面内对应的点为，
因为，所以，，所以复数在复平面内对应的点位于第二象限.
故答案为：B.
【分析】先整理可得，再根据复数在复平面内的表示求得复数在复平面内对应的点，再根据，确定点的位置，即可得正确答案.
3．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
若，则，整理为：，解得或.
故答案为：A.
【分析】根据向量平行的坐标表示列式求解即可.
4．【答案】A
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则圆心到两直线的距离相等，
易知圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为：，
圆心到直线的距离为：，
则，即，因为，所以，所以.
故答案为：A.
【分析】易知两直线平行，圆的圆心和半径，由题意可知圆心到两直线的距离相等，利用点到直线的距离公式列等量关系求解即可.
5．【答案】C
【知识点】同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：由，可得 ，解得
，
因为，
所以.
故答案为：C.
【分析】整理原式求得，再根据平方差公式，结合同角三角函数基本关系化简可得，代入求值即可.
6．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；全概率公式
【解析】【解答】解：设小明选道类试题为事件，
小明选道类试题为事件，小明选道类试题为事件，
设小明答对试题为事件，则，
，，
，，，
故.
故答案为：C.
【分析】先记事件，设小明答对试题为事件，利用全概率公式求解即可.
7．【答案】A
【知识点】对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：易知，，，
因为，
所以，
令定义域为，则，
，
令，
因为，所以，
即对于任意的，恒有，即
所以在上单调递增，所以.
故答案为：A.
【分析】易知，，，原式变形为，令，求导，利用判断函数的单调性，利用单调性求解即可.
8．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；简单复合函数求导法则；利用导数研究曲线上某点切线方程；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：函数的定义域为，，
则，，
由题意两条切线的方程分别为，，
联立两条切线的方程，
解得，
，
因为两条切线的斜率之积为，所以，解得，
可得，
，
则
，
令，则可化为，
，当且仅当，即时取得最小值，
因为，且，所以，即不成立，
则的取值范围是.
故答案为：D.
【分析】求函数的定义域，求导，利用导数的几何意义，结合点斜式表示出切线方程，联立切线方程，求出、，再由两条切线的斜率之积为得到，即可用的式子表示、，代入化简可得，最后利用基本不等式求解即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数乘的运算；数量积表示两个向量的夹角；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：A、若，则向量与的夹角为钝角或平角，故A错误；
B、易知，向量在向量方向上的投影向量为，故B正确；
C、将两边平方，化简得，则，即向量夹角的范围得夹角为，故C正确；
D、因为为的外心，，
则，
所以，
所以，同理可得，故为的垂心，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据向量夹角公式，结合向量数量积的定义即可判断A；根据投影向量的定义求解即可判断B；将原式两边平方，结合夹角公式求解即可判断C；根据向量的线性运算，结合数量积求得，同理，推出为的垂心，即可判断D.
10．【答案】B,D
【知识点】数列的求和；二项式系数的性质；二项式系数
【解析】【解答】解：设函数，且记，
A、令，则，故A错误；
数列的前10项和等于，即展开式中所有项的系数之和，
令，则，故B正确；
数列的前10项和等于，
令，则，而，
则数列的前10项和为，故C错误；
数列的前10项和等于，
令，则，
因为，故D正确.
故答案为：BD.
【分析】利用赋值法逐项求解判断即可.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的图象；对数的性质与运算法则；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为方程有两个根，
所以，
又因为，，
所以函数与函数图象在上有两个交点，
而，
由此可作出的大致图象，如图所示：
由图可知：，故A正确；
根据图象可知当m逐渐增大时，，而将会大于1，此时，
可得不成立，故B不正确；
因为，则，
所以，
则，
因为，，所以，故C正确；
因为，则，
所以，
则，
两边取对数得.
因为，
令，
令，
，，
因为，，单调递增，
即得，即，
所以，即，故D正确.
【分析】易知函数与函数图象在上有两个交点，作出的大致图象，数形结合求解即可判断AB；根据满足的方程变形求解即可判断C；分析满足的方程，结合构造函数，利用函数单调性即可判断D.
12．【答案】2
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由，可得，
结合正态分布的对称性知，，
则，即.
故答案为：2.
【分析】根据正态分布的曲线特点求解即可.
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：设，
则到直线的距离为：，
当时，距离取得最小值，最小值为.
故答案为：.
【分析】设点，利用点到直线的距离公式，结合二次函数的性质求解即可.
14．【答案】
【知识点】复数相等的充要条件；同角三角函数间的基本关系；二项展开式
【解析】【解答】解：，
根据二项式定理展开可得：
，
根据复数相等的条件可知，，
因为，
所以.
【分析】由倍角公式可得，根据二项式定理展开，结合复数相等的条件以及，整理求解即可.
15．【答案】（1）解：在中，，因为，所以，
则，由余弦定理得，则；
（2）解：由（1）知，，，由，可得，
即，当且仅当时取等号，
则的面积，当时，面积取得最大值.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用三角形面积公式，结合余弦定理求解即可；
（2）由（1）的结论，结合基本不等式求出的最大值，即可得面积的最大值.
（1）在中，，而，即，
，由余弦定理得，
所以.
（2）由（1）知，，，而，于是，
即，当且仅当时取等号，
因此的面积，
所以当时，面积取得最大值.
