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2026年高考全国Ⅱ卷数学模拟卷（二）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
适用地区：山西、重庆、云南、贵州、广西、辽宁、吉林、甘肃、黑龙江、海南、新疆.
难度系数：0.59（计算公式：0.85×5 + 0.80×5 + 0.80×5 + 0.75×5 + 0.65×5 + 0.60×5 + 0.55×5 + 0.50×5 + 0.60×6 + 0.55×6 + 0.45×6 + 0.75×5 + 0.60×5 + 0.45×5 + 0.65×13 + 0.60×15 + 0.55×15 + 0.45×17 + 0.40×17 = 88.4 ÷ 150 ≈ 0.59）.
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·重庆·二诊） 已知集合 ，，若 ，则 （ 　　）
A. 2
B. 1
C. 0
D. 1
答案速览：B
详解：由 得 .因为 ，所以必有 ，即 .
易错警示：常见错误：忽略集合元素的互异性或对包含关系判断错误，可能误选C.防错方法：验证 时 ，.
规律总结：通法：利用集合的包含关系转化为参数方程求解.技巧：直接代入验证，结合选项进行排除.
2.（2026·新疆·四月适应性检测） 若复数 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
答案速览：B
详解：首先计算 .则 .模长 .
易错警示：常见错误：i的幂次计算错误，导致虚部符号出错.防错方法：利用 降次，.
规律总结：通法：利用复数代数形式的乘除运算法则化简，再套用模长公式.技巧：熟记 .
3.（2026·山西卓越联盟·质量检测） 已知向量 ，，若 ，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
答案速览：A
详解：由 得 ，解得 .则 .模长 .
易错警示：常见错误：向量数量积坐标公式计算错误（如写成 ），或模长计算错误.防错方法：严格按 公式代入.
规律总结：通法：利用垂直关系求参数，再求向量和的模.技巧：先解方程，再代入坐标.
4.（2026·辽宁沈阳·二模） 已知函数 （，，）的图象满足以下特征：图象经过点 ，并且在 轴右侧的第一个零点为 ，第一个最低点为 .则下列有关函数 及其性质的描述正确的是（ 　　）
A.
B. 为函数 图象的对称轴
C. 将 的图象向右平移 个单位长度后，将得到一个偶函数的图象
D. 函数 的单调递减区间为
答案速览：C
详解：由第一个最低点 得 .由第一个零点 和最低点横坐标差为 ，即 周期，故 ，得 .图象过 得 ，又 ，故 或 .由第一个零点 ，解得 .因此 .A错误，.B错误，对称轴由 解得 .C正确，向右平移 得 ，是偶函数.D错误，单调递减区间计算错误.
易错警示：常见错误：五点法对应错误，误认为第一个零点是第一个点导致 求错.防错方法：严格按照图象特征，明确零点、最低点对应相位.
规律总结：通法：通过五点法求 ，结合平移变换和诱导公式判断奇偶性.技巧：观察零点与极值点距离确定周期.
5.（2026·新疆·四月适应性检测） 如图，点 为正方形ABCD的中心， 为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（ 　　）
A. ，且直线BM，EN是相交直线
B. ，且直线BM，EN是相交直线
C. ，且直线BM，EN是异面直线
D. ，且直线BM，EN是异面直线
答案速览：B
详解：取CD中点O，连接ON，BM.依题意 ，平面ECD⊥平面ABCD，则 平面ABCD，.M为ED中点，在中，BM为中线.计算得BM≠EN.连接MC，因M，E均在平面CDE内，可判断BM与EN相交.
易错警示：常见错误：直接目测选A或D.防错方法：利用空间中线面垂直和数量关系严格计算线段长.
规律总结：通法：利用中位线、勾股定理计算长度，利用公理判断两直线是否共面.技巧：将几何体放在坐标系中定量分析.
6.（2026·重庆万州一中·模拟） 在数列 中，已知 ，若 ，，则 （ 　　）
A.
B.
C.
D.
答案速览：A
详解：由已知等式得数列 为等差数列.设公差为 ，则 .因此 ，所以 .
易错警示：常见错误：未发现数列倒数成等差，或计算公差时出错.防错方法：看到分式线性递推考虑取倒数.
规律总结：通法：形如 等价于 是等差数列.技巧：利用等差中项性质快速判断.
7.（2026·辽宁鞍山·二模） 已知 ，，则下列结论不可能成立的是（ 　　）
A.
B.
C.
D.
