资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026年江苏省南京市中考数学压轴题系列：三角形与四边形
1．已知，在△ABC中， AB=AC，将边CB绕点C顺时针旋转得CD，使A、D两点在直线BC的同侧，连接AD， BD， ∠BAC=∠BDC，过点A作AE⊥BD于点E.
（1）如图1，若∠BCD=2∠ACD，求∠ACD 的度数；
（2）如图2，若∠BCD<∠ACB，猜想线段CD、BD、DE三者之间的数量关系并证明；
（3）如图3，若 请直接写出△ABC的面积.
2．如图， 在 的内部有一个正方形AOCD，点A，C分别在射线OM，ON上，B1是ON上的任意一点，在 的内部作正方形.
（1）连结 求证：
（2）连结 猜一猜， 的度数是多少 证明你的结论。
（3）在ON上再任取一点 以 为边，在 的内部作正方形. ，观察图形，并结合（1）（2）的结论，再作出一个合理的判断。
3． 在 ABCD中， 点E是线段CB延长线上的一个动点， 连接AE， 过点A作AF⊥AE交射线DC于点F.
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，写出AF与AE之间的数量关系：　 　；（直接写出结论)
（2）如图2，若四边形ABCD 是矩形，且 试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；
（3）如图3， 若四边形ABCD是菱形， 且∠ABC=60°， 过点A作AE⊥BC于点E， 过点A作AF⊥AB，交过D点与AD垂直的直线于点F，且DF=1，求
4．综合与实践课上，老师给出定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.同学们以此开展了数学活动.
（1）操作发现
①如图 1构造一个四边形 ABCD， 使得 AB=AD， BC=DC， 那么四边形 ABCD　 　“垂美四边形”.（填“是”或“不是”)
②如图 2，分别以 Rt△ACB的直角边 AC和斜边 AB 为边向外作正方形 ACFG和正方形 ABDE，连接 CE、BG、GE.那么四边形 BCGE是“垂美四边形”吗 请说明理由.
（2）拓展探究
如图 3，四边形 ABCD是“垂美四边形”，则两组对边 AB、CD与 BC、AD之间有什么数量关系 请说明理由.
（3）迁移应用
如图 4， 在 Rt△ABC中， ∠ACB=90°， AC=3， BC=4. P、Q分别是射线 AB， AC上一个动点， 同时从点 A 出发，分别沿 AB和 AC方向以每秒 5个单位长度和每秒 21个单位长度的速度匀速运动，运动时间为 t秒， 连接 CP、BQ、PQ、PC与 BQ交于点 O， 当以点 B， C， P， Q为顶点的四边形是“垂美四边形”时，直接写出 t的值.
5．我们把一直角边是另一直角边2倍的直角三角形称为“倍勾三角形”，如图1，在△ABC中， 于D，P是射线AB上的一个动点（不与D重合)，E是线段PC的中点，将点E绕点P顺时针方向旋转 得到点F， 连接FB， FC， FP.
（1）下列三角形： ①△PCF， ②△DCB， ③△DCA， 其中是“倍勾三角形”的有　 　（填序号)；
（2）求证： CB⊥BF；
（3）连接FA，如图2，当F，E，A三点在一直线上时，△BCF是否为“倍勾三角形”，如果是，请证明；如果不是，求 的值；
（4）当△BCF为“倍勾三角形”时，直接写出所有可能的AP的长度.
