资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026年江苏省南京市高考数学压轴题系列：数列
1．项数为的数列满足如下两个性质，则称为一个满足“绝对值关联”的阶数列；
①（其中）；
②.
（1）判断数列是否为一个满足“绝对值关联”的阶数列？是否为一个满足“绝对值关联”的阶数列？说明理由；
（2）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，证明：的最小值为；
（3）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，求的最小值.
2．已知无穷数列各项均为正数，且.
（1）请判断如下两个结论是否正确：
①；②；
（2）当时，证明：；
（3）记数列的前项和为，若，证明：.
3．等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，，，．
（1）求和的通项公式；
（2）若数列满足，，求数列的前2n项和，
（3）求的最大值和最小值．
4．数列满足对任意的正整数都成立，则称为数列.
（1）设是等差数列，是正项等比数列，记，证明：数列是数列；
（2）若为数列，且，求证：；
（3）若正项数列的前项和为，求证：.
5．设正整数数列满足．
（1）若，请写出所有可能的取值；
（2）记集合，证明：若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数；
（3）若为周期数列，求所有可能的取值.
6．数列、满足：是等比数列，，，且．
（1）求数列、的通项公式.
（2）求集合中所有元素的和．
（3）对数列，若存在互不相等的正整数，使得也是数列中的项，则称数列是“和稳定数列”．试判断数列、是否是“和稳定数列”，并说明理由．
7．16世纪法国的数学家韦达在其三角学著作《应用于三角形的数学定律》中给出了积化和差与和差化积恒等式.
积化和差：，．
和差化积：，．
运用上面的公式解决下列问题：
（1）证明：；
（2）若，证明：；
（3）若函数，判断的零点个数，并说明理由．
8．已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和．
（1）求数列的通项公式；
（2）设．
（ⅰ）求数列的通项公式及其前n项和；
（ⅱ）若且，证明：．
9．已知数列的前项和为，且．
（1）求的通项公式；
（2）求证：；
（3）已知数列满足，求的通项公式．
10．曲线的方程中，用替换，替换得到曲线的方程，把这种的变换称为“伸缩变换”，，分别称为轴和轴的伸缩比.
（1）若曲线的方程为，伸缩比，求经过“伸缩变换”后所得到曲线的标准方程；
（2）若曲线的方程为，经过“伸缩变换”后所得到曲线是离心率为的椭圆，求的值；
（3）对抛物线作变换，得抛物线；对抛物线作变换，得抛物线，如此进行下去，对抛物线作变换，得抛物线，若，记数列的前项和为，求证：.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：不是一个满足“绝对值关联”的5阶数列，因为．
是一个满足“绝对值关联”的5阶数列，
因为，且，满足两个性质.
（2）解：因为数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，所以，即．
又，所以，同时，
所以解得.
又数列是一个满足“绝对值关联”的6阶数列，
所以的最小值为.
（3）解：数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，所以，且，
不妨设，，其中，
记，不妨设（否则用代替即可），
，所以．
因为，，
所以且，即不小于和中的最大者，
当或时，和中的最大者均为，所以，
当或时，或者，所以．
综上，当数列前项为正，后项为负时取等号，
此时数列可为：符合题意．
所以的最小值为．
2．【答案】（1）解：由于，则，
两式相加得，即，
所以；
由于，
所以，
则，
所以，
所以①，②均正确；
（2）证明：因为，均有，
所以当时，有，
所以，
所以，
当时，有，
所以，
所以，
所以，即，
所以，
整理得.
（3）证明：由（2）得，当时，有，
所以，均有，
即，
所以
所以，
即，
又因为，所以.
3．【答案】（1）解：设等差数列公差为，等比数列公比为，
则，解得，
所以，；
（2）解：由（1），，，
所以
令，
即①，
则②，
①-②得：
，
整理得
所以；
（3）解：因为，设
所以
，
当为奇数时，，由反比例函数性质可知随增大而增大，
故；
当为偶数时，，由反比例函数性质可知随增大而减小，
故，
又当时，，介于与之间，
所以的最大值为，最小值为.
4．【答案】（1）证明：，
因为数列为等差数列，所以，
又因为数列为等比数列，设数列的公比为，
所以，又因为，
所以，所以，
则数列为数列；
（2）证明：由为数列，可得，
设，则，
，
则，
，则，
，则，解得；
（3）证明：
由且，可得，
，
因为，所以，
所以，则.
5．【答案】（1）解：因为正整数数列满足，
当时，，
所以，，
则，
所以或，
则或，
当时，或，
所以或；
当时，，
所以，
则的可能取值为、、.
（2）证明：如果存在正整数，满足是的倍数，
则对，都是的倍数；
如果存在为3的倍数，
根据，
可知也是3的倍数，
以此类推，都是3的倍数；
另一方面，当时，由于，
当为3的倍数时，可知也是3的倍数，
以此类推，都是3的倍数，
综上所述，若集合存在一个元素是3的倍数，则的所有元素都是3的倍数.
（3）解：首先注意到是正整数数列，
则数列一定有最小值，
设为，下证或t=，
当为偶数时，设，
则，与是最小值矛盾，
所以是奇数，
不妨设，
则是偶数，，
假设，则，与是最小值矛盾，
综上所述，只能是小于的正奇数，即或.
当数列中出现1时，后面的项为4，2，1，4，2，1，4，2，1…循环；
当数列中出现3时，后面的项为6，3，6，3…循环，
所以数列为周期数列时，只能为1，2，3，4，6中某一个数，
经检验，当时，数列确实是周期数列.
6．【答案】（1）解：根据题意可知，所有可得，
又因是等比数列，所以设的公比为，则，
所以，
因①，
当时，②，
①式减去②式可得，
将，可得，
将之化简可得，
所以数列是为首项，公差为的等差数列，
故.
（2）解：由题意知集合，
则化简转化为，
设前项和为，
数列前项和为，
且解之可得，
所以集合所有元素之和为
.
（3）解：
数列是“和稳定数列”，理由如下：
当时，是的正整数倍，
故一定不是数列中的项；
当时，，不是数列中的项；
当时，，是数列中的项；
综上，数列是“和稳定数列”，；
数列不是“和稳定数列”，理由如下：
不妨设：，则，
且，
故不是数列中的项.
数列不是“和稳定数列”.
7．【答案】（1）证明：根据二倍角公式与和差化积恒等式可得：
.
（2）证明：左边
.
右边
.
因为，所以，
故
（3）解：仅有一个零点.
显然，下面证明当时，.
.
当时，，
所以，
所以当时，.
综上，仅有1个零点.
8．【答案】（1）解：由，得，
当时，由，得，
整理得，
又因为，， 又因为
所以数列是首项和公差均为1的等差数列，
故数列的通项公式为．
（2）（i）解：，
所以，
，
两式相加可得
故数列的通项公式为；
所以
又
将以上两式相减得
所以．
（ⅱ）证明：由题可知，
数列满足，
即，
则，
所以，
两式相减得
所以，
当时，，所以．
9．【答案】（1）解：当时，，可得有，
当时，，
有，，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，；
（2）证明：由（1）知
，
由于，所以
所以
（3）（3）解：因为
故，
，
两式相减得
，
即，也适合，
故.
10．【答案】（1）解： 曲线的方程为，伸缩比，则，化简得，
故曲线的标准方程为；
（2）解：由题意得，经过伸缩变换后的椭圆方程为，化简得，
①当时，，则，解得；
②当时，，则，解得；
综上所述，或；
（3）证明： 对抛物线作变换，
得抛物线，得，所以，
即，所以，
又因为，
所以，当时，
，
当或时，也成立，故.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