答案速览：B
详解：由已知，.由 .故两式均等于 .因此 .得 ，.联立消 得 ，即 .取 得 ； 得 ； 得 .若 ，无整数k满足，故C可能成立，B不可能成立.
易错警示：常见错误：不熟悉三角恒等式，无法化简两式.防错方法：熟记 .
规律总结：通法：利用三角恒等式统一形式，结合正切函数周期性求解不定方程.技巧：利用 建立关系.
8.（2026·山西T8联盟·联考） 设 分别是双曲线 的左、右焦点， 是该双曲线右支上一点， 的平分线交 轴于点 ，令 ，若 ，则双曲线 的离心率为（ 　　）
A.
B.
C.
D.
答案速览：D
详解：
解法一（几何法）： 由角平分线性质，.设 ，由双曲线定义得 ，即 .在 中，由正弦定理和给定条件 ，结合 （），可推出 ，进而得几何关系，由余弦定理或平面几何推得 .
解法二（解析法结合正弦定理）： 利用 可得 关系，进一步得三角形内角关系，再利用焦半径公式结合坐标，解出离心率.
易错警示：常见错误：角平分线定理应用错误（边与对应线段比例搞反），或三角恒等变换未求出具体角.防错方法：画图明确各线段关系，利用三角形内角互补简化.
规律总结：通法：离心率问题多结合定义、几何性质（角平分线、正弦余弦定理）建立关于 的方程.技巧：遇到复杂角关系，可尝试用内角和转化，寻找特殊角.
一题多解：
对比： 解法一更侧重几何性质与定义，计算量较小；解法二思路直接但代数运算稍繁琐.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·山西卓越联盟·质量检测） 春节期间，某市10个景点游客综合满意度评分分别为90，92，95，96，98，95，95，95，93，95，则（ 　　）
A. 该组数据的平均数为94
B. 该组数据的众数与中位数相同
C. 该组数据的极差为8
D. 该组数据的方差为4.44
答案速览：BCD
详解：数据排序：90, 92, 93, 95, 95, 95, 95, 95, 96, 98.平均数为 ，A错误.众数为95，中位数为95，B正确.极差为 ，C正确.方差计算得4.44，D正确.
易错警示：常见错误：中位数与平均数概念混淆，方差公式记忆错误.防错方法：计算平均数时注意权重，计算方差时除以数据个数n.
规律总结：通法：直接按照统计量定义逐一计算并比对.技巧：利用选项之间相互印证，如极差易算可先判断C.
10.（2026·山西大学附中·阶段检测） 记函数 ，则（ 　　）
A. 的一个周期为
B. 函数 在 上单调递减
C. 函数 的图象关于 对称
D. 函数 的值域为 $\left[2\sqrt{2} 2, +\infty)\right$
答案速览：ABD
详解：.利用换元或求导分析，可得周期为 ，且在 上单调递减，值域为 .关于 对称性不成立.
易错警示：常见错误：通分化简出错，未考虑定义域导致值域或单调区间判断错误.防错方法：注意 ，即 .
规律总结：通法：利用三角函数周期性、单调性和导数研究复杂三角函数的性质.技巧：令 将函数转化为有理函数研究.
11.（2026·东北三省·二模） 曲线 ：（）是优美的封闭曲线，其围成的面积记为 ， 是 与 轴正半轴的交点，过原点 的直线交 于点 ，则（ 　　）
A.
B.
C. 当 时， 的最大值是
D. 当 时，
答案速览：ACD
详解：分别作出 和 时的图像，利用面积关系可比较 ，A正确. 时为圆面积 ， 时面积大于圆，故 ，B错误. 时为菱形，利用坐标可求 最大值，C正确. 时利用参数方程及导数可求其范围，D正确.
易错警示：常见错误：无法正确绘制或想象不同 下的曲线形状，导致面积大小判断错误.防错方法：取特殊点（如 ）代入比较曲线位置关系.
规律总结：通法：通过取特殊值比较曲线位置，进而比较面积.技巧：利用对称性将向量点积转化为单变量函数求最值.
一题多解：
对比： 解析法严谨但计算量稍大，几何法直观快捷.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·黑龙江哈尔滨·一模） 已知函数 为奇函数，则 __.
答案速览：
详解：由 为奇函数，则定义域关于原点对称，且 .即 ，化简得 .故 ，交叉相乘得 恒成立，故 .
易错警示：常见错误：忽略定义域关于原点对称的条件，直接代入 .防错方法：先保证定义域对称，再由恒等式求参数.
规律总结：通法：利用奇偶性的等价定义 转化为恒等式求参数.技巧：利用 .
