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2026年江苏省南京市高考数学压轴题系列：三角函数
1．人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术．主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有3种，设，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）
（1）若，求A，B之间的余弦距离；
（2）已知，若，求M、P之间的曼哈顿距离；
（3）若点，求的最大值．
2．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
（1）求角A；
（2）若为锐角三角形，求的取值范围；
（3）若的面积，E为线段BC上一点，且存在，使得，求AE长度的取值范围．
3．意大利著名画家达芬奇曾提出一个引人深思的数学问题：倘若将项链的两端牢牢固定，并让它在重力的牵引下自然垂落，那么这条项链所勾勒出的曲线形态究竟怎样 这便是闻名遐迩的“悬链线问题”.1691年，莱布尼茨和伯努利推导出悬链线的方程为，其中c为参数.当时就是双曲函数，其中双曲余弦函数为，双曲正弦函数为，悬链线方程在海洋、河流、道路工程等多个领域有着广泛的应用，它的应用不仅能提高工程结构的安全性和稳定性，也能增强整个工程项目的经济性和实用性．
（1）求证：；
（2）求函数的最小值；
（3）求证：对，．
4．已知函数的定义域为，若对于任意，，，能够成一个三角形的三条边长，则称函数为集合上的“三角形函数”.
（1）已知函数是区间（为常数）上的“三角形函数”，求的取值范围；
（2）已知函数是区间（为常数）上的“三角形函数”，在函数的图象上，是否存在三个不同的点，，，当时，，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
5．设函数.
（1）求函数在上的最大值；
（2）若不等式在上恒成立，求的取值范围；
（3）若方程在上有四个不相等的实数根，求的取值范围.
6．在平面直角坐标系中，定义点A到直线的距离为.的3个顶点坐标为，，.记.
（1）若的3个顶点坐标为，，，的方程为，求.
（2）对于（1）中的，证明：当取到最小值时，经过的重心.
（3）若存在3条不同的直线使得取得最小值，证明此时为等边三角形.
7．已知函数的定义域为R，且，．
（1）若，求A与；
（2）证明：函数既是偶函数又是周期函数；
（3）若为的一个周期，且在上单调递减，记的正的零点从小到大依次为，，，…，证明：在区间上有4048个需点，且．
8．在平面直角坐标系中，利用公式①（其中为常数），将点变换为点的坐标，我们称该变换为线性变换，也称①为坐标变换公式，该变换公式①可由组成的正方形数表唯一确定，我们将称为二阶矩阵，矩阵通常用大写英文字母…表示．
（1）如图，在平面直角坐标系中，将点绕原点按逆时针旋转得到点（到原点距离不变），求坐标变换公式及对应的二阶矩阵；
（2）在平面直角坐标系中，求双曲线通过二阶矩阵进行线性变换后得到的双曲线方程；
（3）已知由（2）得到的双曲线，上顶点为，直线与双曲线的两支分别交于两点（点在第一象限），与轴交于点，设直线的倾斜角分别为，求证：为定值．
9．已知向量，，定义新运算：.若函数，则称为向量，的点积函数.例如：向量，，则向量，的点积函数.
（1）若向量，（，），且向量，的点积函数，求的值；
（2）若向量，，求向量，的点积函数的值域；
（3）若向量，的点积函数为，且存在，使得成立，求的取值范围.
10．（1）证明：；
（2）当时，利用所给图形证明（1）中等式；
（3）如图，的外接圆半径为1，，的一个外角的角平分线交外接圆于点D，过D作于点M，利用（1）中等式，证明：．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：依题意，，则，
因为，
所以A，B之间的余弦距离；
（2）解：，
，，
，
，
，
由，得，，
，
，，，
所以M、P之间的曼哈顿距离
；
（3）解：设，由，得，
即的轨迹，作出的轨迹图形，如图所示：
当且仅当最小时，取得最大，由图象知当时，最大，
又，余弦函数在上单调递减，此时最小，
由对称性不妨取，，，
所以的最大值为.
2．【答案】（1）解：由正弦定理，知，，
则，
整理得，
，
．
（2）解：因为，
又，，
，
则，
．
（3）解：设d为线段AE长，
由题意可知，AE为内角平分线，
则，
由，
得，所以，
由余弦定理，得，
则，
所以，
，
，
又因为，所以，
则线段AE长度的取值范围为．
3．【答案】（1）证明：因为.
所以：.
（2）解：.
设，则，当且仅当时取“”.
则，在上单调递增.
所以.
所以函数的最小值为.
（3）证明：当时，，.
对，
因为，所以为偶函数；
设，则，
因为，所以，，所以，
所以，即在上单调递增.
所以当时，.
对，类似的方法可得：为奇函数，在上单调递增.
所以当时，.
