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2026年江苏省南京市中考数学压轴题系列：一次函数
1．如图1，共享单车停放点和图书馆C依次在一条东西走向的道路上．甲、乙两人从两停放点之间的P点处同时出发，去往图书馆．甲步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，乙步行去停放点B，然后骑共享单车去往图书馆．已知甲乙两人步行速度均为75米分，两人到图书馆的距离s（米）与时间t（分）的函数关系如图2所示．
（1）求停放点之间的距离；
（2）求甲追上乙的时间；
（3）若乙改为先步行去停放点A，然后骑共享单车去往图书馆，会比原来更早到达图书馆吗？相差多少分钟？
2．如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数的图象交于第一象限C（1，4），D（4，m）两点，与坐标轴交于A、B两点，连接OC，OD（O是坐标原点）.
（1）求一次函数与反比例函数的解析式.
（2）当ax+b＜时，直接写出x的取值范围.
（3）将直线AB向下平移多少个单位长度，直线与反比例函数图象只有一个交点？
3．定义：P（x，y）与Q（y，x）为“对偶点”，对于函数y=f（x），若至少有一组对偶点在其图象上，且x≠y，则称该函数为“湖湘对偶函数”.
（1）判断函数y=2x+1是不是“湖湘对偶函数”，若是，求出一组“对偶点”；
（2）若二次函数y=x2+mx+n是“湖湘对偶函数”，且有唯一“对偶点”，求m，n的关系式（请用含m的式子表示n）；
（3）已知二次函数y=-x2+4x+k的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C，且点H（9，2）的“对偶点”在函数图象上，点P是函数图象上一动点，当△PAB的面积是△ABC面积的2倍时，求点P的坐标.
4．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：
信息一
A型机器人台数 B型机器人台数 总费用 （单位：万元)
1 3 260
3 2 360
信息二
A型机器人每台每天可分拣快递22万件； B型机器人每台每天可分拣快递18万件。
（1）求A、B两种型号智能机器人的单价；
（2）现该企业准备购买A、B两种型号智能机器人共10台，费用不超过700万元，选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多
5．定义：在平面直角坐标系xOy中，一个图形上的点都在平行于x轴的矩形内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.
请根据以上信息，解答以下问题：
（1）如图，矩形OABC是某一次函数的关联矩形，其中自变量x的取值范围为0≤x≤3，试求出该一次函数的表达式.
（2）若二次函数.的图象的关联矩形恰好也是矩形OABC，求a与m的值.
6．我们不妨约定：如果一个函数的图象上存在不同两点关于y轴对称，那么我们称这样的对称点为”欣妮对”，这样的函数为”BY对称函数”.
（1）判断函数y=kx+b（k，b为常数）是否为”BY对称函数”，并说明理由.
（2）若关于x的函数是“BY对称函数”，且仅有一组“欣妮对”，求a的取值范围。
（3）已知“BY对称函数”y=x2+bx+c经过点A（0，-4），且与经过原点O的直线交于B，C两点，过点F（0，f）（其中f＜0）作x轴的平行线，分别交直线AB，AC于点D，E，是否存在常数f，使OE⊥OD恒成立？若存在，请求出f的值；若不存在，请说明理由.
7．如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点为线段上一点，且，连接、，求；
（3）如果一个矩形的长宽之比为，我们把该矩形称为“倍边矩形”．请探究，在平面内是否存在、两点（点在直线上方），使得四边形为倍边矩形，若存在，请求、两点的坐标；若不存在，请说明理由．
8．如图1，已知函数与轴交于点，与轴交于点，点与点关于轴对称．
（1）求直线的函数解析式；
（2）设点是轴上的一个动点，过点作轴的平行线，交直线于点，交直线于点．
①若的面积为，求点的坐标；
②连接，如图2，若，求点的坐标．
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y=kx+b与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点B（10，0），点P是直线y=2x上的一个动点，且不与点O重合，连接PA，PB.
（1）求直线l的表达式；
（2）若△PAB的面积为，求点P的坐标；
（3）探究是否存在点P，使得∠BPO=2∠APO？若存在，请求出此时点P的纵坐标；若不存在，请说明理由.