13.（2026·山西·小高考五） 已知一个圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积与底面积的比值为__.
答案速览：
详解：设圆锥底面半径为 ，轴截面为等腰直角三角形，则高 ，母线长 .侧面积 ，底面积 .比值为 .
易错警示：常见错误：误认为母线长为 或混淆轴截面顶角.防错方法：根据“轴截面为等腰直角三角形”，圆锥顶点与底面直径两端点构成直角，故母线为直角边.
规律总结：通法：由轴截面形状确定母线、半径、高的比例关系，再计算侧面积和底面积之比.技巧：直接记忆常见旋转体截面形状与几何量的比例.
14.（2026·吉林长春·质量监测二） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，， 为椭圆 上一点，.圆 与线段 的延长线和线段 的延长线分别相切于点 和点 ，与线段 相切于点 ，且 ，，则椭圆 离心率的取值范围是__.
答案速览：
详解：
解法一（几何法）： 由椭圆定义结合给定长度关系，求出 .由切线长定理，.又 ，所以 .则 .离心率 .由 ，代入得 .
解法二（代数法）： 利用焦半径公式结合直线与圆相切条件，设点P坐标，通过解析几何方法计算切线长，最终也得到相同关系式.
易错警示：常见错误：切线长定理公式记错，或向量关系转化线段长时比例出错.防错方法：画图明确内切圆或旁切圆的切线长关系，将向量关系转为线段长度.
规律总结：通法：涉及焦点三角形的内切/旁切圆问题，优先使用切线长定理和椭圆定义.技巧：将离心率表示成参数 的函数，利用 的范围求值域.
一题多解：
对比： 解法一利用切线长定理极为简洁，计算量小；解法二计算量大且易错.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）（2026·新疆·四月适应性检测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
（1） 求 ；
（2） 若 ， 的平分线交 于点 ，，求△ABC的面积.
答案速览：（1） ；（2） .
详解：
（1） 原式化为 .由余弦定理代入或利用射影定理 ，结合正弦定理，原式等价于 .又 ，故 .
（2） 由余弦定理 .代入 得 .由等面积法，，即 .代入 ，，得 .联立得 .所以 .
易错警示：常见错误：余弦定理正负号写错，导致 与 关系错误；角平分线分割面积公式运用不熟练.防错方法：牢记 时 ，等面积法中每个小三角形的高是角平分线长乘以半角正弦.
规律总结：通法：边角互化首选正弦定理、余弦定理.涉及角平分线长问题，常用等面积法建立方程.技巧：将 和 视为整体求解，避免解单个变量.
16.（15分）（2026·山西T8联盟·联考）如图，在底面是菱形的直四棱柱 中，，， 为线段 上靠近 的三等分点， 为线段 的中点.
（1） 求证： 平面 ；
（2） 求点 到平面 的距离.
答案速览：（1） 证明见解析；（2） .
详解：
（1） 连接 交 于 ，连接 .在直四棱柱中，底面为菱形，故 为 中点.又 为 上靠近 的三等分点，即 .由 ，得 （其中 为 与 交点）.故 平面 ， 平面 ，得证.
（2） 以 为原点，、、 所在直线为 轴建系.由已知求得各点坐标.，，，.求得平面 法向量 .点 到平面距离 .
易错警示：常见错误：建系时坐标写错，尤其是利用比例关系求 点坐标.防错方法：仔细分析线段比例，标出各点空间位置再写坐标.
规律总结：通法：线面平行证明多利用中位线或平行四边形；点到面距离多用空间向量法.技巧：选择恰当的建系原点（如A点）使坐标尽可能简单.
17.（15分）（2026·黑龙江哈尔滨·一模）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如表所示.
零件数 /个 60 70 80 90 100
加工时间 /min 95 104 108 116 122
经计算得 .
（1） 建立加工时间 关于零件数 的一元线性回归方程；
（2） 关于加工零件的个数与加工时间，由(1)问你能得出什么结论？
参考公式：经验回归方程 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，.
答案速览：（1） ；（2） 加工时间与零件数线性正相关，零件每增加1个，加工时间平均增加0.66分钟.
详解：
（1） ，.计算 .故回归方程为 .
（2） 由回归系数 可知， 随 增大而增大，呈正相关.每增加1个零件，加工时间约增加0.66分钟.
易错警示：常见错误： 公式中分子或分母计算错误，或忘记用 求 .防错方法：列表计算各项离差平方和及乘积和，代入公式仔细验算.
