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2026年江苏省南京市中考数学压轴题系列：圆
1．如图1，是的直径，是的弦，的平分线交于点B，交于M，连接．
（1）填空：__________，__________，__________；（直接将结果写在相应的横线上）
（2）如图2，过点D作，垂足为N，若，求的值；
（3）如图3，记，，
①试用含m，n的式子表示；
②若点I是的内心，试用含m，n的式子表示．
2．学校数学兴趣小组探究如下数学问题：边长为2的正方形ABCD内如何放置一个边长尽可能大的正六边形EFGHIJ（可与正方形边接触）.
小组成员提出以下两种方案：
方案一：如图1，正六边形一边落在边BC上，顶点J，G分别在两边AB，CD上.
方案二：如图2，正六边形四个顶点E，G，H，J分别在四条边上.
请分别求出以上两种方案中正六边形的边长，并比较哪种方案的正六边形边长更大.
3．如图，已知AE是⊙O的直径，D是⊙O上一点.过D作直线DB与AE的延长线交于B点.过点A作AC⊥BD于C点， 连结AD、DE， 且∠AED=∠ADC．
（1） 求证： 直线BC 是⊙O 的切线；
（2） 若求DE与BD的长度；
（3） 在 (2) 的条件下， 若F为 上的一动点，且F 在直线AB 上方，连结AF 、DF 、EF．当四边形ADEF 面积最大时，求DF 的长度．
4．已知，的半径为10，是的弦，．
（1）如图1，作弦，若满足，则______；
（2）若C，D是圆上两点，且满足．
①如图2，连接，求的长；
②在圆上截取（点A，F不重合），连接，，分别交线段于点M，N．当点N恰为的中点时，求的面积．
5．在平面直角坐标系中，点A在半径为1的上，B，C为平面内不重合的两点，对于与直线给出如下定义：称点A到直线的距离为与直线关于点A的理想距离，记为，特别地，点A在直线上时，．
（1）已知，．
①若，则________，若，则________；
②若点C在直线上，则的取值范围是________；
（2）若点，且，点B在函数的图象上，对于每一个点B，记的最大值为d，直接写出d的取值范围以及d最小时点C的坐标．
6．如图①，已知正方形是边长为4，以为直径在正方形内作半圆，是半圆上的动点（不与点、重合），连接、、、．
（1）当的面积最小时，则______；
（2）如图②，以点为原点，边所在直线为轴，边所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，连接，设点坐标为．
①当线段与半圆相切时，求点的坐标；
②将、、的面积分别记为、、，令，求关于的函数关系式；当取最大值时，请求出点的坐标和的最大值．
7．如图，四边形是的内接四边形，．
（1） ；
（2）如图2，若半径．
①求证：；
②若，求的值．
（3）如图3，过作于点，交于点，的延长线恰好经过点F，若，，求的长．
8．在中，点C在直线的上方．
（1）如图1，，点D在边上，且 ，若，求线段的长；
（2）如图2，点E为外一点， ，，猜想 之间的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3， ，点P是射线上一动点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转到得线段，连接，直接写出的最小值．
9．已知点A， B， E， F是⊙O上的四个点， 且弦 于点M.
（1）如图1，点A 是弧 EBF的中点，在探究 EM，BM，BF之间的数量关系时，圆圆同学提出解决的思路：在EB上截取EC=BF，连结AC，可以通过证明三角形全等，从而得到有关线段的等量关系.请你帮圆圆同学写出完整的探究过程.
（2）如图2， △AEF是等边三角形， 若 ，利用(1)的结论，求 的周长.
（3）如图3， 若 ， 连结EA， 求 的度数.
10．已知：在等腰直角中，，．点是平面上不与点、点重合的一点，连接，线段绕点逆时针旋转得到，连接、、．
（1）如图1，当点在延长线上时，则的度数为 ▲ ，并说明理由；
（2）如图2，当点在的延长线上时，若，求的面积；
（3）如图3，点、分别是、的中点，点在直线上，当点、、共线时，请直接写出与的数量关系．
11．如图，内接于，点是上的一个动点．
（1）如图1，若的半径为，，求的长．
（2）如图2，连接，．若，求的度数．
（3）如图3，过点作．若，，对于的任意长度，都有的值是一个定值，求的值．
12．如图，在中，弦的长为6，于点D，点A是上的动点（不与点B，C 重合），且为锐角，连接．
（1）若是的直径，且，求的面积；
（2）若面积的最大值为12，
①求线段的长；
②点E是线段上的一点，连接DE，若，求线段的最大值．
答案解析部分
1．【答案】（1）
（2）2
（3）①；②
2．【答案】解：方案一：当正六边形一边落在边BC上，顶点J，G分别在两边AB，CD上时，连结JG，如图，则JG的长度即为正方形的边长，也是正六边形边长的两倍，所以此方案中正六边形的边长为1.

