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2026年江苏省南京市高考数学压轴题系列：圆锥曲线的方程
1．在空间直角坐标系中，三棱锥的顶点，顶点在平面内，侧面绕转动且与底面形成的二面角为，在转动过程中满足：①；②；③．
（1）点和点纵坐标是否相等？证明你的结论；
（2）当侧面所在平面为平面时，
（i）求动点在平面内的轨迹方程和点在平面内的轨迹方程；
（ii）求三棱锥的体积的最大值；
（3）当，且时，求三棱锥外接球的表面积．
2．已知圆，圆．若动圆C与圆外切，且与圆内切，设圆心C的轨迹为曲线E．
（1）求曲线E的方程；
（2）已知双曲线，过其右顶点A作直线分别交曲线E和双曲线于点（异于点A），作直线分别交曲线E和双曲线Γ于点（异于点A），设直线与直线交点为H，
（ⅰ）求证：点的横坐标乘积为定值，并求出该定值．
（ⅱ）求证：点H在定直线上，并求出该定直线的方程．
3．已知椭圆焦距为2，离心率e是
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作两条互相垂直的弦，其中在轴的上方，且在的右侧，设弦的中点分别为.
①若弦的斜率均存在，求四边形面积的最小值；
②判断直线是否过定点，若过定点，则求出该定点坐标，若不过定点，请说明理由.
4．已知椭圆的离心率为，焦距为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过圆上一动点作椭圆的两条切线，切点分别为．
（I）证明：；
（II）求四边形面积的取值范围．
5．造型可以看作图中曲线C的一部分，已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为
（1）求a的值；
（2）当点在C上时，求证：
（3）如图，过点F作两条互相垂直的弦，分别交曲线C于，，，，其中，求四边形面积的最小值.
6．如图，定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点作轴的垂线交其“伴随圆”于点，称点为点的“伴随点”．已知椭圆上的点的一个“伴随点”为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，点与点关于轴对称．
（ⅰ）证明：直线恒过定点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的直线所过的定点为，若在直线上的射影分别为（，为不同的两点），记，，的面积分别为，求的取值范围．
7．已知是抛物线：的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，且过点的直线与相切于点，.
（1）求抛物线的方程.
（2）设过点的直线交于，两点，直线与的另一个交点为，点在与之间.
（i）证明：轴平分.
（ii）记的面积为，的面积为，求的取值范围.
8．已知点A，B分别是双曲线的上、下顶点，点P满足．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）是否存在点P，使得过点P的动直线l交双曲线C于M，N两点，且与的斜率之和为定值？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．
9．如图，双曲线的左右焦点分别为，，双曲线与有相同的渐近线和焦距．过上一点作的两条切线，切点分别为A，B，A在轴上方，连接AB交于点M．
（注：过曲线外一点作曲线的两条切线，则两切点所在直线方程为）
（1）求双曲线的方程；
（2）证明：直线AB与切于点M，且；
（3）当点在第三象限，且时，求的值．
10．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于、两点，过点的直线交抛物线于、两点，且.
（1）求证：为定值，并求出该定值；
（2）如图，点、在轴的同侧，，直线与直线的交点为，记，的面积分别为，，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】（1）解：设，顶点，
则．
因为，则，即，因此点和点的纵坐标相等.
（2）解：（i）点，点在平面内，且不在直线上．
因为，
所以点在以为焦点，实轴长为的双曲线上（不含实轴端点），
故其在平面内方程为或.
点，点在平面内，且不在直线上．
因为，
所以点在以为焦点，长轴长为的椭圆上（不含长轴端点），
故其在平面内方程为．
综上可得，动点在平面内的轨迹方程为（或），
点在平面内的轨迹方程为.（或）；
（ii）平面所在平面为平面时，点在以为焦点的等轴双曲线上；
当侧面所在平面为平面时，点在以为焦点的椭圆上；
注意到，只能是（设为，则），
此时三棱锥的高，点到的距离，
则，
整理可得，当时取得最大值.
（3）解：因为，，，所以平面，
所以，所以.
又平面，所以平面平面.
在中，，可得，
同理在中，，可得，
所以是等边三角形，
所以外接圆的圆心为的中心，故半径.
设三棱锥外接球的球心为，取的中点，则为的外心，
所以平面，所以到平面的距离等于到平面的距离，等于长的一半，所以，
故外接球的半径满足，
则外接球的表面积.
2．【答案】（1）解：设动圆C的半径为R，
∵动圆C与圆外切，则．
又∵动圆C与圆内切，
结合图象，可知，
∴， ∴，
由椭圆的定义，可知动点C在以为焦点，4为长轴长的椭圆上，
设椭圆的方程为，半焦距为c，
则，∴，
可知圆与圆内切，∴点C不能在切点处，
则椭圆应去掉点，
∴曲线E的方程为．
（2）（ⅰ）证明：设，
则；
，
又∵，∴，
所以（*），
同向相除，得，
解得，
则点M，N的横坐标乘积为定值3．
（ⅱ）证明：设，
由（ⅰ）知：，
代入（*）式，得：，
同理可得，，
所以，直线，
整理得：…①，
同理可得…② ，
将代入②，
化简得：直线…③，
联立①③，解得：，
所以，点H在定直线上．
3．【答案】（1）解：依题意，得，
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）解：①设直线，
则直线
联立，
则，，
由弦长公式，可得：，
同理可得：，
所以，
令，
则，
当的最小值是.
