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余干六中 2025-2026 学年七年级下册数学期中素养训练
一、选择题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分．每小题只有一个正确选项）
1．下列各方程中，是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．对下列生活现象解释正确的是（ ）
A．把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度：两点确定一条直线
B．小朋友荡秋千：平移运动
C．挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固：两点之间，线段最短
D．体育课上测量跳远成绩：垂线段最短
3．在平面直角坐标系中，点 A（﹣2026，2026）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4． 的平方根是（ ）
A． B． C． D．
5. 下列各式正确的是( )
A. ＝±4 B. ＝－3 C. ± ＝±9 D. ＝2
6．传统版本俄罗斯方块的游戏区域为 10列 行的正方形网格布局，如图是小红玩俄罗斯方块某一时刻的截图，
小红需要将刷新的方块进行左右平移，使方块自由落下时，顶点 A与已经垒起来的方块缺口顶点 B重合，从而
消除方块获得积分，她的操作应该是（ ）
A．向左平移 4个格子 B．向左平移 3个格子 C．向左平移 2个格子 D．向左平移 1个格子
（第 6题） （第 7题） （第 11题） （第 12题）
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分）
7．如图所示的是某款式角花的局部示意图，若 ，则 的依据是__________________．
8．一个正数 m的两个不同的平方根分别是 和 ，则 m的值是__________．
9．已知 是方程 的一组解，则 m的值为______．
10. 命题“同位角相等”是_________命题（填“真”或“假”）．
11．领带被称为“西装的灵魂”．把一条系好的领带抽象成如图所示的数学模型，若领带的上边缘 与 平行，
与 平行， 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，则 ______°．
12. 如图，三角形 在平面直角坐标系中， 轴， 轴，且 ， ． 为三角
形 内一点，将三角形 平移，当平移后得到的三角形 的一顶点落在原点上时，点 的对应点
的坐标为 ，则点 的坐标为________．
三、解答题（本大题共 5小题，每小题 6分，共 30分）
13. （1）计算： ．
(2) 如图，直线 ， ，已知 ， ，求 的度数．
14．《九章算术》是中国古代最重要的数学著作之一，其中对平方根和立方根的求法有系统记载，我们学习了《实
数》章节，请你运用相关算法解答以下问题．已知 的算术平方根是 的立方根为 ．
(1)求 的值． (2)求 的平方根．
15．实数大家族的成员在坐火车时依据自身特征乘坐不同车厢，在下列实数中，分别找出整数、负分数和无理数，
并填入相应的横线上：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ （两个“1”之
间依次多一个“2”）．
(1)整数车厢 ．（填序号）
(2)负分数车厢 ．（填序号）
(3)无理数车厢 ．（填序号）
16．如图是健身器材划船机的使用及其简化结构示意图，人体上半身 与拉绳 构成的 为 ，上半
身 与滑轨 构成的 为 ．
(1)求证： ；
(2)若拉绳与地面平行，即 ， ， ，求 的度数．
17. 解方程组：
（1） （2）
四、解答题（本天题共 3小题，每小题 8分，共 24分）
18．某次几何课上，黄老师借助字母 ，命制了如下几何题目：
（1）如图 1，已知 ， ，证明： ，请你将推理过程补充完整；
（2）如图 2，若 ， ，证明： ．
(1)证明： （已知），
①__________________（两直线平行，内错角相等）
（已知），
②__________________（③__________________）
（④__________________）
(2)模仿（1）题，写出推理过程．
19．如图是两人玩的一盘五子棋，已知白棋①的坐标为 ，黑棋②的坐标为 ．
(1)请你根据题意，补充原点 O和 y轴；
(2)写出黑棋③和白棋④的坐标；
(3)五子棋的比赛规则是：两人各执一种颜色的棋子，每人每次在棋盘网格的格点处下一子，轮流下，最先在棋
盘横向、竖向、斜向形成连续的相同色五个棋子的一方为胜．现轮到黑棋下，要使黑棋这一步下完后胜出，请直
接写出这一步黑棋的坐标．
20. 已知在平面直角坐标系中，点 A的坐标为 ．
（1）若点 A在 轴上，求出点 A的坐标；
（2）点 B的坐标为 ，若 轴，求 A、B两点之间的距离．
五、解答题（本大题共 2小题，每小题 9分，共 18分）
21. 定义：若点 满足 ，则称这个点 为“理想点”．例如，
