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2026年江苏省南京市中考数学压轴题系列：图形的相似
1．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，过点A的直线l3和l4分别与l2相交于B，C两点，过点A作AD⊥BC于点D，点D关于直线l3对称的点恰好在直线l1上.E是线段AD上一点，且点C和点E关于过点D的某条直线对称，连接BE并延长与AC相交于点F，连接DF，AD=4.
（1）求AB的长；
（2）猜想线段BF，AF和DF的数量关系，并证明你的结论；
（3）当点E为线段AD的中点时，求的值.
2．在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，分别在轴，轴上，反比例函数的图象分别与矩形的边，相交于点，．
（1）如图1，若，，连接，．
①求与的数量关系；
②探究点，是否分别为线段，的中点，并证明；
（2）如图2，过点作，垂足为点，连接，．当时，探究点，是否分别为线段，的黄金分割点，并证明．
3．如图，在中，，，正方形的边长为2，将正方形绕点旋转一周，连接、、．
（1）猜想：的值是__________，直线与直线相交所成的锐角度数是__________；
（2）探究：直线与垂直时，求线段的长；
（3）拓展：取的中点，连接，直接写出线段长的取值范围．
4．在中，，点D，E分别在边上（不与A，B，C重合），将线段绕点E顺时针旋转得到线段．
（1）如图1，当点F与点C重合时，求证：；
（2）如图2，当点F在边时，作，交于点G，试说明与有何数量关系，并证明；
（3）如图3，若点E为中点，，当点F在线段上时，求此时线段的长．
5．如图，点O是边长为12的正方形对角线的交点，点E是线段上一动点且，把线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，，，其中与交于点G，与交于点H．
（1）若时， ______；
（2）探究与的关系，并说明理由；
（3）连接，设，的面积为S，求S与x的函数关系式，并求出S的最大值．
6．如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值；
（3）若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
7．如图，直线与双曲线（）交于A，B两点，点A的坐标为，点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且．
（1）求k的值并直接写出点B的坐标；
（2）点G是y轴上的动点，连接，，求的最小值；
（3）P是坐标轴上的点，Q是平面内一点，是否存在点P，Q，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
8．小赵在学习完相似三角形后，把两个相似但不全等的三角形纸片作为操作对象进行相关问题的研究，下面是他在操作纸片过程中研究的问题．
请你解决这些问题：
（1）把两个三角形按如图1方式摆放，若，则_____；
（2）如图2，把绕点旋转一定的角度，连接线段、．请写出与的关系并说明理由；
（3）如图3，延长交的延长线于点，交于点，若，求的度数．
9．如图1，在和中，，，．
（1）如图1，连接，，，，求的长；
（2）如图2，在（1）的条件下，将绕点旋转，点恰好落在的中线的延长线上，延长交于点，求的值；
（3）在（1）的条件下，绕点旋转过程中，以、、为顶点能构成直角三角形．请直接写出所有满足条件中锐角的正切值．
10．定义：在中，如果有一条对角线的长等于其中一条边的长，则称这个平行四边形为“字平行四边形”．
（1）下面的图形中是“字平行四边形”的有：　 　；
A．正方形 B．矩形 C．有一个角是的菱形
D．有一个角是的平行四边形 E．有一个角是的平行四边形
（2）在“字平行四边形”中，，，则　 　．
（3）如图，在“字平行四边形”中，，，点是边上一点，，与的延长线交于点，若为“字平行四边形”，求的值；
（4）如图，在矩形中，点、分别是边和边上的点，四边形为“字平行四边形”，若，求的值．
11．【阅读】“关联”是解决数学问题的重要思维方式，角平分线的有关联想就有很多……
（1）【问题提出】如图（a），AD是△ABC的角平分线，求证：
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，利用“三角形相似”；
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，过点D分别作DE⊥AB交AB于点E，作DF⊥AC交AC于点F，利用“等面积法”；
请根据小明或小红的思路，选择其中一种并完成证明.
（2）【理解应用】填空：如图（b），平行四边形ABCD中，AB=6，BC=8，AC=7，BE平分∠ABC交AC于点E，则CE的长度为　 　；
（3）【深度思考】如图（c），矩形ABCD中，点E是对角线AC上一点，连接BE，将△ABE沿BE所在直线折叠，点A恰好落在边BC上的点F处.若AB=3，BC=4，求EF的长；
（4）【拓展升华】如图（d），正方形ABCD中，G为CD上一点，连接BG，将DG沿过点G的直线折叠，使点D的对应点D'落在BG上，折痕与AD交于点H，与BC的延长线交于点E.若求CE的长.