规律总结：通法：利用最小二乘法公式求经验回归方程，并根据斜率解释变量间的线性关系.技巧：利用计算器或表格辅助计算离差.
18.（17分）（2026·山西·小高考五）已知椭圆 的长轴长为4，离心率为 ，过点 作两条直线 ，其中 垂直于 轴，且与 交于 两点（点 在第二象限）， 与 交于 两点，直线 交于点 .
（1） 求 的方程；
（2） 若 的斜率为 ，且点 在点 的上方，求点 的坐标；
（3） 求 的最小值.
答案速览：（1） ；（2） ；（3） .
详解：
（1） ，.方程为 .
（2） 直线 ，代入椭圆得 ，，与椭圆联立解得 ， 方程为 方程由两点式求出为 .联立两直线得 .
（3） 解法一（解析法）： 设 斜率为 ，与椭圆联立，利用韦达定理表示 点坐标，发现 在定直线 上.转化为求 关于定直线的对称点 ，则 .通过解方程求 ，进而求得最小值 .
解法二（参数法）： 利用直线参数方程，结合定比分点公式求 轨迹，同样得到直线方程，后续步骤一致.
易错警示：常见错误：联立直线与椭圆时方程整理出错，或求交点坐标时计算繁琐导致错误.防错方法：利用韦达定理和设而不求简化计算，最后再代值.
规律总结：通法：涉及动直线交点轨迹问题，常用“设而不求”结合韦达定理求出轨迹方程.技巧：利用对称性将折线段和转化为两点间距离，从而求最值.
一题多解：
对比： 两种方法核心都是求出 的轨迹为一条直线.解析法更直接，参数法在处理斜率变化时更具一般性.
19.（17分）（2026·辽宁沈阳·二模）由于人类对某种小型濒危动物的长期保护，使得其种群数量偏离平衡值的波动量 （单位：千只）与时间 （单位：月）满足函数 ，其函数图象呈现“往复波动，渐趋平衡”的特征.
定义：若函数 在 上满足：
震荡性： 在 上无限次正负交替；
衰减性：任意给定正实数 ，存在实数 ，使得当 时，.
则称 为震荡衰减函数.
（1） 求 在 内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长率是否为0（不必证明）？
（2） 根据定义判断函数 在 上是否为震荡衰减函数.如果是，给出证明；如果不是，说明理由.
（3） 设 .求证： 无最大值.
答案速览：（1） 极小值点 ，极大值点 ；波动量的增长率为0.（2） 是震荡衰减函数，证明见解析.（3） 证明见解析.
详解：
（1） .
令 ，得 ，在 内解得 .
当 时，；当 时，；当 时，.
故 为极小值点， 为极大值点.极值点处 ，即波动量的增长率为0.
（2） 是震荡衰减函数.
① 震荡性：由(1)知 恒成立， 是周期函数，在 上无限次正负交替，故 满足震荡性.
② 衰减性：.对任意给定正数 ，令 ，当 时，有 ，故满足衰减性.
（3） .
易得 ，故若存在最大值点 ，必有 .
分区间讨论 在 上的单调性：
当 时，，， 单调递减；
当 时，，， 单调递减；
当 时，，令 得 （其中 ）， 在 递增，在 递减.
计算得 ，，且 .因此 在 上无最大值点，故 无最大值.
易错警示：常见错误：（1） 求导时未正确处理复合函数导数，或符号错误；（2） 证明衰减性时，未严格写出对任意 找到 的逻辑；（3） 第三问未意识到利用周期性将最大值点范围缩小至 .防错方法：牢记绝对值函数求导需分区间，衰减性证明必须紧扣 语言形式.
规律总结：通法：新定义问题需严格依据定义验证性质.第(3)问证明无最大值，常通过区间划分讨论单调性，结合周期性缩小考察范围.技巧：利用 迅速将问题限制在一个周期区间内.
一题多解：
解法一（分区间直接求导，即上述方法）： 直接对不同区间内的 表达式求导，分析单调性，找出可能的最大值点并比较端点.此法直接但讨论稍繁琐.
解法二（数形结合）： 观察 ，其中 是周期有界函数.由 知，波峰高度呈指数衰减.若最大值出现在第一个周期后，则必有 ，矛盾.因此最大值点必在第一个周期内，结合图像可直观判断无最大值.
对比： 解法一严谨规范，适合解答题书写；解法二直观易懂，有助于快速理解题意，但作为证明过程需补充必要的单调性分析.
第 2 页，共 2 页中小学教育资源及组卷应用平台
2026年高考全国Ⅱ卷数学模拟卷（二）
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
适用地区：山西、重庆、云南、贵州、广西、辽宁、吉林、甘肃、黑龙江、海南、新疆.
