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2026年江苏省南京市中考数学压轴题系列：二次函数
1．已知抛物线（t为常数）.
（1）求该抛物线的对称轴.
（2）若抛物线与y轴交于点（0，-16）.
①求t的值.
②设t-5≤m≤t≤n，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间.若直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，求d的值.
2．我们约定：一元二次方程与一元二次方程互为“轮转对称方程”．二次函数与二次函数互为“轮转对称函数”．
（1）直接写出的“轮转对称方程”，并解出这个“轮转对称方程”；
（2）对于任意非零实数m，n，点与点始终在关于x的函数的图象上运动，函数与互为“轮转对称函数”．
①求函数的图象的对称轴；
②函数的图象是否经过某两个定点？若经过某两个定点，求出这两个定点的坐标；否则，请说明理由；
（3）若关于x的二次函数的图象经过平面直角坐标系中三个象限，且，其“轮转对称函数”的图象与x轴交于A、B两点，顶点为点D，与y轴交于点C，点M是的中点，点O是坐标原点．已知，试求：的最大值．
3．用石块打水漂是一项有趣的活动.抛掷后的石块与平静的水面接触.石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径.如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离x之间的关系如图②所示.石块第一次与水面接触于点F，运动路径近似为抛物线C1且（ 石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点 G，运动路径近似为抛物线 C2，且 （小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计)
（1）如图②，当 时，若点F坐标为（2.0)，求抛物线C1的表达式；
（2）在（1）的条件下，若FG=4，在水面上有一个截面宽AB=1，高BC=0.5的矩形ABCD的障碍物，点A的坐标为（4.5，0)，判断此时石块沿抛物线C2运动时是否能越过障碍物 请说明理由：
（3）小星在抛掷石块时，若C1的顶点需在一个正方形 MNPQ区域内（包括边界)，且点F在（3，0)和（4，0)之间（包括这两点)，其中 求a的取值范围.（在抛掷过程中正方形与抛物线C1在同一平面内)
4．如图，平面直角坐标系中，抛物线经过原点O、，将该抛物线绕点旋转得到抛物线，两抛物线交于B、C两点，抛物线与y轴交于点D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当时，求的面积；
（3）若直线与抛物线交于E、F两点，点E在点F的左侧，记直线的斜率为，直线的斜率为，当为定值时，求m的值．
5．定义：若两个函数图象有交点，则称这两个函数互为“关联函数”．两个函数图象构成的封闭图形（含边界）叫做“关联区域”．例如：函数与，可以通过消去，得到，移项得，因为，所以它们有两个交点，我们认为函数与是互为关联函数，如图1，阴影部分是关联区域．如图2，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点，当线段长度最大时，该距离叫作“最优关联距离”，若此时为整数，则称点为“最优关联点”．
根据以上信息，完成下列问题：
（1）证明：函数与是“关联函数”；
（2）求“关联函数”与的“最优关联距离”；
（3）若“关联函数”与（为整数）恰有三个“最优关联点”，求的值．
6． 如图，抛物线 与 x 轴交于 A， B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC. 点 P 是抛物线在第一象限上的动点，点 O 是线段 BC 上的动点.
（1） 直接写出 A， B， C 三点及抛物线顶点的坐标；
（2） 若 轴，求 PQ 的最大值；
（3） 若直线 l 与抛物线有唯一公共点 P，当直线 时，求点 P 所处位置.
7．如图1，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点，点D是直线下方抛物线上的一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）连接，，求面积的最大值；
（3）如图2，将线段绕点D逆时针旋转得到线段，若点F在直线上，求点D的坐标．
8．在同一平面直角坐标系中，已知轴上有两点和，过这两点分别作垂线与某函数图象分别交于点和点，当有最小值时，此时和称为该函数的“虫洞”，的最小值称为该函数的“虫洞距离”．
（1）如图1为正比例函数的图象，和是其“虫洞”．请你直接写出正比例函数当时的“虫洞距离”为_____；
（2）如图2是函数的图象，和是其“虫洞”，
①求函数的“虫洞距离”；
②如图3，函数和函数位于同一个平面直角坐标系，若两个函数的“虫洞距离”相等，求的值．
9．消防员在一款软件中进行模拟灭火．如图，为2米高的围墙，围墙内有一坡度为的斜坡，水流路线为抛物线的一部分，点为消防车出水口，出水口距离地面2米，距离围墙5米，建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线的解析式为（为常数）．
（1）若水流恰好经过围墙的顶端，求抛物线的解析式；
（2）在（1）的条件下，求斜坡上水流点到围墙的距离；
（3）着火点位于斜坡上，且点到点，的距离相等，设抛物线与轴交于点．
①若消防车向围墙前进了2米，水流刚好到达着火点，求的长；
②若消防车喷水的最大高度为米，为了保证灭火效果，喷水点需要到达上方4米的点，直接写出的最小值，并直接写出此时消防车向前移动的距离．
10．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．
（1）请直接写出点A，C，D的坐标；
（2）如图①，在x轴上找一点E，使得的周长最小，求点E的坐标；
（3）如图②，P为直线上的动点，过点P作垂直x轴，与抛物线交于H，是否存在点使得直线把分成面积比为的两部分，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
11．问题情境：如题1图，矩形MNKL是学校花园的示意图，其中一个花坛的轮廓可近似看成由抛物线的一部分与线段AB组成的封闭图形，点A，B在矩形的边MN上.现要对该花坛内种植区域进行划分，以种植不同花卉，学校面向全体同学征集设计方案.
