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2026年江苏省南京市中考数学压轴题系列：反比例函数
1．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于M（m，2），N（4，n）两点，连接OM，ON.
（1）当b=3时，求△MON的面积；
（2）如图，过点M作x轴的平行线，过点N作y轴的平行线，两线相交于点P，若将△PMN沿MN翻折后，点P恰好落在x轴上，求b的值和反比例函数的表达式；
（3）在（2）的条件下，若点Q是平面内一点，且它的纵坐标为，连接MQ，PQ，求的最大值.
2．数学兴趣小组对面积为的矩形，其周长m的范围进行了探索，兴趣小组的同学们已经能用“代数”的方法来解决：
（1）建立函数模型. 设矩形相邻两边的长分别为x，y，由矩形的面积为9，得，即，由周长为m，得，即满足要求的(x，y)应是两个函数图象在第　 　 象限内交点的坐标.
（2）画出函数图象. 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到，请在同一平面直角坐标系中画出直线.
（3） 观察函数图象．
平移直线y=-x，
①当直线平移到与函数的图象有唯一交点(3，3)时，周长的值为 ；
②在直线平移过程中，直线与函数的图象交点个数有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围。
（4） 得出结论．面积为9的矩形，它的周长m的取值范围为　 　．
3．定义：在平面直角坐标系中，如果点P(x，y)满足x+y=k(k是常数)，我们称点P为“k级和值点”. 例如： P (-3， 5) 满足-3+5=2， 则称P (-3， 5)为“2级和值点”.
（1）请判断下列说法是否正确(在相应的横线处，正确的打“ ”，错误的打“×”)；
①函数y=x的图象上存在“1级和值点”；　 　
②函数 的图像上存在两个“1级和值点”；　 　
③函数 的图像上有且只有一个“1级和值点”.　 　
（2）关于x的二次函数 (m，n是常数)与反比例函数 的图象在第二象限存在同一个“3级和值点”，且函数 的图象与坐标轴只有2个交点，求m的值；
（3）已知关于x的二次函数 (a，b，c是常数且a≠0)的图象上存在两个不同的“1级和值点”M、N，若a-b+c=0， (3a-2b+c)(2a-b+2c)>0，求线段MN的取值范围.
4．如图，直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点．
（1）求的值和反比例函数表达式；
（2）当时，根据图象直接写出的取值范围；
（3）点M是直线上的一点，过点M作平行于x轴的直线交反比例函数图象于点，若，求的面积．
5．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点，已知点坐标为，点的坐标为
（1）求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
（2）连接、，求的面积；
（3）观察图象直接写出时x的取值范围是　 　；
（4）直接写出：P为x轴上一动点，当三角形为等腰三角形时点P的坐标　 　．
6．在如图所示的平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象相交于点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）点是第三象限内一点，若的面积为，求的值；
（3）在（）的条件下，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点的对应点为，点的对应点在反比例函数的图象上，请直接写出位似中心的坐标．
7．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点A，B，点A的横坐标为，点B的横坐标为2．
（1）求k和b的值；
（2）若点C在反比例函数第一象限内的图象上，直线与直线交于点M，且，求点C的坐标；
（3）若点C在反比例函数第一象限内的图象上，点D是平面直角坐标系内的一点，且以点A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，求点C的坐标．
8．已知反比例函数，及两定点，．
（1）设是反比例函数图象上任意一点，请证明为一定值，并求出该定值．
（2）设直线与反比例函数图象在第一象限的部分交于两点，．
（2.1）若直线经过点，求出线段长度的最小值，以及此时直线的斜率．
（2.2）若与轴交于点，与轴交于点，请证明为一定值，并求出该定值．