，故点 是“理想点”．
（1）点 ， ， 中，不是“理想点”的是_____．
（2）若点 是“理想点”，求 x的值．
（3）是否存在点 ，使点 M是“理想点”？若存在，求出 值；若不存在，说明理由．
22．如图，在平面直角坐标系 中， 三个顶点都在网格点上．
(1)写出点 A的坐标为 ，点 B的坐标为 ，点 C的坐标为 ；
(2)点 C到 x轴的距离为 ；
(3)将 向右平移 5个单位长度，再向下平移 4个单位长度，得到 ，其中点 ， ， 分别为点 A，
B，C的对应点．请在所给坐标系中画出 ；
(4)求 的面积．
六、解答题（本大题共 12分）
23. 【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含 的之间三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直
线 且 ，在三角形 中， ， ， ．
（1）当三角形 和平行线的位置如图 1时，若 ，求 的度数；
【深入探究】
（2）如图 2，在（1）的条件下，∠1的度数不变，创新小组的同学把直线 向上平移，求 的度数；
【拓展应用】
（3）缜密小组在创新小组的基础上，将图形继续变化得到图 3，若 平分 ，求 的度数．
余干六中 2025-2026 学年七年级下册数学期中素养训练(答案）
一、选择题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分．每小题只有一个正确选项）
1．下列各方程中，是二元一次方程的是（ B ）
A． B． C． D．
2．对下列生活现象解释正确的是（ D）
A．把弯曲的河道改直，可以缩短河道长度：两点确定一条直线
B．小朋友荡秋千：平移运动
C．挂条幅时，要钉两个钉子才能牢固：两点之间，线段最短
D．体育课上测量跳远成绩：垂线段最短
3．在平面直角坐标系中，点 A（﹣2026，2026）所在的象限是（ B ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4． 的平方根是（ D ）
A． B． C． D．
5. 下列各式正确的是( C )
A. ＝±4 B. ＝－3 C. ± ＝±9 D. ＝2
6．传统版本俄罗斯方块的游戏区域为 10列 行的正方形网格布局，如图是小红玩俄罗斯方块某一时刻的截图，
小红需要将刷新的方块进行左右平移，使方块自由落下时，顶点 A与已经垒起来的方块缺口顶点 B重合，从而
消除方块获得积分，她的操作应该是（ B ）
A．向左平移 4个格子 B．向左平移 3个格子 C．向左平移 2个格子 D．向左平移 1个格子
（第 6题） （第 7题） （第 11题） （第 12题）
二、填空题（本大题共 6小题，每小题 3分，共 18分）
7．如图所示的是某款式角花的局部示意图，若 ，则 的依据是__对顶角相等__．
8．一个正数 m的两个不同的平方根分别是 和 ，则 m的值是__49__．
9．已知 是方程 的一组解，则 m的值为__5__．
10. 命题“同位角相等”是__假__命题（填“真”或“假”）．
11．领带被称为“西装的灵魂”．把一条系好的领带抽象成如图所示的数学模型，若领带的上边缘 与 平行，
与 平行， 与 的夹角为 ， 与 的夹角为 ，则 _135_°．
12. 如图，三角形 在平面直角坐标系中， 轴， 轴，且 ， ． 为三角
形 内一点，将三角形 平移，当平移后得到的三角形 的一顶点落在原点上时，点 的对应点
的坐标为 ，则点 的坐标为__ 或 或 _．
解：设点 的坐标为 ．
由于 轴且 ，点 的坐标为 ；
同理， 轴且 ，点 的坐标为 ．
①平移后三角形 的顶点 位于原点 ，说明向左平移 个单位，向下平移 个单位，
点 平移后的对应点 的坐标为 ．
根据题意， 的坐标为 ，因此：
，解得： ， 因此，点 的坐标为 ．
②平移后三角形 的顶点 位于原点 ，
由点 的对应点 的坐标为 ，说明向左平移 6个单位，向下平移 4个单位，
根据题意， 的坐标为 ，因此：
，解得： ， ，因此，点 的坐标为 ．
③平移后三角形 的顶点 位于原点 ，
由点 的对应点 的坐标为 ，说明向左平移 6个单位，向下平移 4个单位．
根据题意， 的坐标为 ，因此：
，解得： ， 因此，点 的坐标为 ．
综上所述，点 位于原点 ，点 的坐标为 ；点 位于原点 ，点 的坐标为 ；点 位于
原点 ，点 的坐标为 ． 故答案为： 或 或 ．
三、解答题（本大题共 5小题，每小题 6分，共 30分）
13. （1）计算： ．
(2) 如图，直线 ， ，已知 ， ，求 的度数．
解：原式 ；
（2）解：∵
∴ (同位角相等，两直线平行)，
∴ （两直线平行，同旁内角互补），
∵ ，
∴ ．
14．《九章算术》是中国古代最重要的数学著作之一，其中对平方根和立方根的求法有系统记载，我们学习了《实
数》章节，请你运用相关算法解答以下问题．已知 的算术平方根是 的立方根为 ．
(1)求 的值． (2)求 的平方根．
（1）解：根据题意： ，
则 ；
（2）解：由（1）知 ，
则 ，
∵ ，
∴ 的平方根为 ．
15．实数大家族的成员在坐火车时依据自身特征乘坐不同车厢，在下列实数中，分别找出整数、负分数和无理数，