10．【定义1】如图1，在平面内，直线，点A、B分别为直线、上的点，当时，线段的长称为平行线、之间的距离，记为．
【定义2】如图2，在平面内，点P为直线l外一点（l既不是水平方向也不是竖直方向的直线），过点P分别作竖直方向和水平方向的直线，分别交直线l于点E、F，我们称折线为点P关于直线l的“7字形路径”，“7字形路径”的长度（即）称为点P关于直线l的“7字形距离”．
【定义理解】（1）如图3，与是等腰直角三角形，，．① ，②点E关于直线的“7字形距离”为 ．
【定义应用】（2）如图4，在平面直角坐标系中，已知直线，将直线向上平移5个单位得到直线，直线分别与x、y轴交于点A、B，直线分别与x、y轴交于点C、D．
①求；
②求点B关于直线的“7字形距离”．
【拓展应用】（3）如图5，在平面直角坐标系中，已知直线，将直线沿y轴平移m个单位得直线，点P为直线上的动点．若点P关于直线的“7字形距离”为，求直线的表达式，并直接写出．
11．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，若点满足，，那么称点T是点A，B的“合作点”，例如：，，当点满足，时，则点是点A，B的“合作点”．
（1）已知点，，点T是点A，B的“合作点”，求出点T的坐标；
（2）若点是抛物线上一动点，点，点是点A，B的“合作点”，试求出T中y关于x的函数表达式；
（3）把（2）中y关于x的函数图象向上平移3个单位得到新函数图象G，设新函数G的图象与y轴交于点C，直线上总有点D，使得点C，D的“合作点”T落在新函数G的图象上，求出m的取值范围．
12．定义：在平面直角坐标系中，若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且点与点关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为这两个函数的“对偶值”．
【问题探究】
【概念初探】
（1）已知函数与函数具有“对偶关系”，请求它们的“对偶值”；
【模型构建】
（2）如图①，将直线向下平移个单位长度得到直线．若直线与的“对偶值”为，求与满足的关系式；
【深度探索】
（3）如图②，直线与轴、轴相交于A、B两点，直线与轴相交于点，直线上是否存在一个点，使得，且的面积等于3？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）解： 75×6+75×14=1500（米），
答：停放点之间的距离1500米；
（2）解法一：（米/分），
时的路程差：（米），
（分），
（分），
答：甲追上乙的时间为10分钟．
解法二：（米），（米）．
（米），
．
设，
将和代入，
得
，
．
设，
将和代入，
得
，
．
当时，，解得．
答：甲追上乙的时间为10分钟．
（3）解：（米/分），
（分），
（分）．
答：会比原来早到2分钟．
2．【答案】（1）解：∵C（1，4）在反比例函数图象上，
∴k=1×4=4，
∴反比例函数解析式为：，
∵D（4，m）在反比例函数图象上，
∴m=1，D（4，1），
∵C（1，4），D（4，1）在一次函数y=ax+b的图象上，
，解得：
∴一次函数解析式为：y=-x+5；
（2）解：根据图像，不等式ax+b＜的解集为：0＜x＜1或x＞4；
（3）解：设直线AB向下平移m个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点，
则平移后的解析式为y=-x+5-m，
联立两个函数得：，整理得：x2-（5-m）x+4=0，
Δ=（5-m）2-4×1×4=0，
∴5-m=±4，
m=9或1，
∴直线AB向下平移1或9个单位长度时，直线与反比例函数图象只有一个交点．
3．【答案】（1）函数y=2x+1不是“湖湘对偶函数”
（2）
（3）点P的坐标为或
4．【答案】（1）解：设A种型号智能机器人的单价为x万元，B种型号智能机器人的单价为y万元，
由题意得：
解得：
答：A种型号智能机器人的单价为80万元，B种型号智能机器人的单价为60万元；
（2）解：设该企业需要购买A型智能机器人a台，则需要购买B型智能机器人（10-a)台，
由题意得： 80a+60（10-a) 700，
解得： a·5，
设每天分拣快递w件，
则w=22a+18（10-a)=22a+180-18a=4a+180，
∵4>0，
∴当a=5时， w最大，
此时10-a=5，
∴该企业需要购买A型智能机器人5台，则需要购买B型智能机器人5台，能使每天分拣快递的件数最多.
5．【答案】（1）设y=kx+b（k≠0），由题意可知当一次函数图象经过点C（0，4），A（3，0）时，有解得∴y=x+4
当一次函数图象经过点O（0，0），B（3，4）时，有
解得
∴y=x
综上，该一次函数的表达式为或
（2）∴其对称轴为直线x=2.
∵二次函数.的图象的关联矩形是矩形OABC，
∴当a>0时，图象经过点（0，4），（2，0），则解得
当a<0时，图象经过点（0，0），（2，4），
则解得
∴a=1，m=0或a=-1，m=4
6．【答案】（1）解：当时，函数（，为常数）是“对称函数”，当时，函数（，为常数）不是“对称函数”，理由如下：
当时，，此时函数图象上存在关于轴对称的点，故此时函数（，为常数）是“对称函数”，
当时，不存在关于轴对称的点，
若存在，设其中一点，则关于轴的对称点为，
∵，
∴不在函数图象上，
故当时，函数（，为常数）不是“对称函数”；
（2）解：∵关于的函数是“对称函数”，
∴设，，， 且点，关于轴对称，
∴，，
∴，
∴，
∵仅有一组“欣妮对”，
∴，
∴；
（3）解：存在常数，使恒成立，
∵“对称函数”经过点，
∴，
∴，
∵是“对称函数”，
∴函数的对称轴是轴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵直线与直线的交点为，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∵直线经过点，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：，，
∴，
∵直线与直线的交点为，
∴，
设经过原点O的直线的解析式为，
将，代入解析式可得：，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
整理可得：，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴存在常数，使恒成立．
7．【答案】（1）解：由题意得：，
则反比例函数的表达式为：，
将点的坐标代入上式得：，
即点，
由点、的坐标得，，
解得，
直线的表达式为：；
（2）解：连接、，
由一次函数的表达式知，点，
则，
，
则；
（3）解：存在，理由：
由题意得，，，
过点作轴的平行线分别交过点、和轴的平行线于点、，则∠M=∠N=∠APB=90°，
∴∠MAP+∠MPA=∠BPN+∠MPA=90°，
∴∠MAP=∠BPN，
∴△AMP∽△PNB，
则和的相似比为，
设，，
则，，
则且，
解得：，，
则点，
由中点坐标公式得：点，
当时，
则和的相似比为，
设，，
则，，
则且，
解得：，，
则点，
由中点坐标公式得：点，
即、点或点、点．
8．【答案】（1）解：当时，，由得：，解得，
∴，，
∵点与点A关于轴对称，
∴ ，
设直线的函数解析式为，
则，解得．
∴直线的函数解析式为.