难度系数：0.59（计算公式：0.85×5 + 0.80×5 + 0.80×5 + 0.75×5 + 0.65×5 + 0.60×5 + 0.55×5 + 0.50×5 + 0.60×6 + 0.55×6 + 0.45×6 + 0.75×5 + 0.60×5 + 0.45×5 + 0.65×13 + 0.60×15 + 0.55×15 + 0.45×17 + 0.40×17 = 88.4 ÷ 150 ≈ 0.59）.
第一部分（选择题 共58分）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.（2026·重庆·二诊） 已知集合 ，，若 ，则 （ 　　）
A. 2 B. 1 C. 0 D. 1
2.（2026·新疆·四月适应性检测） 若复数 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
3.（2026·山西卓越联盟·质量检测） 已知向量 ，，若 ，则 （ 　　）
A. B. C. D.
4.（2026·辽宁沈阳·二模） 已知函数 （，，）的图象满足以下特征：图象经过点 ，并且在 轴右侧的第一个零点为 ，第一个最低点为 .则下列有关函数 及其性质的描述正确的是（ 　　）
A.
B. 为函数 图象的对称轴
C. 将 的图象向右平移 个单位长度后，将得到一个偶函数的图象
D. 函数 的单调递减区间为
5.（2026·新疆·四月适应性检测） 如图，点 为正方形ABCD的中心， 为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（ 　　）
A. ，且直线BM，EN是相交直线
B. ，且直线BM，EN是相交直线
C. ，且直线BM，EN是异面直线
D. ，且直线BM，EN是异面直线
6.（2026·重庆万州一中·模拟） 在数列 中，已知 ，若 ，，则 （ 　　）
A. B. C. D.
7.（2026·辽宁鞍山·二模） 已知 ，，则下列结论不可能成立的是（ 　　）
A. B. C. D.
8.（2026·山西T8联盟·联考） 设 分别是双曲线 的左、右焦点， 是该双曲线右支上一点， 的平分线交 轴于点 ，令 ，若 ，则双曲线 的离心率为（ 　　）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.（2026·山西卓越联盟·质量检测） 春节期间，某市10个景点游客综合满意度评分分别为90，92，95，96，98，95，95，95，93，95，则（ 　　）
A. 该组数据的平均数为94
B. 该组数据的众数与中位数相同
C. 该组数据的极差为8
D. 该组数据的方差为4.44
10.（2026·山西大学附中·阶段检测） 记函数 ，则（ 　　）
A. 的一个周期为
B. 函数 在 上单调递减
C. 函数 的图象关于 对称
D. 函数 的值域为
11.（2026·东北三省·二模） 曲线 ：（）是优美的封闭曲线，其围成的面积记为 ， 是 与 轴正半轴的交点，过原点 的直线交 于点 ，则（ 　　）
A.
B.
C. 当 时， 的最大值是
D. 当 时，
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.（2026·黑龙江哈尔滨·一模） 已知函数 为奇函数，则 ___________.
13.（2026·山西·小高考五） 已知一个圆锥的轴截面为等腰直角三角形，则其侧面积与底面积的比值为____________.
14.（2026·吉林长春·质量监测二） 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，， 为椭圆 上一点，.圆 与线段 的延长线和线段 的延长线分别相切于点 和点 ，与线段 相切于点 ，且 ，，则椭圆 离心率的取值范围是________________.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）（2026·新疆·四月适应性检测）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 .
（1） 求 ；
（2） 若 ， 的平分线交 于点 ，，求△ABC的面积.
16.（15分）（2026·山西T8联盟·联考）如图，在底面是菱形的直四棱柱 中，，， 为线段 上靠近 的三等分点， 为线段 的中点.
（1） 求证： 平面 ；
（2） 求点 到平面 的距离.
17.（15分）（2026·黑龙江哈尔滨·一模）一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集数据如表所示.
零件数 /个 60 70 80 90 100
加工时间 /min 95 104 108 116 122
经计算得 .
（1） 建立加工时间 关于零件数 的一元线性回归方程；
（2） 关于加工零件的个数与加工时间，由(1)问你能得出什么结论？
参考公式：经验回归方程 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ，.
18.（17分）（2026·山西·小高考五）已知椭圆 的长轴长为4，离心率为 ，过点 作两条直线 ，其中 垂直于 轴，且与 交于 两点（点 在第二象限）， 与 交于 两点，直线 交于点 .