方案二：正六边形四个顶点E，G，H，J分别落在四条边上.
由题意得HG∥JE，且HG=JE，
AB∥CD，BC∥AD，∠B=∠D=90°.
连结JG，EG，如图.

所以
所以∠BJG-∠EJG=∠DGJ-∠HGJ，
即∠BJE=∠DGH，所以△BEJ≌△DHG，所以BJ=DG.
因为，
∴，
∵，
∴，
所以
所以
因为BE+EC=CG+DG，即
所以
所以BJ=BE，
所以
所以
所以
所以
因为
而
所以
所以
所以方案二中的正六边形边长比方案一中的边长大
3．【答案】（1）证明： 连接OD， 则OD=OE，
∵AE是⊙O的直径，
∵OD是⊙O的半径；
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）解： D，
解得BD=0(舍去)或
（3）解：当四边形ADEF面积最大时， 面积最大，点F到AE的距离最大，点F是 的中点，
过A作 于G， EH⊥DF于H，
与 是等腰直角三角形，
∴四边形ADEF的面积
4．【答案】（1）90°
（2）解：①连接并延长，交于点E，连接，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵为直径，
∴，
∵的半径为10，，
∴在中，根据勾股定理得：，
∴．
②如图，连接，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图2，当点C与点F重合时，点M与点F重合，即点M在上，
∴此时点C、F、M重合，
∵点N是的中点，，即
∴，且为直径，
∴，
∵，
∴BC=AB=10，
∴，
∴的面积为．
当点C与点F不重合时，连接、、、，如图3所示，
∵，
∴，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
把绕点B逆时针旋转得到，连接交于点G，如图3所示，
则，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
过点B作于点P，如图3所示：
∴，
∴，
∴；
综上，的面积为或．
5．【答案】（1）①1；2.
②
（2）解：d的取值范围是，点C的坐标为或.
6．【答案】（1）
（2）解：①如图，连接交于点，过P作于点．
∵线段、分别与半圆相切，
∴，
∴，垂直平分，
∴，，
∵是直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，．
∵，
∴，
∴点坐标；
②如图，过点分别作，，垂足分别为、，延长交于点，则．
∵点坐标为，
∴，，，
∴，，，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴当时，，有最大值是8，
点坐标为．
7．【答案】（1）
（2）①证明：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②连接，连接延长交于点，
，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴.
（3）解：过点作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
同（2）可得：，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设，，则，，
在和中，，
∴，
∴，，，
∵，，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
8．【答案】（1）解：设，则，
∵，
∴，
∴，
解得：，
∴，
则（负值舍去）；
（2）解：，理由如下：
过点C作的平行线交于点G，
∵ ，，
∴A、C、E、B四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：PQ的最小值为：.
9．【答案】（1）解：∵A是的中点，
∴AE=AF，
在△AEC和△AFB中，
∵AE=AF，∠AEC=∠AFB，EC=BF ，
∴△AEC≌△AFB(SAS)，
∴AC=AB，
又∵AM⊥EB，
∴MC=MB，
∴EC+CM=BM+BF，
即EM=BM+BF.
（2）解：∵∠BEA=45°，AE=20， ∠AME=90°
由(1) 知：
∵△AEF 是等边三角形，
∴EF=AE=20，
∴C△BEF
（3）解：在EB延长线上截取BC=BF=19，
连接AC，AF，FC，
不妨设∠AEB=α， 则∠AFB=α，
∵EB=25，BM =3，
∴EM=MC=22，
∵MA⊥EB，
∴EA=AC，∠AEB=∠ACB=α，
∵BC=BF，
∴∠BFC=∠BCF，
∴∠AFC=∠ACF，
∴AF=AC，
又∵EA=AC，
且
10．【答案】（1）解：的度数为，
理由如下：过作于，如图所示：
线段绕点逆时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
（2）解：取的中点，连接，，过作于，
如图所示：
，
，
线段绕点逆时针旋转得到，
，，
，，
以点为圆心，长为半径画圆，，，，四点都在上
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
的面积；
（3）或
11．【答案】（1）解：连接，，如图，
，，
，
的半径为，
，
在中，．
（2）解：在上截取，连接，如图，
和所对的弧都是，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
即．
（3）解：过点A作，交的延长线于点H，过点A作于点M，连接，如图，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
设，则，
，
，
，
，
，
四边形为圆内接四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
对于的任意长度，都有的值是一个定值，
的值与无关，
，
（不合题意，舍去）或，
对于的任意长度，都有的值是一个定值，的值为．
12．【答案】（1）解：∵是的直径，C点在圆上，
∴，
∴的面积。
（2）解：①如图所示，当点A在延长线上时，的面积最大，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
；
②如图所示，延长交于点F，连接，，，，
∵，，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵，弦的长为6，
∴
∴
∵
∴当点B，O，E三点共线时，有最大值，即的长度
∴的最大值为4．
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