②，
，
由代替m，
得，
当时，即当时，直线，过点；
当时，即当时，，
直线，
当时，，经验证直线过点，
综上所述，直线恒过点.
4．【答案】（1）解：由题意可得：，
可得：，
又，得，
所以椭圆方程为
（2）解：（I）当，时，此时可得：，显然，
同理：当，时，或，时，都有，
当时，设，
再设，
因为直线与椭圆相切如图所示：
联立，得，
，
即，
即，
同理，设，
联立椭圆与直线的方程可得，
得
，
即，
即，
所以是关于的方程的两根，
所以，又，可得：，
所以，
综上可证：；
（II）先证：过椭圆：（）上一点的切线方程为；
证明：当斜率存在时，设切线方程为，联立椭圆方程，
可得，化简可得：
，
由题可得：
化简可得：，该方程只有一个根，记作，
，为切点的横坐标，
切点的纵坐标，
由于，则，
则切线方程为：，
化简得：．
当切线斜率不存在时，切线为，也符合方程，
综上上一点的切线方程为；
设，
所以，，
所以，，
所以直线的方程为：，又，
可得：，
点到直线的距离，
点到直线的距离，
联立，
可得：，
得，
所以，
所以四边形面积的
，
又，
所以，
即四边形面积的取值范围是.
5．【答案】（1）解：因为O在曲线上，所以O到的距离为，而，所以有，即
（2）证明：方法一：因为，所以曲线C的方程为，
可化为，即，
因此，
所以，当且仅当且时取等号.
方法二：同上曲线C的方程为，
因此，
所以，当且仅当且时取等号.
方法三：如图设点P在x轴，直线上的射影分别为Q，R，
则根据定义，
因此，即，
所以，当且仅当且时取等号.
（3）解：由，得
当其中一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，此时
当两条直线斜率均存在且不为0时，设直线AB的斜率为k，倾斜角为，由对称性不妨设，
，则直线AB的方程为，其中，直线的方程为，
联立
化简得到，
所以
则，
故，
，
同理，所以，
令，
令，
因为，
所以，即，
所以在上单调递增，当，即时，，
此时，
综上所述四边形面积的最小值为
6．【答案】（1）解：由题意可得：椭圆的“伴随圆”为，
因为椭圆过点，其伴随圆过点，
所以，解得，则椭圆的方程为；
（2）（ⅰ）证明：当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，，，则，
联立，整理得，由韦达定理可得：，，
由，可得，
直线的方程为，由椭圆的对称性知，若存在定点，则必在轴上，
当时，
，
即直线恒过定点，
当直线的斜率为0时，直线的方程为，也过，
综上，直线恒过定点；
（ⅱ）解：由题意知的斜率存在且不为0，，
设直线的方程为，，，，
，
，
，
由（ⅰ）知且，
则
，
因为，所以，所以，
所以，所以，
故的取值范围为．
7．【答案】（1）解：由题意可知，，，
由已知条件得出直线的斜率恒不为0，
可设：.
联立，
可得，
因为直线与相切于点，
所以，
解得，
则，，
因为，所以，
解得，
所以，抛物线的方程为.
（2）（i）证明：如图：
（i）由已知条件可得直线的斜率恒不为0，
设直线的方程为，，，
由（1）得，，
联立方程组，可得，
则，，
所以
则轴平分.
（ii）解：由（i）可知直线与直线关于轴对称，
所以点和点关于轴对称，
则，
不妨设，因为点在点与点之间，
所以，，
则，，
则，
令，则，
令，则，解得；
由，则，解得，
则在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以的取值范围为.
8．【答案】（1）解：由题意得，，设，由，得，整理得，所以点的轨迹方程为.
（2）解：存在，理由如下：设动直线方程为，直线斜率为，直线斜率为，则直线，直线，，由得，，点的横坐标，纵坐标，由点在动直线上，得，整理得，同理得，因此是方程的两个根，，则为定值，令，则，代入动直线方程得，，令，得，代入动直线方程得，，即，点代入（1）中轨迹方程得，，解得，所以点的坐标为或.
9．【答案】（1）解：因为曲线的渐近线方程为，，
又因为曲线的渐近线方程为，，
所以，
得，，
所以双曲线的方程为．
（2）证明：已知，且满足，
设切点，，，
根据题意，得直线AB方程为，
因为直线AB与曲线联立，得，
化简得，
则，
所以直线AB与切于点，
所以，，
因为直线AB与曲线联立，
得，
则，
得，
所以，
则为中点，
所以．
（3）解：法一：因为，
则，
将直线与直线联立，
得，
则，
将点，代入，
得，
化简得，
由，得，
所以．
法二：因为，，点与点关于原点对称，
所以，
又因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
则
所以．
10．【答案】（1）证明：如图所示
由已知可知直线，的斜率均存在且不等于0，
因，过点，可设的方程为，则的斜率为，
设与相交于，，
由，得，则，，
，
同理可得，
所以.
即=.
（2）解：设，，，，
因为，
所以直线，即.
同理：直线.
联立，解得.
设直线的方程为：，由对称性不妨设，，，
联立.
因为，解得，，，所以，
因为，
所以
，化简得：.
所以.
因为，
，
所以
.
，
因，故，可得，则，
故的取值范围为.
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