（1） 求 的方程；
（2） 若 的斜率为 ，且点 在点 的上方，求点 的坐标；
（3） 求 的最小值.
19.（17分）（2026·辽宁沈阳·二模）由于人类对某种小型濒危动物的长期保护，使得其种群数量偏离平衡值的波动量 （单位：千只）与时间 （单位：月）满足函数 ，其函数图象呈现“往复波动，渐趋平衡”的特征.
定义：若函数 在 上满足：
震荡性： 在 上无限次正负交替；
衰减性：任意给定正实数 ，存在实数 ，使得当 时，.
则称 为震荡衰减函数.
（1） 求 在 内的所有极值点，并说明在这些极值点处，波动量的增长率是否为0（不必证明）？
（2） 根据定义判断函数 在 上是否为震荡衰减函数.如果是，给出证明；如果不是，说明理由.
（3） 设 .求证： 无最大值.
答案解析
一、单项选择题
1.
答案速览：B
详解：由 得 .因为 ，所以必有 ，即 .
易错警示：常见错误：忽略集合元素的互异性或对包含关系判断错误，可能误选C.防错方法：验证 时 ，.
规律总结：通法：利用集合的包含关系转化为参数方程求解.技巧：直接代入验证，结合选项进行排除.
2.
答案速览：B
详解：首先计算 .则 .模长 .
易错警示：常见错误：i的幂次计算错误，导致虚部符号出错.防错方法：利用 降次，.
规律总结：通法：利用复数代数形式的乘除运算法则化简，再套用模长公式.技巧：熟记 .
3.
答案速览：A
详解：由 得 ，解得 .则 .模长 .
易错警示：常见错误：向量数量积坐标公式计算错误（如写成 ），或模长计算错误.防错方法：严格按 公式代入.
规律总结：通法：利用垂直关系求参数，再求向量和的模.技巧：先解方程，再代入坐标.
4.
答案速览：C
详解：由第一个最低点 得 .由第一个零点 和最低点横坐标差为 ，即 周期，故 ，得 .图象过 得 ，又 ，故 或 .由第一个零点 ，解得 .因此 .A错误，.B错误，对称轴由 解得 .C正确，向右平移 得 ，是偶函数.D错误，单调递减区间计算错误.
易错警示：常见错误：五点法对应错误，误认为第一个零点是第一个点导致 求错.防错方法：严格按照图象特征，明确零点、最低点对应相位.
规律总结：通法：通过五点法求 ，结合平移变换和诱导公式判断奇偶性.技巧：观察零点与极值点距离确定周期.
5.
答案速览：B
详解：取CD中点O，连接ON，BM.依题意 ，平面ECD⊥平面ABCD，则 平面ABCD，.M为ED中点，在中，BM为中线.计算得BM≠EN.连接MC，因M，E均在平面CDE内，可判断BM与EN相交.
易错警示：常见错误：直接目测选A或D.防错方法：利用空间中线面垂直和数量关系严格计算线段长.
规律总结：通法：利用中位线、勾股定理计算长度，利用公理判断两直线是否共面.技巧：将几何体放在坐标系中定量分析.
6.
答案速览：A
详解：由已知等式得数列 为等差数列.设公差为 ，则 .因此 ，所以 .
易错警示：常见错误：未发现数列倒数成等差，或计算公差时出错.防错方法：看到分式线性递推考虑取倒数.
规律总结：通法：形如 等价于 是等差数列.技巧：利用等差中项性质快速判断.
7.
答案速览：B
详解：由已知，.由 .故两式均等于 .因此 .得 ，.联立消 得 ，即 .取 得 ； 得 ； 得 .若 ，无整数k满足，故C可能成立，B不可能成立.
易错警示：常见错误：不熟悉三角恒等式，无法化简两式.防错方法：熟记 .
规律总结：通法：利用三角恒等式统一形式，结合正切函数周期性求解不定方程.技巧：利用 建立关系.
8.
答案速览：D
详解：
解法一（几何法）： 由角平分线性质，.设 ，由双曲线定义得 ，即 .在 中，由正弦定理和给定条件 ，结合 （），可推出 ，进而得几何关系，由余弦定理或平面几何推得 .
解法二（解析法结合正弦定理）： 利用 可得 关系，进一步得三角形内角关系，再利用焦半径公式结合坐标，解出离心率.
对比： 解法一更侧重几何性质与定义，计算量较小；解法二思路直接但代数运算稍繁琐.
易错警示：常见错误：角平分线定理应用错误（边与对应线段比例搞反），或三角恒等变换未求出具体角.防错方法：画图明确各线段关系，利用三角形内角互补简化.