9．中国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万乘休”．在函数的学习中，常常利用数形结合思想来探究函数的图象与性质．我们不妨约定：图象经过平面直角坐标系中三个象限的函数称为“之一函数”，例如一次函数经过第一、二、三象限，即属于“之一函数”．
（1）在下列关于的函数中，是“之一函数”的是 (填序号)．
①；②；③．
（2）①若关于的二次函数是“之一函数”，与轴交于A，B两点(其中，与轴交于点C，且，求该二次函数的解析式．
②在（1）的条件下，点P是二次函数图象第一象限上的点，问是否存在点P，使得，若存在，请求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
（3）若关于的二次函数是“之一函数”，其图象与轴交于A、B两点，顶点为点D，与轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点，已知且，，试求：的最大值．
10．如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象相交于，两点，点的纵坐标为．
（1）求点的坐标和的值；
（2）如图，点在反比例函数（）的图象上，且在点的左侧，连接并延长交轴于点，连接，，若，求的面积；
（3）若点是坐标轴上的点，点是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
11．如图1，已知点为双曲线上一点，且，直线分别交x、y轴及双曲线于点A、B、C．
（1）求双曲线的解析式；
（2）如图2，连接OC．
①若，在双曲线上找一点D，使得的面积是的面积的3倍，请求出此时点D的坐标；
②当t的值变化时，的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由．
12．如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A在x轴的正半轴上，点B，C在第一象限，四边形是平行四边形，点C在反比例函数的图象上，点C的横坐标为2，点B的纵坐标为3．
提示：在平面直角坐标系中，若两点分别为，，则中点坐标为．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）如图2，点D是边的中点，且在反比例函数图象上，求平行四边形的面积；
（3）如图3，将直线向上平移6个单位得到直线，直线与函数图象交于，两点，点P为的中点，过点作于点N．请直接写出P点坐标和的值．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：当b=3时，直线，
则m=2，n=1，
∴M的坐标为(2，2)，N的坐标为(4，1)，
分别过M，N作x轴的垂线，垂足分别为A，B，
则AM=AO=2， BN=1， OB=4， AB=2，
∴
（2）解：设翻折后点P落在x轴上点C处，延长PM交y轴于点D，
∵PM//x轴，PN//y轴
∴P，M，D共线，P，N，B共线，且点P的坐标为(4，2)，
∵M(m，2)，N(4，n)在反比例函数图象上，
∴，
∴N的坐标为，
由题意，MA=2，MC=MP=4-m，，
∵∠MCN=∠P=90°
∴∠MCA+∠NCB=90°， ∠CNB+∠NCB=90°
∴∠MCA=∠CNB
∴Rt△MCA~Rt△CNB.
∴
∴，
∵CB2+NB2=CN2，
∴，
解得
∴k=2m=3
∴反比例函数的表达式为
把M(1，2)代入，得，
∴
（3）解：∵点Q的纵坐标为，
∴点Q在直线上，
如图，过点M作直线的垂线，垂足为H，
∵M的坐标为，P的坐标为(4，2)
∴，
∴MP=MH
作∠MPE=∠MQP
则△MPE~△MQP
∴
∴
又∵
∴，∠HME=∠QMH，
∴△HME~△QMH，
∴∠HEM=∠QHM=90°
取MH中点F，则
∴，
∵PE+EF≥PF，即
∴
∴的最大值是当时取得，
此时
2．【答案】（1）一
（2）解：如图所示，
（3）①12．
②联立和整理得，
当时，该方程无解，有0个交点，即，解得；
当时，该方程有2个解，有2个交点，即，解得；
综上，当时，有0个交点；当时，有1个交点；当时，有2个交点．
（4）
3．【答案】（1） ； ；×
（2）解：设反比例 的图象上的“3级和值点”为(t，3-t)，则
或t=4，
∵二次函数 (m，n 是常数且m≠0)与反比例函数 的图象在第二象限存在同一个“3级和值点”，
∵该“3级和值点”为((-1，4)，
将(-1，4)代入 得：m+2+n=4，
∵二次函数 的图象与坐标轴只有2个交点，
∴分两种情况讨论：
①当抛物线 与x轴只有1个交点时，
解得：
此时抛物线为
∴当x=0时，y=1，
∴与y轴交于(0，1).