方案设计：如题2图，AB=8米，AB的垂直平分线与抛物线交于点P，与AB交于点O，点P是抛物线的顶点，且PO=16米.玥玥同学设计的方案如下：
第一步：在线段OP上确定点C，使∠ACB=90°，用篱笆沿线段AC，BC分隔出△ABC区域，种植串串红；
第二步：在线段CP上取点F（不与C，P重合），过点F作AB的平行线，交抛物线于点D，E.用篱笆沿DE，CF将线段AC，BC与抛物线围成的区域分隔成三部分，分别种不同花色的月季.
方案实施：学校采用了玥玥的方案，在完成第一步△ABC区域的分隔后，发现仅剩9米篱笆材料.若要在第二步分隔中恰好用完9米材料，需确定DE与CF的长.为此，如题22-3图建立平面直角坐标系.解决问题：
（1）求抛物线的函数表达式.
（2）当9米材料恰好用完时，分别求DE与CF的长.
（3）种植区域分隔完成后，玥玥又想用灯带对该花坛进行装饰，计划将灯带围成一个矩形.她尝试借助图2设计矩形四个顶点的位置，其中两个顶点在抛物线上，另外两个顶点分别在线段AC，BC上.求符合设计要求的矩形周长的最大值.
12．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点．
（1）求此二次函数的解析式．
（2）当时，求二次函数的最大值和最小值．
（3）点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合．
①当线段的长度随的增大而减小时，的取值范围为________．
②当，线段与二次函数（）的图象有1个交点时，直接写出的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】（1）因为（t为常数）
所以对称轴为：直线x=2.
（2）①把（0，-16）代入得，
解得：t=2或8.
②由①得：t=2或8，
顶点为（2，-18），
当t=2时，-3≤m≤2≤n，
因为抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间，且m≤2≤n，
所以下方的平行线不能在顶点（2，-18）上方，
因为直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，
所以下方的直线l1经过顶点（2，-18），此时l2与抛物线两交点的横坐标分别为m和n，所以m=-1，n=5，两交点为（-1，-13.5），（5，-13.5），此时，l2与直线y=-13.5，所以d=-13.5-（-18）=4.5；
当t=8时，3≤m≤8≤n，
因为抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线l1，l2之间，且3≤m≤n，
所以下方的平行线在顶点（2，-18）上方，
因为直线l1，l2之间的距离为d（d为常数）时，n-m的最大值为6，
所以直线l1，l2与对称轴右侧的抛物线交点横坐标分别为m，n且要尽可能靠近对称轴，
所以m=3，n=9，即：直线l1，l2与对称轴右侧的抛物线交点分别为（3，-17.5），（9，6.5），所以d=6.5-（-17.5）=24.
综上所述，d=4.5或24.
