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2026年江苏省南京市高考数学压轴题系列：空间向量与立体几何
1．如图，在四棱锥中，F为棱上一动点（不包含端点），，，.
（1）证明：平面；
（2）若F是靠近点D的四等分点，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若O是三棱锥外接球的球心，求的最小值.
2．平面内沿着等腰直角的腰AC作底角的等腰，，如图1.将沿AC翻折至，如图2.
（1）当平面平面ABC时，
（ⅰ）证明：；
（ⅱ）若G是的重心，求BG与平面ABC所成角的正弦值.
（2）求二面角的余弦值的最小值.
3．已知底面是正方形，平面，，，点、分别为线段、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由．
4．如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.
（1）求证：平面；
（2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.
5．如图，在四棱锥中，底面为矩形，．
（1）证明：；
（2）设．
（i）当四棱锥的体积最大时，求三棱锥的外接球的表面积；
（ii）求平面与平面夹角的余弦值的最小值．
6．如图，在四棱锥中，M为中点，，，.
（1）求证：；
（2）求四棱锥的体积的最大值；
（3）设二面角的大小为，若，设二面角的大小为，求的值.
7．如图，四棱锥中，，．
（1）证明：平面；
（2）若，且，，三棱锥外接球的球心为，求直线与平面所成角正弦值；
（3）若平面PAD平面PBC，，且AB=BC=1，AD=，求BP的取值范围.
8．如图，四边形与均为菱形，，，.
（1）求证：平面；
（2）为线段上的动点，求与平面所成角正弦值的最大值；
（3）设中点为，为四边形内的动点（含边界）且，求动点的轨迹长度.
9．如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于、的点．
（1）求该圆台的侧面积；
（2）若是线段的中点，求证：直线平面；
（3）若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值．
10．已知与轴分别相交于两点，过点的直线交于两点（不同于两点）．
（1）当时，求直线的方程；
（2）当的面积取得最大值时，将沿轴折成直二面角．如图，在上半圆上是否存在一点，使平面与平面的夹角的余弦值为？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若直线与直线相交于点，判断点是否在定直线上？若在，请求出定直线方程；若不在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】（1）证明：在四棱锥中，连接，
由，和余弦定理，
得，
又因为，所以，
由，，
得是正三角形，则，
又因为，所以，
则，
又因为平面，
所以平面.
（2）解：由（1）得平面平面，在平面内过点作，
因为平面平面，所以，直线平面，
则直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
由，
得，，
设平面的法向量，
又因为，
所以，
令，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）解：由（1）知，是的斜边，
则其中点是外接圆圆心，平面，
设，由，
得，
解得，则点，
令，
则，
所以
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为.
2．【答案】（1）解：（ⅰ）∵等腰直角三角形，，∴，∴，
又∵平面平面ABC，平面平面，∴平面KAC，
∵平面KAC，∴.
（ⅱ）以A为原点，AB，AC分别为x轴和y轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，
因为平面平面ABC，所以z轴平面KAC
则，，，，，
所以，，
又平面ABC法向量可取，
所以，
所以BG与平面ABC所成角的正弦值为.
（2）解：作，垂足O，在平面ABC中，过O作，
因，OM，平面KOM，则平面KOM.
则由（1），，设，，
以O为原点，OM，OC分别为x轴和y轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则点K在平面xOz内，
，，，，，
所以，，，
设平面KAC一个法向量为，则，
即，取，则得；
平面KBC的一个法向量为，则，
即，取，则得，
设二面角的平面角为，且为锐角
所以，
令，则由得，则，
于是
，
当且仅当即时等号成立，
所以二面角的余弦值的最小值为.
3．【答案】（1）证明：法一：分别取、的中点、，连接、、，
由题意可知，点、分别为线段、的中点，
所以，，
因为，所以，
则点、、、四点共面，
又因为、分别为、的中点，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
又因为，平面，平面，
所以平面，
因为，、平面，
所以平面平面，
又因为平面，
所以平面.
法二：因为为正方形，且平面，
所以、、两两互相垂直，
以点为坐标原点，
以、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、、，
所以，
易知平面的一个法向量，
则，
所以，
又因为平面，
所以平面．
（2）解：设平面的法向量，，，
则，
取，可得，
所以平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量，
设平面与平面夹角为，
则，
所以平面与平面夹角余弦值为.
（3）解：假设存在点，使得，其中，
则，
由（2）得平面的一个法向量为，
由题意，
可得，
整理可得，
则，
因为，
解得或，
所以，或．
4．【答案】（1）证明：连接，取线段的中点，连接，
在Rt中，，
，
在中，，
由余弦定理，可得：，
，
在中，
，
因为平面，
平面，
又因为平面
∴平面平面，
在中，，
，
∵平面平面平面，
平面.
（2）解：过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
又因为平面的法向量，
在平面直角坐标系中，直线的方程为，
设的坐标为，
则，
设平面的法向量为，
所以，
则，
令，则，
因为，
解得：或t=9（舍去），
所以点是线段的中点.