16．【答案】（1）证明：因为，为中点，
所以，，即，
因为是正方形，所以，
因为分别是的中点，所以，所以，
又因为，平面，所以平面，
又因为平面，所以平面平面；
（2）解：以为坐标原点，过作与平面垂直的直线为轴，以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
如图所示：
易知，设，
则，，，
设平面的法向量为，则，令，则，可得，
又因为，所以，
设直线与平面所成角为，则，解得，，
点到平面的距离为，则点到平面的距离为.
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；点、线、面间的距离计算
【解析】【分析】（1）由题意，利用线面垂直的判定定理先证明平面，再根据面面垂直的判定定理证明平面平面即可；
（2）以为坐标原点，过作与平面垂直的直线为轴，以的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可.
（1）因为，为中点，
所以，，即，
因为是正方形，所以，
因为分别是的中点，所以，所以，
又，平面，
平面，又平面，
平面平面.
（2）以为坐标原点，过作与平面垂直的直线为轴，以的方向为轴的正方向，建立如图空间直角坐标系，
则，设，
则，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以，又，所以，
设直线与平面所成角为，
则，
解得或（舍），，
所以点到平面的距离为，则点到平面的距离为.
17．【答案】（1）解：由题意可知：，
则，，
，，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
，；
（2）解：①因为每位游客选择东门入园的概率是，则选择其他门入园的概率是，
若人气值为1点，则仅有1人入园且选择其他门入园，所以；
若人气值为2点，则仅有1人且选择东门入园，或仅有2人入园且均选择其他门入园，则；
②若人气值为点，可知在人气值为点的前提下仅有1人且选择东门入园，或在人气值为点的前提下仅有1人且选择其他门入园，
则，可得，
且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，
则，
当时，则
，
且符合上式，故.
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）由题意可知，利用二项分布求X的分布列，再求均值和方差即可；
（2）①、利用独立事件概率的乘法公式求解即可；
②、由题意，分析可得，结合等比数列的概念，构造法和累加法求.
（1）由题意可知：，
则，，
，，
则X的分布列为
X 0 1 2 3
P
所以X的均值，且方差.
（2）①因为每位游客选择东门入园的概率是，则选择其他门入园的概率是，
若人气值为1点，则仅有1人入园且选择其他门入园，所以；
若人气值为2点，则仅有1人且选择东门入园，或仅有2人入园且均选择其他门入园，
所以；
②若人气值为点，可知在人气值为点的前提下仅有1人且选择东门入园，或在人气值为点的前提下仅有1人且选择其他门入园，
则，可得，
且，可知数列是以首项为，公比为的等比数列，
则，
当时，则
，
且符合上式，所以.
18．【答案】（1）解：易知，
设，由题意可得，化简可得，，
则，解得，
故椭圆的标准方程为；
（2）解：由（1）可知椭圆的右焦点坐标为，设直线方程为，，
联立，代入可得，
由韦达定理可知，
则，
而，
代入可得，
根据点到直线距离公式，
则，
令则，所以，
函数在上单调递增，当，即时，，
则的面积最大，最大值为；
（3）解：假设存在使得，分别求出，
因为在直线上，所以，
故，
化简可得，
由（2）知，
则，所以可得，
整理化简可得，
要对任意的都成立，需系数满足，解得，
故存在，使得.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）易知的值，设，代入椭圆方程可得，再利用斜率公式分别表示出，根据求出，即可得椭圆标准方程；
（2）由（1）可知椭圆的右焦点坐标为，设直线方程为，，联立直线和椭圆方程，消元整理可得，由韦达定理可得的值，求出，再由点到直线距离公式求出左顶点到直线距离，求的面积，利用换元法，结合函数的单调性求最大值即可；
（3）假设存在使得，分别表示出，再根据，代入到，由（2）韦达定理可知的值，代入到上式，再根据对任意的都成立，可求出值.
（1）由椭圆的左右顶点可知，
设，则，
化简可得，则，
，
所以，则椭圆的标准方程为；
（2）由（1）可知椭圆的右焦点坐标为，设直线方程为，
，将直线和椭圆方程联立，
代入可得，
由韦达定理可知，
则，
而，
代入可得，
根据点到直线距离公式，
所以，
令则，所以，
函数在上单调递增，
所以即时，，
此时的面积最大，最大值为；
（3）假设存在使得，分别求出，
因为在直线上，
所以，
故，
化简可得，
由（2）知，
则，所以可得，
整理化简可得，
要对任意的都成立，需系数满足，
解得，故存在，使得.
19．【答案】（1）解：当时，函数，
令，则，解得，
因为为的从小到大的第（）个零点，所以；
（2）证明：（i）由，得，则，其中，
，则，
，
因为，，所以数列是等比数列；
（ii）欲证，即证，
，且，
则只需证，又，
则只需证，即证，
令函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
因此，于是当时，成立；
当时，，，又，则，
于是，即，
则当时，，即成立；
当时，，，，成立，
所以当，则对一切，恒成立.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）当时，利用辅助角公式化简函数，再根据正弦函数的性质求零点即可；
（2）（i）由，求出的表达式，再根据等比数列的定义证明即可；
（ii）欲证，即证，由（i）结论，利用分析法证明，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求最小值，转化证即可.
（1）当时，，
令，则，解得，
因为为的从小到大的第（）个零点，所以；
（2）（i）由，得，则，其中，
，所以，
，又，
因此，所以数列是等比数列；
（ii）欲证，即证，
，且，
则只需证，又，
则只需证，即证，
令函数，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
因此，于是当时，成立；
当时，，，又，则，
于是，即，
则当时，，即成立；
当时，，，，成立，
所以当，则对一切，恒成立.
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