6．综合与实践课上，同学们以“折纸中的角”为主题开展数学活动．
【操作判断】
（1）如图①，将边长为的正方形对折，使点与点重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使点落在边上的点处，得到折痕，折痕与折痕交于点．打开铺平，连接，，．若点的位置恰好使得．
（1）___________；
【探究提炼】
（2）如图②，若（1）中的是上任意一点，求的度数；
【理解应用】
（3）如图③，某广场上有一块边长为的菱形草坪，其中．现打算在草坪中修建步道和，使得点在上，点在上，且．请问：步道所围成的（步道宽度忽略不计）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，说明理由．
7．如图，，点为上方一点，在直线上．
（1）如图，求证：；
（2）如图，点为直线上一点，、的角平分线所在直线交于点，求与的数量关系；
（3）如图，为、之间一点，且在内部，、，当恒成立时，　 　．
8． 在△ABC中， ∠A=90°， AC=2， ∠ACB=60°， D为AB的延长线上一点， E为线段BC， BD的垂直平分线的交点，连接EC， EB， ED.
（1）如图1， BC的长为　 　.
（2）如图2，连接CD，请判断△CDE的形状，并说明理由.
（3）如图3，过点B作直线BF，使得∠BFD=∠BCE， P为直线BF上的一个动点，求PE-PD的最大值.
9．综合与实践：
浙教版作业本中有如下题材：数学活动课上，小明同学将一副三角板（三角形和三角形）的直角顶点C和D叠放在一起，固定三角板，将三角板绕顶点D转动．
（1）当转动到如图1所示位置（两块三角板没有重叠）时，求的值；
（2）作的平分线，
①如图2，若，求的度数；
②如图3，若，求的度数；
③在转动过程中，设，，请直接写出与的数量关系．
10．【综合探究】探究小组通过动手折叠一张长方形纸片来研究角度问题．
（1）【操作探究】如图1，将长方形纸片的一角折叠，使顶点落在点处，点是边上的点，为折痕，此时测量，则　 　：
（2）【深入探究】如图2，按（1）的折叠方式，将长方形纸片的一角沿EF为折痕折叠，使得恰好平分，求的度数；
（3）【拓展提升】如图3，在长方形纸片中，连接，在上取一点，沿经过点的折痕折叠，使得点落在直线上的点处，沿经过点的折痕折叠，使得点落在线段上的点处，展开后，连接，请直接用含的代数式写出两条折痕所夹的的度数．
11．“正方形中的垂直线段”是解决正方形有关问题的基本图形，小明对此进行了深入的研究与思考：
已知：四边形ABCD是正方形.
（1）【图形探究】如图1，点F是边BC上的动点（点F不与点B和点C重合），连接DF，过点A作AE⊥DF于点E，求证：△ADE∽△DFC；
（2）【深入研究】在（1）的条件下，如图2，连接BE，过点E作EG⊥BE交AD于点G.
①求证：△DGE∽△ABE；
②点F在线段BC上运动的过程中，线段GD与线段FC的长是否始终相等，若相等请证明，若不相等请说明理由；
（3）【拓展应用】如图3，点F在AD上，连接CF，点E在CF上，连接DE和AE，当∠DEA=90°且AE=4DE时，请直接写出此时的值.