所以；
当时，.
设.
所以，
所以.
即.
综上可得：对，.
4．【答案】（1）解：根据已知条件，
如果函数为集合M上的“三角形函数”只需满足，
因为对勾函数在单调递减，在单调递增，
当时，，，
因为，
所以函数为三角形函数；
当时，，
因为，，此时满足，
所以函数为三角形函数；
当时，，，
若函数为三角形函数，
只需，则 ，
综上所述，t的取值范围为.
（2）解：因为，，
所以，
则，
因为，
所以，
又因为，
所以，
则，
假设存在三个点，
则
当时，，
又因为，
所以.
则，这与矛盾，
所以，不存在三个不同的点
当时，.
5．【答案】（1）解：令，
将变为.
①当时，即当时，，
②当时，即当时，，
③当时，即当时，，
综上可知，.
（2）解：若，则需，
当时，，
将函数变为，
所求问题变为恒成立，
易知的图象是开口向下的抛物线的一部分，
则最小值一定在区间端点处取得，
所以，
解得，
则的取值范围是.
（3）解：令，
由题意可知，
当时，关于的方程在时有两个不等实数解，
则原题可转化为在内有两个不等实数根，
令，
则，
解得，
所以的取值范围是.
6．【答案】（1）解：，，，
则；
（2）证明：设的重心为，则，
，即，
设，且，
则，，
，
则
，
则当时，取最小，
即，
有，即经过的重心；
（3）证明：设，且，
则
，
则当时，
取最小，
又的重心为，
即时，取最小，
此时，必过点；
若存在3条不同的直线使得取得最小值，不妨设的重心为，
则必过点，此时，
由，可设、，且，
则
，
令关于的函数，若存在3条不同的直线使得取得最小值，
即存在个不同的值，使得取最小值，
又
，
，
其中，
又为以为周期的周期函数，
则当时，
在上最多取一个最小值点，与题意不符，
故，
即有、，
且，
则，，
故、，
故，
，
则，
由，
则
，
若，则，
则
，
又，
则，
则
，
即，
则，
即有；
若，则，
则，
化简得，则或，
若，则，则，不符；
则，由，
则，
则，
即有；
同理可得，
即有，即为外心，又为重心，
故为等边三角形，即得证.
7．【答案】（1）解：因为， ①
令，可得，，
因为，所以，
由，得．
由，得，
解得．
因为，所以，
所以.
（2）证明：由（1）得，，
①中，令可得，，
即，所以函数为偶函数；
令得，，
即有，
从而可知，，
故，
即．
所以函数是一个周期为的周期函数．
（3）证明：由（1）得，，
在中，
令，可得，
因为，所以，
所以，又因为在上是减函数，
所以在上有且仅有一个零点．
中，令，得．
所以在区间上有且仅有一个零点．
又因为是偶函数，所以在上有且仅有一个零点，即在一个周期内有且仅有2个零点．
，
所以在内的零点为和．
，，．
因此，对任意，在上有且仅有两个零点：
，．
在上有4048个零点：
，，，，，，，
其中，．
8．【答案】（1）解：设，可得，
所以，
，
则坐标变换公式为，所以对应的二阶矩阵为；
（2）解：设曲线上任意一点变换后所得点坐标为，
即，此时，
整理得，则双曲线的方程为；
（3）证明法一：由题意可知，设直线方程为，
联立，消去得，
此时，解得，由韦达定理得.
又因为点在不同两支，故，解得.
可知
，
因为点在第一象限，所以，
又因为，所以，则；
法二：当直线斜率存在时，设直线的方程为，
联立，消去并整理得，
此时，解得，由韦达定理得.
当时，此时，取，则，
所以直线的方程为.
联立，消去并整理得，
解得或，所以，
所以，则，所以；
当时，设直线的斜率分别为，
此时，
所以，
，
所以．
因为点在第一象限，所以，
又因为，所以，则；
当直线斜率不存在时，
此时，可得，
所以，同理可得．
综上所述，为定值，定值为．
9．【答案】（1）解：由题意，，
则，，即，
所以；
（2）解：因，，
则，
令（），则，对称轴为，
则函数在上单调递增，当，
，则的值域为.
（3）解：因，，
则，
于是，
，
当时，，
因在时的取值范围为，
故，
由存在，使得成立，即与有交集，
故需满足，解得，
综上所述的取值范围为.
10．【答案】证明：（1）由题意得，，
，
两式相加得，．
（2）由题意得，线段的中点的坐标为如图，过作垂直于轴，交轴于，
则，，
在中，，
在中，
则，
∴，
则．
（3）设，，，
则，，
∴，
在中，由正弦定理得，，
∴，
在中，由正弦定理得，，
∴，
∴，
由（1）中，
得．
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