5．【答案】（1）证明：在四棱锥中，连接，连接，
由底面为矩形，得，，
而，则，
所以，又，，
因此，所以.
（2）解：（i）以D为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，作平面于Q，
则为四棱锥的高，，
当平面平面时，取得最大值，即四棱锥的体积最大．
此时点P的坐标为，设三棱锥的外接球球心为，球的半径为R，
由，得
，解得，，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
（ii）取CD的中点E，连接PE与QE，则，为二面角的平面角，
设，则，，，
设平面的法向量为，则，
取，得，
设平面的法向量为，则，
取，得，设平面与平面夹角的大小为θ，
则
，设，
求导得，当时，；
当时，，函数在上单调递减，在上单调递增，
则当时，取得最小值，
所以二面角的余弦值的最小值为.
6．【答案】（1）证明：因为M为中点，，所以，
又因为，所以为等边三角形，
则，且，即，故，而，
所以，则，
由且都在平面内，则平面，
由平面，则；
（2）解：由平面，则，
而，，则，
所以，要使四棱锥的体积最大，只需最大，
由，，则，
所以是平面内，以为圆心，为半径的圆上运动，
所以时，，
则棱锥的最大体积；
（3）解：在平面内，过作，以为原点，为的正方向，
建立空间直角坐标系，如图所示：
令，且，
则，
，，，，
若是平面的法向量，则，
取，可得，
若是平面的法向量，则，
取，可得，
则 ，
因为，所以，
则，
，
即，可得（负值舍），
平面的一个法向量为，则，
所以，
当，则，
当，则.
7．【答案】（1）证明：在平面ABCD中，因为，，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
（2）解：因为平面ABC，平面，
所以，，又因为，
以A为坐标原点，分别以所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，
因为中，，
所以外心为AC中点，
则三棱锥外接球球心O在过M且垂直于平面ABC的直线上，
则设，
又因为，
所以，
则 ，所以，则，
又因为，，
设平面PBC的一个法向量为，
则令，得，，
所以平面PBC的一个法向量为，
设直线AO与平面PBC所成角为，
则.
（3）解：以为原点，以，所在直线分别为轴，轴，
以过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，设，
所以，，
设平面PAD的一个法向量为，
则
令，得，，
所以平面PAD的一个法向量为，
同理可得，平面PBC的一个法向量为，
又因为平面PAD平面PBC，所以，
则，所以，
又因为，，且，
所以，
则或a=，
当时，；
当时，，
则.
8．【答案】（1）证明：因为四边形为菱形，
所以，
设，连接，则为的中点，
因为，
所以，
因为，、平面，
所以平面.
（2）解：连接，因为四边形为菱形，则，
又因为，则为等边三角形，
因为为的中点，则，
又因为平面，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
因为，四边形为菱形，且，
所以是边长为的等边三角形，
则，，，
同理可得，
所以，、、、、、，
则，，
设平面的法向量为，
则，取，可得，
因为为上的动点，设，其中，
且，，
所以，
设直线与平面所成角为，
则
，
当时，取最大值，且最大值为，
因此，与平面所成角正弦值的最大值为.
（3）解：因为为的中点，则，
设点，则，，
因为，所以，
则，化简可得，
则动点的轨迹是以点为圆心，半径为的圆在四边形内的部分，
所以圆心角为的圆弧，
则所求轨迹的长度为.
9．【答案】（1）解：由，可得圆台的侧面积为；
（2）证明 ：取中点，连接，如图所示：
因为为中点，所以，
在等腰梯形中，因为，所以，所以四边形为平行四边形，
所以，又因为平面，平面，所以平面；
（3）解：延长交于点，作直线，
因为两点分别在平面与平面内，所以直线即为直线，
又因为平面，所以点，即为点，
由，可得，
以为坐标原点，直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
在等腰梯形中，，梯形的高为，
因为，所以为的中位线，
则，
，
设，则，
设平面的一个法向量为，则，
令，可得，
则，
令，则，
当时，，此时，
当时，，
当且仅当，即时取等号，
综上所述，的最大值为.
10．【答案】（1）解：由题意得：直线的斜率不为0，设直线，即，
圆心到直线的距离为，
因为，所以，
所以，解得，
则直线的方程为；
（2）解：由题意得直线的斜率不为0，设，即，
由（1）知，，
，
令，则，所以，
又因为，在上单调递增，所以当时，取得最小值为，
取得最大值为，此时，解得，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
，可得，
设，其中，
所以，，
设面的法向量为，
，可得，
设平面与平面的夹角为，
，解得，则；
（3）解：，设，，
由题意得直线的斜率不为0，设，所以，
可得，
由韦达定理可得：，，
，直线的方程为，①
，直线的方程为，②
联立方程①②可得，可得，
则点在定直线上.
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