12．我们给出如下定义：两个图形和，对于上的任意一点与上的任意一点，如果线段的长度最短，我们就称线段为“最佳线段”．
（1）如图，点在线段（，）上，点在过且平行于轴的直线上，最佳线段的长为　 　；
（2）点，将射线绕点顺时针旋转交轴与点，点在线段上，点在射线 上．
①点，，最佳线段的长为　 　；
②线段在轴上（点在点的左侧），且为2个单位长度，，最佳线段的长满足，写出的取值范围　 　．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：设∠ACD=α，
∵AB=AC， CB=CD，
∴∠ABC=∠ACB， ∠CBD=∠CDB，
∵∠BCD=2∠ACD=2α，
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-6α，
∵∠BAC=∠BDC，
∴180°-6α=90°-α，
∴α=18°，
∴∠ACD=18°；
（2）解：CD=BD+2DE，证明如下：
如图，过点A作AF⊥CD于点F，
∵AE⊥BD，
∴∠AEB=∠AFC=90°，
∵∠BAC=∠BDC，
∴∠ABD=∠ACD，
在△AEB 和△AFC中，
∴△AEB≌△ACF （AAS)，
∴CF=BE=BD+DE， AE=AF，
∴DA 平分∠EDF，
∴∠EDA=∠FDA，
在△AED 和△AFD中，
∴△AED≌△AFD （AAS)，
∴DE=DF，
∴CD=CF+DF=BD+DE+DE=BD+2DE；
（3）
2．【答案】（1）证明：
∵AD1=AB1，AO=AD，
（2）解：猜想：
证明：如图1，连结CC1，作C1H⊥ON于点 H，作C1G⊥CD1于点G，则有(
又‘
∴△CHC1是等腰直角三角形。∴∠C1CN=45°
（3）解：如图2，结论： 或 均可。
3．【答案】（1）AE=AF
（2）解：2AF=3AE，
证明：∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠ABC=∠D=90°，
∴∠ABE=∠D=90°，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∴∠FAD+∠FAB=90°，
∴∠EAB+∠FAB=90°，
∴∠EAB=∠FAD，
∴△ABE∽△ADF，
∴2AF=3AE；
（3）解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AB=AD， AD∥BC，
∵AE⊥BC，
∴AE⊥AD，
∵∠ABC=60°，
∴∠BAE=30°，
∵AF⊥AB，
∴∠BAF=∠EAD=90°，
∴∠BAE=90°-∠EAF=∠DAF=30°，
∵FD⊥AD， DF=1，
∴AF=2DF=2，
在 Rt△ABF中，根据勾股定理
4．【答案】（1）解：①是；②四边形 BCGE是“垂美四边形”，理由如下：如图2，设CE与BG交于点H，∵以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，∴BA= EA， AG = AC，EAB=CAG =90°，∴CAE =GAB =90°+BAC，∴ACEAGB (SAS)，∴AEC =ABG，∴HEB+HBE=HEB+ABE +ABG=HBE+ABE+AEC =90°，∴BHE =90，∴CEBG，∴四边形BCGE是“垂美四边形”；
（2）解：理由如下：
如图3，设AC与BD交于点G，
∵四边形ABCD是“垂美四边形”，
∴ACBD，CFE=AFC=EFD=90°
∴DC2=GD2+CG2，AD2=GD2+GA2，AB2=BG2+ GA2，BC2=GC2+GB2
∴DC2+ AB2=GD2+CG2+ BG2+GA2，AD2+ BC2=GD2+ GA2+GC2+GB2，
∴DC2+ AB2=AD2+BC2；
（3）或
5．【答案】（1）①②
（2）证明：设BF交PC于O，延长CB交FP的延长线与M，如图所示：
∵△DCB， △PCF都是“倍勾三角形”，
∴△DCB∽△PCF，
∴∠CBD =∠MBP =∠CFB，
∴∠BMP =∠CMF，
∴△MBP∽△MFC，
∵∠M =∠M，
∴△MCP∽△MFB，
∴∠MCP =∠MFB，
∵∠CDB =∠FOP，
∴∠CBO =∠OPF =90°，
即CB⊥BF；
（3）解：结论： △BCF不是“倍勾三角形”，
理由：如图2中，
由题意： PE = PF =CE， ∠PEF =∠AEC =45°，
设PF = PE = CE =a，
∵∠AEC =∠EAP +∠APE， ∠CAD =∠CAD +∠EAP =45°，
∴∠CAE =∠CPA，
∵∠ACE =∠ACP，
∴△ACE∽△PCA，
∴a=2，
∴PC =4， CD =2， PC=2CD，
∴∠CPD =30°， ∠DCP =∠BCF =60°，
∴∠CFB=30°，
∴△BCF不是“倍勾三角形”，
∴.
（4）1或3或6.