∴当m=1时，符合函数 的图象与坐标轴只有2个交点；
②当抛物线 与x轴有2个交点时， 则必过(0，0)，
解得：m=2，
此时抛物线为：
时，符合函数 的图象与坐标轴只有2个交点；
综上所述：m=2或m=1；
（3）解：
∵抛物线 l (a， b， c是常数且a≠0)上存在两个不同的“1级和值点”M
∴联立 整理得
令 则
即

4．【答案】（1）解：∵直线经过点∴
∴
∴
∵反比例函数经过
∴
∴反比例函数的解析式为；
（2）
（3）过点作轴于点，过点M作轴于点，
∴，
∴，
令，解得：，
∴，
∵，
∴，，
①点M在线段上，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即点Q的横坐标为，
∴点M的横坐标为，
当时，，
∴，
当时，，
解得，
∴，
∴，
∴．
②点在线段的延长线上，如图，
有，
∵，
∴，
不符合题意，舍去．
综上所述，．
5．【答案】（1）解：点坐标为
把点的坐标代入中得：
反比例函数的解析式是：
把点的坐标为代入中，得，
把、两点的坐标代入中得：，解得：
一次函数的解析式为：。
（2）解：如图1，当时，，，
，
。
（3）或
（4）或，或或
6．【答案】（1）解：点是反比例函数与一次函数的交点，
，即，
∴反比例函数的表达式为，
将点代入反比例函数，
得：，
点的坐标为，
将，代入一次函数中，
，
解得，
一次函数的函数表达式为.
（2）解：点的坐标为，点的坐标为，，
轴，
，
，
.
（3）或
7．【答案】（1），
（2）点C的坐标为或
（3）点C的坐标为或
8．【答案】（1）证明：∵是反比例函数图像上任意一点，
∴设，
∵，，
∴，
，
∴，
，
∴，
∴，即该定值为2
（2）解：（2.1）设直线解析式为，，，
∵直线经过点，
∴，解得，
∴，
联立
整理得，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴当时，最小，此时，
即线段长度的最小值为，
∵直线与反比例函数图象在第一象限的部分交于两点，，
∴，
∴，
∴；
答： 线段长度的最小值为，此时直线的斜率为-1；
（2.2）设直线解析式为，，，
联立
整理得，，
∴，，
∵当时，，则，
当时，，
解得，
则，，
∴
，
∴，即该定值为0
9．【答案】（1）③
（2）解：①∵关于的二次函数是“之一函数”，与轴交于，两点(其中，∴，否则必定经过四个象限，不是“之一函数”，
，
，
，
，
∴，
∴，
∴解析式为．
②存在符合条件的p点，理由如下：
由第①问知，二次函数，
由知：A点在B点左侧，
当时，，
当时，，
故，，，如图所示：
作交于点Q，作轴于点D．
则，
∴，
∵在中，，
∴
∴
∴，
∴，．
∴．
∴，
设直线的解析式是：，
则将点Q、C代入得：，
解得：，
∴直线的解析式是∶
联立方程组得：，
解得：或
∴存在点P，使得，此时点P的坐标是
（3）解：设即的两解是，
∴
∴，
二次函数的顶点是．
∵关于的二次函数是“之一函数”，
∴其图象一定与x轴有两个交点，否则只能过两个象限，且两个交点必须同号，否则会过四个象限，即且
∴同号，
又∵
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，
则，
设，
，
，
，
∵，
，
∴时，
10．【答案】（1），；
（2）的面积是；
（3）存在，，．
11．【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
解得，
将代入，得
，解得，
∴双曲线的解析式
（2）解：①当时，，令，得，
∴，即，
联立得：，
解得：或，
∴点C的坐标为，
∴，
设点D的坐标为，，则
，
∵的面积是的面积的3倍，
∴，解得，
即，
∴．
②的值不发生变化，理由如下：
过C作轴于H，如图：在中，令得，令得，
∴，
∴，
即
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∴，
∴，
由反比例函数可知，，
∴，即，
∴，
∴
即的值不发生变化，为18
12．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵点B的纵坐标为3．
∴，
把代入得，，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：设，∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵点D是边的中点，
∴，即，
∵点D在反比例函数图象上，
把代入得，，
解得，
∴，
∴
（3）
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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