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2026年江苏省南京市中考数学压轴题系列：锐角三角函数
1．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，连接AC.
（1）如图1，求证：∠BAC=∠DAC；
（2）如图2，连接BC，延长DC交AB的延长线于点E，∠AEC的平分线分别交AC，BC于点F，G，求证：CF=CG；
（3）如图2，在（2）的条件下，若G是EF的中点，且，CD=4，求线段CF的长.
2．在菱形ABCD中，BD=6，AC=8.
（1）如图1，求AB的长.
（2）如图2，以点A为旋转中心，逆时针转动△ABC，记点B，C旋转得到的对应点分别为E，F.当EF第一次平行于BD时，停止旋转.
①当EF∥BD时，求sin∠BAE的值.
②如图3，设旋转停止前，直线EF交射线DB于点P，连接AP，求DP-AP的最小值.
3．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD，BC的延长线相交于点E，AC，BD相交于点F，G是AB上一点，GD交AC于点H，且AB=AC，BG=DG.
（1）请直接写出∠ABC与∠DBE，∠E的数量关系：　 　；
（2）求证：AH2=HF2+HF FC；
（3）若，AD=2DE，，求△AGH的周长.
4．如图，抛物线与直线y=x+m交于B（6，0）和C（0，-6）两点，抛物线与x轴的另一个交点为A，连接AC，BC，P是直线BC下方抛物线上一点.
（1）求m的值；
（2）如图1，过点P作PN平行于y轴交BC于N，求PN最大值；
（3）如图2，连接AP，交BC于点D，若，求点P的坐标；
（4）如图3，将OA绕点O旋转至OA'，连接BA'，CA'，试求出的最小值.
5．如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，∠ABC为锐角，过点B作BE⊥AC于点E，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F.
（1）∠ABD=α，请用含α的代数式表示∠CBE.
（2）若AF=BD，求证：AD=AE.
（3）如图2，在（2）的条件下，BF与⊙O交于点G，与AD延长线交于点H，连结DG.
①若CD=4，DG=1，求AD的长.
②若，求tan∠ABD的值.
6．问题提出
（1）如图①，为上一点，连接、，当时，　 　．
（2）问题探究
如图②，在边长为6的等边中，为的中点，为边上任意一点，连接，并作，使得的一边与交于点，试求出的最大值．
（3）问题解决
如图③，四边形为某美食商业区的平面示意图，其中，，，．经过一段时间的运营，为了更好地服务消费者，打造美食街区的独特风格．市场管理者计划在美食商业区规划一片三角形区域用于美食烹饪表演．
方案：在上选取一点M，上选取一点，连接、、，构造．已知点为美食商业区的出入口，，设．
（i）求与之间的函数关系式．
（ii）为了不影响其他商户的经营，同时确保表演区域足够集中，需要点与点的距离足够远，请你根据需求计算出当最大时的面积．
7．阅读理解：我们知道，四边形具有不稳定性，容易变形.如图1，一个矩形发生变形后成为一个平行四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为α，我们把 的值叫做这个平行四边形的变形度.
（1）若矩形发生变形后的平行四边形有一个内角是120°，则这个平行四边形的变形度是 　 　；
（2）若矩形的面积为 S1，其变形后的平行四边形面积为 试猜想 之间的数量关系，并说明理由；
（3） 如图2， 在矩形ABCD中， E是AD边上的一点， 且 这个矩形发生变形后为 为E 的对应点，连接. 若矩形 ABCD 的面积为 的面积为 求 的大小.
8．如图所示，点C在以O为圆心、线段AB为直径的半圆上，联结BC，取线段BC中点D，在线段OA上取一点E（点E不与点A重合），使DE＝BD，作E点作直线EF⊥DE，EF与AC交于点F．
（1）如图（1），当点O、点E重合时，求证：四边形CDEF是正方形．
（2）如图（2），联结OF，点M是线段OF与线段DE的公共点．
①设x，tanB＝y，求y关于x的函数解析式并写出定义域．
②如图（3），联结BF、OC，点N是线段BF与线段OC的公共点，点G是线段OC与线段DE的公共点，当时，求的值．
9．
（1）【观察、猜想】
如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，，则的值为　 　；
（2）【类比探究】
如图2，在矩形ABCD中，点E，F分别是边DC，BC上的点，连接AE，DF，且于点G，若，，求的值；
（3）【初步应用】
如图3，矩形ABCD中，，EF分别交AB，CD于点E，F，GH分别交AD，BC于点G，H又AM ，点M，N分别在边BC，CD上，若，求的值；
（4）【灵活运用】
如图4，四边形ABCD中，，AB = AD = 20，BC = CD = 10，，点M，N分别在边BC，AB上，则的值为　 　.