并填入相应的横线上：① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ （两个“1”之
间依次多一个“2”）．
(1)整数车厢 ④⑤ ．（填序号）
(2)负分数车厢 ①⑦ ．（填序号）
(3)无理数车厢 ③⑥⑧ ．（填序号）
16．如图是健身器材划船机的使用及其简化结构示意图，人体上半身 与拉绳 构成的 为 ，上半
身 与滑轨 构成的 为 ．
(1)求证： ；
(2)若拉绳与地面平行，即 ， ， ，求 的度数．
（1）证明：∵ ， 为 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：如图，∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
17. 解方程组：
（1） （2）
（1）解：把 代入 得， ， （2）解： 得： ，
解得： ， 得： ，解得： ，
把 代入 得，y=-7， 把 代入 得： ，解得： ，
∴这个方程组的解为 ； ∴这个方程组的解为 ．
四、解答题（本天题共 3小题，每小题 8分，共 24分）
18．某次几何课上，黄老师借助字母 ，命制了如下几何题目：
（1）如图 1，已知 ， ，证明： ，请你将推理过程补充完整；
（2）如图 2，若 ， ，证明： ．
(1)证明： （已知），
①__ __（两直线平行，内错角相等）
（已知），
②__ __（③__等量代换__）
（④__内错角相等，两直线平行_）
(2)模仿（1）题，写出推理过程．
（2）证明：延长 ， 相交于点 ，
，（已知）
（两直线平行，内错角相等）
，（已知）
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换）
19．如图是两人玩的一盘五子棋，已知白棋①的坐标为 ，黑棋②的坐标为 ．
(1)请你根据题意，补充原点 O和 y轴；
(2)写出黑棋③和白棋④的坐标；
(3)五子棋的比赛规则是：两人各执一种颜色的棋子，每人每
次在棋盘网格的格点处下一子，轮流下，最先在棋盘横向、竖向、
斜向形成连续的相同色五个棋子的一方为胜．现轮到黑棋下，要
使黑棋这一步下完后胜出，请直接写出这一步黑棋的坐标．
（1）解：建立如图所示的平面直角坐标系：
（2）结合（1），可知黑③坐标为 ，白④坐标为 ；
（3）要使黑棋这一步要赢，这一步黑棋的坐标为 或 ．
20. 已知在平面直角坐标系中，点 A的坐标为 ．
（1）若点 A在 轴上，求出点 A的坐标；
（2）点 B的坐标为 ，若 轴，求 A、B两点之间的距离．
（1）解： 点 A的坐标为 ，点 A在 轴上，
，解得： ．
，
点 A的坐标为 ．
（2）解： 点 A的坐标为 ，点 的坐标为 ， 轴，
，解得： ，
∴点 A的坐标为 ．
两点之间的距离为 ．
五、解答题（本大题共 2小题，每小题 9分，共 18分）
21. 定义：若点 满足 ，则称这个点 为“理想点”．例如，
，故点 是“理想点”．
（1）点 ， ， 中，不是“理想点”的是__ __．
（2）若点 是“理想点”，求 x的值．
（3）是否存在点 ，使点 M是“理想点”？若存在，求出 值；若不存在，说明理由．
（1）解：∵ ， ，
又∵ ，∴点 是“理想点”；
∵ ， ，
又∵ ，∴点 不是“理想点”；
∵ ， ，
又∵ ，∴点 是“理想点”；
（2）解：∵点 是“理想点”，
∴ ，
∴ ，解得 ；
（3）解：∵点 是“理想点”，
∴ ，整理可得 ， ∴ 或 ，
当 时， ，
当 时， ．
综上所述， 的值为 0或 ．
22．如图，在平面直角坐标系 中， 三个顶点都在网格点上．
(1)写出点 A的坐标为 ，点 B的坐标为 ，点 C的坐标为 ；
(2)点 C到 x轴的距离为 1 ；
(3)将 向右平移 5个单位长度，再向下平移 4个单位长度，得到 ，其中点 ， ， 分别为点 A，
B，C的对应点．请在所给坐标系中画出 ；
(4)求 的面积．
（3）解：如图， 即为所求；
（4）解： 的面积 ．
六、解答题（本大题共 12分）
23. 【问题情境】
在综合与实践课上，同学们以“一个含 的之间三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图，已知两直
线 且 ，在三角形 中， ， ， ．
（1）当三角形 和平行线的位置如图 1时，若 ，求 的度数；
【深入探究】
（2）如图 2，在（1）的条件下，∠1的度数不变，创新小组的同学把直线 向上平移，求 的度数；
【拓展应用】
（3）缜密小组在创新小组的基础上，将图形继续变化得到图 3，若 平分 ，求 的度数．
解：（1）因为 ， ， ．
所以 ．
因为 ，所以 ；
（2）如图 1，过点 B作 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．因为 ，
所以 ．
因为 ，
所以 ；
（3）因为 ， 平分 ，
所以 ．
如图 2，作 ，
因为 ，所以 ，
所以 ．
因为 ， ，
所以 ，
所以 ．

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