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2026年江苏省南京市高考数学压轴题系列：直线与圆的方程
1．已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程；
（3）已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值.
2．设，，，圆Q过A，B，D三个点.
（1）求圆Q的方程；
（2）设点，若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围；
（3）设斜率为k的直线l与圆Q相交于E，F两点（不与原点O重合），直线OE，OF斜率分别为，，且，证明：直线l恒过定点.
3．已知过定点的直线被圆截得的弦长为．
（1）求直线的方程．
（2）线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点，记点的轨迹为曲线．
（i）求曲线方程；
（ii）已知点为直线上一动点，过点作曲线的两条切线，切点分别为、，判断直线是否过定点 求出该定点，并说明理由；
4．已知圆，P是圆C上动点，Q为圆C与x轴负半轴交点，E是中点．
（1）求点E的轨迹方程；
（2）过点的直线与点E的轨迹交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．
5．已知函数.
（1）设，曲线y=在点（）处切线均经过坐标原点.
（i）求 ；
（ii）求证：；
（2）将的极小值点从小到大排列，形成的数列记为，首项记为.
（i）求证：是单调递增数列；
（ii）求的最小值.
6．定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“黄金点”；若G同时是圆E和圆F的“黄金点”，则称G为圆“”的“钻石点”.已知圆A：，P为圆A的“黄金点”
（1）求点P所在曲线的方程.
（2）已知圆B：，P，Q均为圆“”的“钻石点”.
（ⅰ）求直线的方程.
（ⅱ）若圆H是以线段为直径的圆，直线l：与圆H交于I，J两点，对于任意的实数k，在y轴上是否存在一点W，使得y轴平分？若存在，求出点W的坐标；若不存在，请说明理由.
7．曼哈顿距离是一个充满神秘与奥秘的距离，常用于需要按照网格布局移动的场景，例如无人驾驶出租车行驶、物流配送等．在算法设计中，曼哈顿距离也常用于图像处理和路径规划等问题．曼哈顿距离用于标明两个点在空间（平面）直角坐标系上的绝对轴距总和．例如在平面直角坐标系内有两个点它们之间的曼哈顿距离
（1）已知点，求的值；
（2）已知平面直角坐标系内一定点，动点满足，求动点围成的图形的面积：
（3）已知空间直角坐标系内一定点，动点满足，若动点围成的几何体的体积是，求的值．
8．已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与轴平行，求的值；
（2）设函数，给出的定义域，并证明：曲线是轴对称图形；
（3）证明：.
9．已知矩形中，，．如图，以矩形的中心为坐标原点，分别平行于、的直线为、轴建立平面直角坐标系．设轴分别交、于点、，点为平面上的动点，且直线、的斜率的积为．
（1）证明点不在矩形的外部；
（2）现将矩形折叠，使点落在线段上，设折痕所在直线的斜率为，
①求直线的方程；
②重新展平矩形，当折痕的长最大时，求折痕被点的轨迹所截得的弦长．
10．已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为．
（1）求圆的方程；
（2）若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程；
（3）在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：设，因为点且，
所以，即，
所以的轨迹方程为.
（2）解：由（1）知，圆心为，半径为，
因为，设圆心到的距离，可得，解得，
当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意；
当斜率存在时，设方程：，即，
则，解得，此时.
综上可得，直线的方程为或.
（3）证明：已知如图所示：
当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意，
所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且
联立方程组，
整理得，
令，解得，
且，所以，
又由，解得，所以，
因为均在直线上，且
所以.
2．【答案】（1）解：由题意，可得圆心Q为线段的垂直平分线和线段垂直平分线的交点，
，直线的中点为，
所以线段的垂直平分线的方程为，
即
因为线段的垂直平分线的方程为，
联立方程组，
解得，
所以圆心为，半径为，
则圆的方程为.
（2）解：设，因为，
所以，
化简得，
所以，
则点在以为圆心，为半径的圆上，
依题意，该圆与圆有两个交点，则两圆相交，
又因为，
所以，
解得.
（3）证明：设直线的方程为，
由，
得，
所以，
则
所以，
则直线方程为，
令，解得，
则直线过定点．
3．【答案】（1）解：因为圆的圆心为，半径，
设圆心到直线的距离为，
则，所以，
当直线的斜率不存在时，方程为，圆心到直线的距离为，不符合题意；
当直线的斜率存在时，
设方程为，即，
则圆心到直线的距离为，
解得或，
当时，直线的方程为；
当时，直线的方程为，即，
综上所述，直线的方程为或.
（2）解：（i）设点，
由点的坐标为，且是线段的中点，
则，
可得，即，
因为点在圆上运动，
所以点坐标满足圆的方程，
则，
整理得，
所以点的轨迹方程为.
（ii）因为圆的圆心，半径，
又因为点为直线上一动点，则可设，
因为都是圆的切线，
所以，
则点也在以为直径的圆上，
以为直径的圆的圆心为，
半径为，
则以为直径的圆的方程为，
即①，
化为②，
由①②，整理得，
所以直线的方程为，
即，
令，
解得，
所以直线过定点.