12．综合运用
在矩形中，以点O为坐标原点，分别以所在直线为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，点E是射线上一动点，连接，过点O作于点D，交直线于点F．
（1）如图1，当矩形是正方形时，若点E在线段上，线段与的数量关系是 ▲ ；若，，求的长；
（2）如图2．当点E在线段上，且，以点F为直角顶点在矩形的外部作直角三角形，且，连接，交点G，求的值；
（3）如图3，若点，点，点E在线段的延长线上，点F在线段的延长线上，，，连接，取的中点M，连接，取的中点N，连接，过点D作于点K，设，，请直接写出：
①　 　；
②m关于n的函数关系式：　 　．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：如图，设点D关于直线l3对称的点为P，连接PD交AB于O，连接PB，
则AP=AD，PB=BD，OP=OD，AB⊥PD
∵直线l1//l2，
∴∠APD=∠BDP， ∠PAO=∠DBO
∴△AOP≌△BOD(AAS)
∴AP=BD
∵AP//BD
∴四边形APBD是平行四边形
∵AB⊥PD
∴四边形APBD是菱形，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴四边形APBD是正方形
∴AD=BD=4
∴
（2）解：；
理由如下：
过D作DH⊥DF交BF于H，
∵点C和点E关于过点D的某条直线对称，
∴DE=CD，
∵AD=BD，∠BDE=∠ADC=90°，
∴△BDE≌△ADC（SAS），
∴∠DBE=∠DAC，
∵∠FDH=∠ADB=90°，
∴∠BDH=∠ADF，
∴△BDH≌△ADF（ASA），
∴DH=DF，BH=AF，
∴△HDF是等腰直角三角形，
∴HF=DF，
∴BF=BH+HF=AF+DF
（3）解：过D作DN//BF交AC于N，
∵点E为线段AD的中点，
∴AF=FN，，
∵DN//BF，
∴
∴
∴FN=2CN
∴AF=FN=2CN， CF=3CN
∴=
2．【答案】（1）解：①∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，，
当时，则；
当时，则，解得；
∴，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，（不符合题意，舍去），
∴，，，
又∵，
∴；
②点，分别为线段，的中点，证明如下：
由①得，，，
∵，，
∴，，，，
∴，，
∴点，分别为线段，的中点；
（2）解：点，分别为线段，的黄金分割点，理由如下，
∵，
∴，
∵，
∴
∴．
设，，
∴，，，．
∴．
∴，即．
∴点为线段的黄金分割点．
∵，
∴．
∵，，
∴．
∴点为线段的黄金分割点．
3．【答案】解：（1），；
（2）∵是腰长为4的等腰直角三角形，四边形的边长为2的正方形，
∴，，，
∴，，
∴．
∴，
∴．
∵，
∴当时，、、三点在一直线上时，
在中，∵，
∴．
如图2，当点在线段上时，
，
∴；
如图3，当点在线段延长线上时，
，
∴．
综上所述，当时，线段的长为或；
（3）．
4．【答案】（1）证明：连接，
由题意得：，
∴，
∴，，
∴，
∴
（2）结论：．
在上取点M，使得，取中点N，连接，
∵，
∴，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴，.
∵为直角三角形斜边中线且，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴
（3）解：如图，作，交于点H，在中，，
∴.
∵点E是的中点，
∴.
根据勾股定理，得．
∵，
解得.
在，
则，
∴，
∴．
如下图所示，过点D作于点I，连接，过点E作于点L，过点F作点J，
设，，
∴，
根据勾股定理，得.
同理，在中，令，则，，
∵，
∴．
∵，，
∴.