10．【教材呈现】华师版九年级上册数学教材第103页的部分内容．
例：如图，在中，，．求证：． 证明：作斜边AB上的中线CD，则 ……
请你结合图①，将证明过程补充完整．
【结论应用】如图②，在中，，，D是的中点．过点D作交AC于点E．则线段与有怎样的数量关系，请说明理由．
【拓展提升】一副三角板按图③所示摆放，得到和．其中，．．点E为的中点，过点E作于点F．若．则的长为 ▲ （直接写出结果）
11．有若干块半圆形木板，木匠李师傅在直径上取两点、，作，与半圆交于点，作，与半圆交于点
（1）如图1，李师傅通过测量，使得，此时与的长相等，请说明理由；
（2）如图2，李师傅从这块木板中裁出了两块阴影部分的木料，使得为90°，
①若，求裁出的两块木料的周长之和；
②若，，则裁出的两块木料的面积之和为 ▲ ；
（3）如图3，李师傅在直径上取点，作，与半圆相交于点若，，，求的长．(用含、的代数式表示)
12．综合与实践：
【问题情境】：通过查看出厂包装袋上的数据，数学活动小组的同学发现纸的长与宽分别为和，其比值为，而，他们上网查阅资料也发现纸的长与宽的比是一个特殊值“”，不妨定义长与宽的比为的矩形为“标准矩形”
【操作实践】：如图，数学活动小组的同学在几何画板软件上画了一个正方形，连接对角线，在射线上截取了，过点作交的延长线于点，令．
【问题探究】：
（1）求证：四边形为“标准矩形”；
（2）如图，数学活动小组的同学在图的基础上隐藏了线段，在线段上取一点，连接，．
①当平分时，求的长；
②当的周长最小时，求的值
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵DC切O于点C，
∴OC⊥CD，
∴∠OCD=90°，
∵AD⊥CD，
∴∠ADC=90°，
∴∠OCD=∠ADC=90°，
∴OC∥AD，
∴∠ACO=∠DAC，
∵OA=OC，
∴∠ACO=∠BAC，
∴∠BAC=∠DAC
（2）证明：如图，连接OC，
由（1）知：∠OCE=∠OCD=90°，∠CAO=∠ACO，
∴∠OCB+∠BCE=90°，
∵AB是O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACB=∠OCE，
∴∠BCE=∠ACO，
∴∠CAO=∠BCE，
∵EF是∠AEC的平分线，
∴∠CEF=∠AEF，
∴∠CFG=∠CAO+∠AEF，∠CGF=∠BCE+∠CEF，
∴∠CFG=∠CGF，
∴CF=CG
（3）解：如图，取CE的中点Q，连接QG，
∵G是EF的中点，
∴GQ//CF，
∴∠CGQ=∠ACB=90°
由(2)知：CF=CG，
∴，
由(2)知：∠DAC=∠BAC=∠BCE，
∴
∴
∴
∴AD=8
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∵，AD=8，
∴
∴
∵∠CAE=∠GCE，∠FEA=∠CEG
∴△AFE∽△CGE，
∴
∴AF=2CG
∵CF=CG
∴AF=2CF，
∵
∴
2．【答案】（1）解：在菱形ABCD中，BD=6，AC=8
∴，，BD⊥AC
∴.
（2）解：①如图1，延长FE交BC于点G，由旋转变换中每条线的旋转角都相等可知，∠EGC=∠BAE.
在菱形ABCD中，BD=6，AC=8
∴，，BD⊥AC
∴
∴AB=BC=CD=DA=5.
又∵EF//BD，
∴∠BAE=∠EGC=∠CBO，
∴
②如图2，DP-AP=OD+OP-AP.
∵AP2=16+OP2
∴AP最小时，OP也最小，要想DP-AP最小，只需AP最小.