4．【答案】（1）解：设，因为P是圆C上动点，
所以，
又因为Q为圆C与x轴负半轴交点，所以，
设，因为E是中点，
所以，
则，
所以，即，
则点E的轨迹方程为.
（2）解：当直线轴时，x轴平分，
当直线的斜率存在时，
设直线的方程为，，，，
由，
得，
所以，，
若x轴平分，则，
∴，∴，
∴，
∴，
所以当点N为时，能使得x轴平分总成立.
5．【答案】（1）（i）解：由题意知，令，
则，
得，
所以，曲线在点处的切线方程分别为：
，
因为切线均过原点，
所以，
则，
得.
（ii）证明：由（i）得，
画出函数与图象，如图，
设，知，
由正切函数图象性质，
得，
则，
又因为，
所以，
则，
解得，
所以.
（2）（i）证明：，
令，所以，
则在上单调递减，在上单调递增，
因为，，
所以在上有唯一零点且为的极大值点，
又因为，
所以在上有唯一的零点且位于，
易知此零点为函数的极小值点.所以，，
令，
因为，所以，
令，
则 ，
所以，
又因为，
所以在上单调递减，
则，
所以是单调递增数列.
（ii）解：显然的极小值中最小的值为的最小值，
因为 ，
又因为，
所以，
则.
6．【答案】（1）解：易知圆的圆心为，半径为，
因为点为圆A的“黄金点”，所以，即，
所以点的轨迹是以A为圆心，为半径的圆，
故点P所在曲线的方程为；
（2）解：（ⅰ）易知圆的圆心为，半径为，
因为P为圆B的“黄金点”，则所以，即点P在圆上，
则P是圆和的交点，
因为P，Q均为圆“”的“钻石点”，
所以直线即为圆和的公共弦所在直线，
两圆方程相减可得，则直线的方程为；
( ii )设的圆心为，半径为，
的圆心为，半径为，
直线的方程为，得的中点坐标为，
点S到直线的距离为，
则，所以圆H的方程为，
假设轴上存在点满足题意，设，，
若轴平分，则，即，整理得，
又因为，所以，
整理得①，
联立，消元整理可得，
由韦达定理可得：，代入①并整理得，
此式对任意的都成立，所以，
故轴上存在点，使得轴平分.
7．【答案】（1）解：．
（2）解：设，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
所以，动点围成的图形是正方形，边长为，面积为8．
（3）解：动点围成的几何体为八面体，每个面均为边长的正三角形，
其体积为．
证明如下：
不妨将平移到，处，设，
若，则，
当时，则，
设，
由，得，
所以四点共面，
当时，在边长为的等边三角形内部（含边界），
同理可知，等边三角形内部任意一点，
均满足，
所以满足方程的点，
构成的图形是边长为的等边三角形内部（含边界），
由对称性可知，围成的图形为八面体，每个面均为边长为的等边三角形，
故该几何体体积．
8．【答案】（1）解：因为，
所以
由题意，可知，
解得.
（2）解：
对于函数，
则，解得，
所以，函数的定义域为，
对于函数，
则，可得，
解得或，
所以，函数的定义域为，
则该定义域关于直线对称，
因为
，
所以，函数的图象关于直线对称，
则曲线是轴对称图形.
（3）证明：当时，，
则，令，
则，
当时，，则函数在上为增函数，
此时，，则，
所以，函数在上为增函数，此时，，
取，可得，
所以，
则，
所以，，
所以.
9．【答案】（1）设，由题设知、，
从而，整理得，
所以点的轨迹为椭圆（去掉上下顶点），其范围是，，
故点不可能在矩形外部；
（2）①设折叠后A点落在线段DC上的点为，
当时，易得直线方程为；
当时，由A与G关于折痕所在的直线对称，有，即，
所以，AG中点坐标为，
从而折痕所在的直线方程，即；
综上：直线方程为：；
②由题可得，当时，折痕的长为4；
当时，因直线所对应方程为：.
则直线与交点为，，
（ⅰ）若折痕所在的直线分别与边、相交，
则交点坐标为，，则此时
此时，，且；
（ⅱ）若折痕所在的直线分别与边、相交，
则交点坐标为，，则
此时，，
．
令得：，
列表得
0
所以，
（ⅲ）若折痕所在的直线分别与边、相交，
则交点坐标为，，
此时，，，
综上可得，当且仅当时，，
即折痕长的最大值为，
由得：，
所以，，
故弦长，
又，，，
则
10．【答案】（1）设圆心为，设圆的半径为，
圆心到轴的距离为，且圆轴弦长为，则，①
且有②，
联立①②可得或，
所以，圆的方程为或.
（2）因为半径小于，则圆的方程为，
由圆的几何性质得即，所以，
设，则，
所以，即的轨迹方程是.
（3）设直线与直线交于点，由、可知直线的斜率是，
因为直线的斜率为，则，则，，
所以，，因此，，
又E到的距离，，
所以，，故恒为定值.
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