规律总结：通法：离心率问题多结合定义、几何性质（角平分线、正弦余弦定理）建立关于 的方程.技巧：遇到复杂角关系，可尝试用内角和转化，寻找特殊角.
二、多项选择题
9.
答案速览：BCD
详解：数据排序：90, 92, 93, 95, 95, 95, 95, 95, 96, 98.平均数为 ，A错误.众数为95，中位数为95，B正确.极差为 ，C正确.方差计算得4.44，D正确.
易错警示：常见错误：中位数与平均数概念混淆，方差公式记忆错误.防错方法：计算平均数时注意权重，计算方差时除以数据个数n.
规律总结：通法：直接按照统计量定义逐一计算并比对.技巧：利用选项之间相互印证，如极差易算可先判断C.
10.
答案速览：ABD
详解：.利用换元或求导分析，可得周期为 ，且在 上单调递减，值域为 .关于 对称性不成立.
易错警示：常见错误：通分化简出错，未考虑定义域导致值域或单调区间判断错误.防错方法：注意 ，即 .
规律总结：通法：利用三角函数周期性、单调性和导数研究复杂三角函数的性质.技巧：令 将函数转化为有理函数研究.
11.
答案速览：ACD
详解：分别作出 和 时的图像，利用面积关系可比较 ，A正确. 时为圆面积 ， 时面积大于圆，故 ，B错误. 时为菱形，利用坐标可求 最大值，C正确. 时利用参数方程及导数可求其范围，D正确.
易错警示：常见错误：无法正确绘制或想象不同 下的曲线形状，导致面积大小判断错误.防错方法：取特殊点（如 ）代入比较曲线位置关系.
规律总结：通法：通过取特殊值比较曲线位置，进而比较面积.技巧：利用对称性将向量点积转化为单变量函数求最值.
三、填空题
12.
答案速览：
详解：由 为奇函数，则定义域关于原点对称，且 .即 ，化简得 .故 ，交叉相乘得 恒成立，故 .
易错警示：常见错误：忽略定义域关于原点对称的条件，直接代入 .防错方法：先保证定义域对称，再由恒等式求参数.
规律总结：通法：利用奇偶性的等价定义 转化为恒等式求参数.技巧：利用 .
13.
答案速览：
详解：设圆锥底面半径为 ，轴截面为等腰直角三角形，则高 ，母线长 .侧面积 ，底面积 .比值为 .
易错警示：常见错误：误认为母线长为 或混淆轴截面顶角.防错方法：根据“轴截面为等腰直角三角形”，圆锥顶点与底面直径两端点构成直角，故母线为直角边.
规律总结：通法：由轴截面形状确定母线、半径、高的比例关系，再计算侧面积和底面积之比.技巧：直接记忆常见旋转体截面形状与几何量的比例.
14.
答案速览：
详解：
解法一（几何法）： 由椭圆定义结合给定长度关系，求出 .由切线长定理，.又 ，所以 .则 .离心率 .由 ，代入得 .
解法二（代数法）： 利用焦半径公式结合直线与圆相切条件，设点P坐标，通过解析几何方法计算切线长，最终也得到相同关系式.
对比： 解法一利用切线长定理极为简洁，计算量小；解法二计算量大且易错.
易错警示：常见错误：切线长定理公式记错，或向量关系转化线段长时比例出错.防错方法：画图明确内切圆或旁切圆的切线长关系，将向量关系转为线段长度.
规律总结：通法：涉及焦点三角形的内切/旁切圆问题，优先使用切线长定理和椭圆定义.技巧：将离心率表示成参数 的函数，利用 的范围求值域.
四、解答题
15.
答案速览：（1） ；（2） .
详解：
（1） 原式化为 .由余弦定理代入或利用射影定理 ，结合正弦定理，原式等价于 .又 ，故 .
（2） 由余弦定理 .代入 得 .由等面积法，，即 .代入 ，，得 .联立得 .所以 .
易错警示：常见错误：余弦定理正负号写错，导致 与 关系错误；角平分线分割面积公式运用不熟练.防错方法：牢记 时 ，等面积法中每个小三角形的高是角平分线长乘以半角正弦.
规律总结：通法：边角互化首选正弦定理、余弦定理.涉及角平分线长问题，常用等面积法建立方程.技巧：将 和 视为整体求解，避免解单个变量.
16.
答案速览：（1） 证明见解析；（2） .