（2）解：①设，则、，
如图1，
过点作于点，
∴，，
∴，
解得，
∴，或，
②如图，
当点在轴的左侧时，∵点与点A关于轴对称，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
，，，
，
解得．
．
当点在轴的右侧时，如图3，
同理可得，
综上，点的坐标为或．
9．【答案】（1）解：把A（0，5），B（10，0）代入y=kx+b得：，
解得，
∴直线l的表达式为yx+5；
（2）解：过P作PM∥y轴交直线AB于M，如图：
设P（p，2p），则M（p，p+5），
∴PM=|2p﹣（p+5）|=|p﹣5|，
∵△PAB的面积为，
∴|p﹣5|×10，
解得m=5或m=﹣1，
∴点P的坐标为（5，10）或（﹣1，﹣2）；
（3）解：存在点P，使得∠BPO=2∠APO，理由如下：
设直线y=2x交直线l于点C，作点A关于直线y=2x的对称点K，连接PK，过K作KH⊥BP于H，如图：
设P（m，2m），
由解得，
∴C（2，4），
∵B（10，0），O（0，0），
∴OC2=20，BC2=80，OB2=100，
∴OC2+BC2=OB2，
∴∠BCO=90°=∠ACO，
∵A，K关于直线y=2x对称，
∴K在直线l上，AC=CK，即C为AK中点，且∠APC=∠KPC，
由中点坐标公式可得K（4，3），
∴AC=CK，BK=3，
∴，
∵∠BPO=2∠APO，∠APC=∠KPC，
∴∠BPO=2∠KPC，
∴PK是∠BPO的平分线，
∵KH⊥BP，∠BCO=90°，
∴CK=CH，
∴，
∴，即PB=3PC，
∴3，
解方程并检验得m=2或m=2，
∴2m=4+2或2m=4﹣2，
∴点P的纵坐标为4+2或4﹣2．
10．【答案】（1）①，②4；
（2）①由题意可知是由向上平移5个单位长度得到的；
如图，过点O作交于点F，交于点E，由可知，容易得到，均为直角三角形，
由，
令，得，则，；
令，得，则，；
由，
令，得，则，即；
令，得，则，即；
由等面积法可知，
则，，
∴；
②如图，过点B作x轴的平行线交于点G，则点B关于直线的“7字形距离”为，
，
∵，，
∴，
对于，令，得，则，
∴
．
（3）由题意可得，
设，过点P作轴交于点M，过点P作轴交于点N，
对于，令，则，可得；
令，则，即，可得，
，，
，
点P关于直线的“7字形距离”为，
，
，即，
或，即或
当时，同上得；
当时，同上得．
11．【答案】（1）解：∵点T是点A，B的“合作点”，
∴，，
即点的坐标为；
（2）解：∵点是抛物线上一点，
∴，
∵点是点A，B的“合作点”，
∴，
将①变形得，，
代入②得，，
即y关于x的函数表达式是y=x2-2x。
（3）解：由函数平移的性质，可得函数G的表达式为，
当时，，
∴点C坐标为，
设点D的坐标为，则点C，D的“合作点”T坐标为，
∵点T落在新函数G的图象，
∴，
变形得，，
根据形式判断为二次函数，其开口向上，对称轴为直线，最小值为，
∴，
12．【答案】解：（1）设点在函数的图象上，
函数与函数具有“对偶关系”，
点关于轴的对称点在函数的图象上，
，
又，
，解得，
当时，，
它们的“对偶值”为；
（2）直线向下平移个单位长度得到直线，
直线的解析式为，
直线与的“对偶值”为，
设点在直线上，则点关于轴的对称点在直线上，
，，
，解得，
，
则与满足的关系式为；
（3）点在直线上，
设，
直线与轴相交于点，
，则，
第一种情况，如图②，在直线上取点，连接，
，
，
则直线的解析式为，
，
，解得，
的面积等于3，
，解得，
，
；
第二种情况，
如备用图，在直线上取点，连接，并延长交于点，
直线与轴、轴相交于A、B两点，
当时，，当时，，即，
，，
，，
，
，
，，
，
，
则，即是的中点，
，即，
设直线的解析式为，
，解得，
，则，
，解得，
的面积等于3，
，解得，
，
；
综上：存在，的值为或．
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