∵是的外角，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，，
即，，
解得，．
∴．
∵，
∴，
即，
∴，
∴
5．【答案】（1）
（2）解：，，理由如下：
如图，作交于，
，
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
由旋转的性质可得：，，
∴，即，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，作交于，作于，于，
，
∵点O是边长为12的正方形对角线的交点，
∴，，，，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
由（2）可得：，，
∴，
∴，
∵，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴当时，S的值最大，为．
6．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于，对称轴：直线，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为
（2）解：令，则，令，则，
解得，
∴，，
设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
过作轴交直线于，过作轴交直线于，则，
∴，
∴，
当时，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，最大，此时，
∴当的值最大时，点的坐标为，最大值为
（3）解：不存在，理由如下：
过作轴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点是直线上方的抛物线上的动点，点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，
∴在内部，
∴，
假设存在以为顶点的四边形为正方形，
∴必定是等腰直角三角形，
∴或，与矛盾，
∴假设不成立，
∴不存在以为顶点的四边形为正方形
7．【答案】（1）解：将点A的坐标为代入直线x中，
得，
解得：，
，
，
反比例函数解析式为，
点B的坐标为(2，3)；
（2）解：如图1，作轴于点E，轴于点F，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点G，
则即为的最小值，
，
，
；
（3）解：存在．理由如下：
①当点P在x轴上时，如图2，设点的坐标为，
过点B作轴于点E，
，
，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为；
②当点P在y轴上时，过点B作轴于点N，如图2，
设点的坐标为，
，
，
，
，
即，
，
点的坐标为；
综上所述，点P的坐标为或．
8．【答案】（1）
（2）解：，理由如下，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：由（2）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
9．【答案】（1）解：在和中，，∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：如图，过点作于，
∵点恰好落在的中线的延长线上，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
由旋转的性质得：，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，即，
解得：，
∴，，
∴，
∴，
∴
（3）或或
10．【答案】（1）C
（2）
（3） 证明：连接，，
在字中，，，
，，
，
，
，
由大角对大边可得，，
若为“字平行四边形”，只能分为以下几种情况
①当时，，
过点作于点，
可得点为的中点，，，
又，
，
，；
②当时，，
此时，，矛盾；
综上，若为字平行四边形，；
（4）过点作于点，过点作于点，
四边形为矩形，
，，，
四边形为平行四边形，
，，
，，
即．
四边形为字平行四边形，
又，．
有以下两种情况：
①当时，
，
为的中点，
．
在矩形中，，
又，
，
，
，
；
②当时，
，
为的中点，
，
设，
则，，．
，
．
，
，
，
，
由可得．
，
．
综上，或．
11．【答案】（1）解：小明思路：过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E，
∴∠ACE=∠DAC，∠E=∠BAD，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD=∠DAC，
∴∠ACE=∠E，
∴AE=AC，
∵CE∥AD，
∴，
∴，
小红思路：过点D作DE⊥AB交AB于点E，作DF⊥AC交AC于点F，过点A作AG⊥BC交BC于点G，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴DE=DF，
∴S△ABD：S△ACD=(×AB×DE)：(×AC×DF)=AB：AC，
∵S△ABD：S△ACD=(×BD×AG)：(×CD×AG)=BD：CD，
∴
（2）4
（3）解：∵将△ABE沿BE所在直线折叠
∴∠ABE=∠EBC，AE=EF，
∴，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠ABC=90°，
∵AB=3，BC=4，
∴AC=5，
∴，
∴AE=，
∴EF=AE=，
（4）方法1：连接CD'，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，
∵BG=4，BC=8，
∴GC=4.
∴GD=DC﹣GC=8﹣4=4.
∵将DG沿过点G的直线折叠，
∴GD'=GD，∠DGH=∠HGD'=∠DGD'，
∴GD'=GC=4，
∴∠GD'C=∠GCD'，
∵∠GD'C+∠GCD'=∠DGD'，
∴∠GD'C=∠DGD'，
∴∠GD'C=∠HGD'
∴CD'∥GE，
∴，
∴，
∴CE=2+2.
方法2：过点E作EC'⊥BG，交BG的延长线于点C'，
∵将DG沿过点G的直线折叠，
∴∠CGE=∠C'GE，
.∴EC=EC'，
∴S△GBE：S△GCE= (×GB×EC')：(×GC×EC)=GB：GC，
∵S△GBE：S△GCE= (×BE×GC)：(×CE×GC)=BE：CE，
∴
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BCD=90°，
∵BG=4，BC=8，
∴GC=4，∴，
∴CE=2+2.
12．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵矩形是正方形，
∴，，
在与中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，；
（2）解：是直角三角形，
又
∴四边形是平行四边形
，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
；
（3）；
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