详解：
（1） 连接 交 于 ，连接 .在直四棱柱中，底面为菱形，故 为 中点.又 为 上靠近 的三等分点，即 .由 ，得 （其中 为 与 交点）.故 平面 ， 平面 ，得证.
（2） 以 为原点，、、 所在直线为 轴建系.由已知求得各点坐标.，，，.求得平面 法向量 .点 到平面距离 .
易错警示：常见错误：建系时坐标写错，尤其是利用比例关系求 点坐标.防错方法：仔细分析线段比例，标出各点空间位置再写坐标.
规律总结：通法：线面平行证明多利用中位线或平行四边形；点到面距离多用空间向量法.技巧：选择恰当的建系原点（如A点）使坐标尽可能简单.
17.
答案速览：（1） ；（2） 加工时间与零件数线性正相关，零件每增加1个，加工时间平均增加0.66分钟.
详解：
（1） ，.计算 .故回归方程为 .
（2） 由回归系数 可知， 随 增大而增大，呈正相关.每增加1个零件，加工时间约增加0.66分钟.
易错警示：常见错误： 公式中分子或分母计算错误，或忘记用 求 .防错方法：列表计算各项离差平方和及乘积和，代入公式仔细验算.
规律总结：通法：利用最小二乘法公式求经验回归方程，并根据斜率解释变量间的线性关系.技巧：利用计算器或表格辅助计算离差.
18.
答案速览：（1） ；（2） ；（3） .
详解：
（1） ，.方程为 .
（2） 直线 ，代入椭圆得 ，，与椭圆联立解得 ， 方程为 方程由两点式求出为 .联立两直线得 .
（3） 解法一（解析法）： 设 斜率为 ，与椭圆联立，利用韦达定理表示 点坐标，发现 在定直线 上.转化为求 关于定直线的对称点 ，则 .通过解方程求 ，进而求得最小值 .
解法二（参数法）： 利用直线参数方程，结合定比分点公式求 轨迹，同样得到直线方程，后续步骤一致.
对比： 两种方法核心都是求出 的轨迹为一条直线.解析法更直接，参数法在处理斜率变化时更具一般性.
易错警示：常见错误：联立直线与椭圆时方程整理出错，或求交点坐标时计算繁琐导致错误.防错方法：利用韦达定理和设而不求简化计算，最后再代值.
规律总结：通法：涉及动直线交点轨迹问题，常用“设而不求”结合韦达定理求出轨迹方程.技巧：利用对称性将折线段和转化为两点间距离，从而求最值.
19.
答案速览：（1） 极小值点 ，极大值点 ；波动量的增长率为0.（2） 是震荡衰减函数，证明见解析.（3） 证明见解析.
详解：
（1） .
令 ，得 ，在 内解得 .
当 时，；当 时，；当 时，.
故 为极小值点， 为极大值点.极值点处 ，即波动量的增长率为0.
（2） 是震荡衰减函数.
① 震荡性：由(1)知 恒成立， 是周期函数，在 上无限次正负交替，故 满足震荡性.
② 衰减性：.对任意给定正数 ，令 ，当 时，有 ，故满足衰减性.
（3） .
易得 ，故若存在最大值点 ，必有 .
分区间讨论 在 上的单调性：
当 时，，， 单调递减；
当 时，，， 单调递减；
当 时，，令 得 （其中 ）， 在 递增，在 递减.
计算得 ，，且 .因此 在 上无最大值点，故 无最大值.
易错警示：常见错误：（1） 求导时未正确处理复合函数导数，或符号错误；（2） 证明衰减性时，未严格写出对任意 找到 的逻辑；（3） 第三问未意识到利用周期性将最大值点范围缩小至 .防错方法：牢记绝对值函数求导需分区间，衰减性证明必须紧扣 语言形式.
规律总结：通法：新定义问题需严格依据定义验证性质.第(3)问证明无最大值，常通过区间划分讨论单调性，结合周期性缩小考察范围.技巧：利用 迅速将问题限制在一个周期区间内.
一题多解：
解法一（分区间直接求导，即上述方法）： 直接对不同区间内的 表达式求导，分析单调性，找出可能的最大值点并比较端点.此法直接但讨论稍繁琐.
解法二（数形结合）： 观察 ，其中 是周期有界函数.由 知，波峰高度呈指数衰减.若最大值出现在第一个周期后，则必有 ，矛盾.因此最大值点必在第一个周期内，结合图像可直观判断无最大值.
对比： 解法一严谨规范，适合解答题书写；解法二直观易懂，有助于快速理解题意，但作为证明过程需补充必要的单调性分析.
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