∵∠F为定角
∴当AP⊥EF时，AP有最小值为
此时
∴DP-AP的最小值为
3．【答案】（1）∠ABC=∠DBE+∠E
（2）∵BG=DG，
∴∠ABD=∠GDB．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠ABC=∠ADB，
∵∠ADB=∠GDB+∠GDA，∠ABC=∠ABD+∠DBC，
∴∠DBE=∠GDA，
∵∠DBE=∠CAD，
∴∠CAD=∠GDA．
∴AH=HD．
∵∠ACD=∠ABD，
∴∠ACD=∠GDB．
∵∠CHD=∠DHF，
∴△CHD∽△DHF，
∴，
∴HD2=HC HF，
∴AH2=HF HC．
∵HC=HF+FC，
∴AH2=HF （HF+FC）=HF2+HF FC
（3）
4．【答案】（1）解：∵抛物线与直线交于点，
∴，
解得；
（2）解：由（1）知直线 的解析式为，
∵P是直线下方抛物线上一点
∴设点，
∵过点P作平行于y轴交于N，
∴点，
那么，
则最大值为；
（3）解：∵点，
∴，
∵，
∴，解得，
则D点纵坐标为，
∵点D在直线上，
∴，解得，
则点，
∵抛物线与x轴交于点A和点B，
∴，解得，，
∴点，
设的解解析式为：，
则，
解得：
则的解解析式为：，
联立，
解得：或，
则．
（4）解：在x轴取点P，使，连接，如图，
由旋转的性质得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴的最小值为．
5．【答案】（1）解：为直径，
，
，
，
于点，则，
；
（2）证明：，
，
，，
，
；
（3）解：①连接，作 于点，
，，
，
，
，
，
为直径，
，
，
四边形为矩形，
，，设，，
，，
，
解得： ，（舍）
的长为；
②连接，
为直径，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
，
∴为等腰直角三角形，则也为等腰直角三角形，
，
．

6．【答案】（1）90
（2）解：是等边三角形，，
，．
，
，
，
．
设，则，
为的中点，
，
，整理得，
当时，有最大值，最大值为3，即的最大值为3
（3）解：（i）如图，延长至点，使得，连接，过点作，
根据题意可知，，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
．
设．
，
，
整理得．
（ii）如图，过点作的垂线，与的延长线交于点，与交于点．
由（i）可知，，
当时，取得最大值为，
即当时，有最大值为，
，
设，，
，
，
，
．
，
，
，，，，
，
∴当最大时，的面积为
7．【答案】（1）
（2）解：
理由：如图1，设矩形的长和宽分别为a，b，变形后的平行四边形的高为h，
∴
∴
（3）解：如图2，
即
，
由(2) 知，
可知
8．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠C＝90°，
∵D是BC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥AC，
∴∠CDO＝180°﹣∠C＝90°，
∵DE⊥EF，
∴∠DEF＝90°，
∴四边形CDEF是矩形，
∵CD＝BD＝DE，
∴四边形CDEF是正方形；
（2）解：①解：如图1，
连接OD，DF，
∵CD＝BD＝DE，∠C＝∠DEF＝90°，DF＝DF，
∴Rt△DCF≌△DEF（HL），
∴CF＝EF，
∵DE＝BD，
∴∠B＝∠DEB，
∵∠C＝∠DEF＝90°，
∴∠B+∠A＝90°，∠AEF+∠DEB＝90°，
∴∠A＝∠AEF，
∴AF＝EF，
∴CF＝AF，
∴DF∥AB，DFAB＝OB，
∴四边形BOFD是平行四边形，
∴∠DFO＝∠B，
∴tan∠DFO＝tanB＝y，
∵OA＝OB，
∴ODAC，
∴OD＝CF＝AF＝EF，
∴四边形EODF是等腰梯形，
∴∠OEF＝∠DOE，∠BED＝∠EOF，∠OFD＝∠FDE，
∴∠DOF＝∠DEF＝90°，FM＝DM，
∴，
设OD＝ay，OF＝a，FM＝DM＝m，则OM＝OF﹣FM＝a﹣m，
∵∵DM2﹣OM2＝OD2，
∴m2﹣（a﹣m）2＝（ay）2，
∴m，
∴x，
∴y或y，
由题意得：0＜tanB＜1，
∴0＜y＜1，
∴y2+1＞2y，
∴0＜x＜1；
②如图2，
连接OD，
由①知：AF＝CF＝OD，EM＝OM，∠DOM＝90°，
∴OD2+OM2＝DM2（Ⅰ），
∵OA＝OB，
∴OF∥BC，
∴，
∵，
∴，
∴OD2＝OM DM（Ⅱ），
由（Ⅰ）和（Ⅱ）得，
OM2+OM DM﹣DM2＝0，
∴或（舍去），
∵F是AC的中点，O是AB的中点，
∴N是△ABC的重心，
∴CNOC，
∵OF∥BC，
∴△OGM∽△CGD，
∴，
∴，
∵OF＝CD，
∴，
∵FM＝DM，
∴，
∴OG，
∴．
9．【答案】（1）1
（2）解：
（3）解：
（4）
10．【答案】解：[教材呈现]如图①，作斜边上的中线，则，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
[结论应用]如图②，取的中点，连接，
∵，
∴，
∵D，F分别是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，即．
∴
故答案为：；
[拓展提升]．
11．【答案】（1）解：如图，连接，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，即，
又，
∴，
∴，
∴=．
（2）解：①如图，连接，，
由题意，得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，，
由图可知，，
，
∴裁出的两块木料的周长之和为；
②400π-384．
（3）解：连接OE，OA，如图，
则OA=OB=OE=OM=ON，
设OC=x，OF=y，
∵CM=DN，
∴OC=OD=x，
∴CF=x+y， DF=x-y，
∵CF·DF=m，
∴(x+y)(x-y)=m，
∴x2-y2=m.
∵OA2=AC2+OC2=n2+x2，
∴OE2=OA2=n2+x2，
∵EF2=OE2-OF2=n2+x2-y2=n2+m
∴
12．【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，．
．
．
．
四边形为“标准矩形”．
（2）解：解：平分，
．
又，，
．
，．
，，
．
．
是等腰直角三角形．
．
设，则．
，
解得．
．
解：延长至点，使得，连接，交于点，连接，如解图所示，则此时的周长最小．
，，
．
．
由轴对称的性质，得，
．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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