6．【答案】解：（1）；
（2）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∴，
∵是的角平分线，，
∴，，
∵折叠，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴；
（3）如图，过点作，垂足为，过点作，垂足为，
∵，
∴，
∵在菱形中，是的角平分线，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
过点作于点，设，
则，，
∵，即，
∴，
∴，
∴当最小时，即最小时，面积最小，
∴当时，即最小，面积最小，
如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，即，
∴
∴的面积存在最小值是．
7．【答案】（1）证明：过点P作PQAB，如图，
∵ABCD，
∴ABCDPQ，
∴∠QPE=∠PEB，∠QPC=∠C，
∴∠QPE-∠QPC=∠PEB-∠C，
即∠CPE=∠PEB-∠C；
（2）解：如图：
设∠BEM=α，∠CFN=β，
∵EM平分∠BEP，FN平分∠CFP，
∴∠PEM=α，∠PFN=β，
由（1）中结论可得∠P=∠PEB-∠PFD，∠Q=∠CFQ-∠AEQ，
∴∠P=∠PEM+∠BEM-（180°-∠CFN-∠PFN）
=α+α-（180°-β-β）=2α+2β-180°，
∠Q=180°-∠CFN-∠BEM=180°-β-α，
∴2∠Q+∠P=360°-2β-2α+2α+2β-180°=180°，
即2∠Q+∠P=180°；
（3）1
8．【答案】（1）4
（2）解：△CDE为等边三角形，理由如下，
∵点E为线段CB，BD的垂直平分线的交点，
∴EC=EB=ED，
∴∠ECB=∠EBC，∠EBD=∠EDB.
∵∠CAB=90°，∠ACB=60°，
∴∠CBA=90°-60°=30°，
∴∠CBD=180°-30°=150°，
∴∠ECB+∠CBD+∠EDB=300°
∴∠CED=360°-300°=60°，
又∵EC=ED，
∴△CED为等边三角形
（3）解：连接CD，由(2)得，△CDE为等边三角形，
∴∠CDE=60°， CD=DE，
如图，作点D关于直线BF的对称点D'，连接BD'，DD'，ED'.
∴PD=PD'，
∴ PE-PD=PE-PD'∵∠BFD+∠BFE=180°， ∠BFD=∠BCE，
∴∠BCE+∠BFE=180°，
∴∠CBF+∠CEF=180°.
∵∠CED=60°，
∴∠CBF=120°，
∴∠CBA=∠FBD=30°，
∴∠DBF=∠FBD'=30°，
∴∠DBD'=60°.
∵BD=BD'，
∴△BDD'是等边三角形，
∴ DB=DD' ， ∠BDD'=∠CDE=60°，
∴∠CDB=∠EDD'.
∴△CDB≌△EDD'(SAS)，
∴CB=ED'.
∵∠A=90°，∠CBA=30°，
∴CB=2CA，
∴ PE-PD=2CA=4.
9．【答案】（1）解：由题意得：
所以
（2）解：①因为，
所以
因为平分，
所以
所以
由（1）得
所以
②因为，
所以
因为平分，
所以
所以
所以
③或或
10．【答案】（1）70
（2）解：设，
∵使得恰好平分，
∴，
∴，
由折叠的性质得，
∴，
解得，
∴。
（3）或
11．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC=∠C=90°，
∵AE⊥DF，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，∠FDC+∠ADE=90°，
∴∠EAD=∠FDC，
∴△ADE∽△DFC．
（2）①证明：∵EG⊥BE，AE⊥DF，
∴∠BEG=90°，∠AED=90°，
∴∠BEA+∠AEG=90°，∠AEG+∠GED=90°，
∴∠BEA=∠GED，
∴∠EAD+∠ADE=90°，∠BAE+∠EAD=90°，
∴∠BAE=∠GDE，
∴△DGE∽△ABE；
②GD=FC，理由如下：
∵△DGE∽△ABE，△ADE∽△DFC，
∴，，即，，
故．
∴，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CD，
∴GD=FC．
（3）
12．【答案】（1）3
（2） ；0≤m≤5
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