2．【答案】（1）；，
（2）①对称轴为；②过定点，
（3）6
3．【答案】（1）解：∵当 时，
∵点F坐标为（2，0)
∴c=1
∴抛物线C1的表达式为
（2）解：不能，理由如下：
∵FG=4，点F坐标为（2，0)
∴G（6，0)
∵点A的坐标为（4.5，0)， AB=1
∴B（5.5，0)
∴将x=5.5代入
∴此时石块沿抛物线C2运动时不能越过障碍物
（3）解：正方形MNPQ，
∴如图所示，
∵抛物线开口向下
∴a<0
∵|a|越小开口越大，|a|越大开口越小，点F在（3，0)和（4，0)之间（包括这两点)
∴由图象可得，当抛物线顶点为点 M，且经过点（4，0)时，开口最大，此时a最大
∴设C1的表达式为
将（4，0)代入得，
解得
∴由图象可得，当抛物线顶点为点 P，且经过点（3，0)时，开口最小，此时a最小
∴设C1的表达式为
将（3，0)代入得，
解得
∴a的取值范围为
4．【答案】（1）解：∵抛物线经过原点O、，∴，
∴，
∴抛物线的表达式
（2）解：
∵抛物线的表达式，∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线绕点旋转得到抛物线，
∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
联立，解得或，
∴，
∵，
∴点M为中点，
∴
（3）解：∵抛物线绕点旋转得到抛物线，抛物线的顶点坐标为，∴抛物线的顶点坐标为，且二次项系数为，
∴抛物线的解析式为，
∴，
设，
联立得，
∴；
设直线解析式为，直线解析式为，
∴，
解得，
同理可得，
∴
，
∵是一个定值，
∴，即
5．【答案】（1）证明：由题意得，，
则，
整理得，
，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∴这两个函数图象有2个交点，
∴函数与是“关联函数”
（2）解：如图，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点，
由题意得，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值为，
∴“关联函数”与的“最优关联距离”为
（3）解：如图，过关联区域内一点作轴平行线，分别交函数图象于两点，
由题意得，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，
当时，；
，
∴
∵“关联函数”与恰有三个“最优关联点”，
∴有三个整数值，即为，
∴，
解得，
∴若“关联函数”与（为整数）恰有三个“最优关联点”，则
6．【答案】（1），，
（2）解：设直线BC的解析式为，代入B(3，0)，C(0，3)，
，
解得：，
∴直线BC的解析式为.
设，
轴，
，
，
的最大值为.
（3）解：直线，
设直线l的解析式为，
联立，
消去y得，，
直线l与抛物线有唯一公共点P，
，
解得：，
直线l的解析式为，
联立，
解得：，
的纵坐标为，
的坐标为.
7．【答案】（1）解：将，，代入，
得，
解得 ，
∴二次函数解析式为；
（2）解：如图，连接OD，
设点，
∴，
∵
∴当时，面积最大，最大值为8；
（3）解：过点D作轴于H，过点F作，交HD延长线于点G，
由旋转得，，
∴，
∵，轴，
∴，
∴，
∴，
∴ ，
∴，，
设点D的坐标为，
则，，
∴，，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入得，
得，
解得，
∴直线的解析式为，
∵点F在直线上，
∴，
解得，（不合题意，舍去），
∴点D的坐标为．
8．【答案】（1）2
（2）解：①∵和，
∴，，
∴
，
当时，的最小值为，
∴函数的“虫洞距离”为；
②当时，，，，，
∵，
∴当时，取到最小值为，
∵开口向上，对称轴为直线，
∴时，取最小值为，
∴此时两个函数的“虫洞距离”不能相等；
当时，，，，，
，且对称轴为直线，
时，取最小值为，
∴此时两个函数的“虫洞距离”不能相等；
当时，，，
∵两个函数的“虫洞距离”相等，
∴，
解得：或．
∴或．
9．【答案】（1）解：由题意得点，
将代入中，
，
，
抛物线的解析式为；
（2）解： 如图，过点作轴的垂线，垂足为，
，
设点的坐标为，设直线的解析式为，
，
，
直线的解析式为，
令，解得（舍去），
，
点到围墙的距离为：米；
（3）解：①连接，过点作，垂足为，
，
，，
，
，
，
，
点，
设消防车出水口为，抛物线解析式为，
此时点在上，
，
解得，
，
，
，
米；
②的最小值为5，消防车向前移动的距离为米
10．【答案】（1）解：A，C，D的坐标分别为：，，.
（2）解：如图，
作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点E，此时的周长最小，
∵，
∴，
设直线的解析式为，则有，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得，
∴当的周长最小时，点E坐标为.
（3）解：设直线的解析式为，则有，解得，
∴直线的解析式为，
∵点P为直线上的动点，点H在抛物线上，
∴设点P坐标为，
∵轴，
∴设点H坐标为，
如图，
设直线与交于点M，将代入得，
∴，，
①当时：
则，即，
整理得：，解得，，
∵时，点P与点A重合，故舍去，
∴点P坐标为；
②当时：则，即，
整理得：，解得，，
∵时，点P与点A重合，故舍去，
∴点P坐标为，
综上所述，点P坐标为或．
11．【答案】（1）解：∵OP所在直线是AB的垂直平分线，且AB=8，
∴点B的坐标为（4，0），
∵OP=16，
∴点P的坐标为（0，16），
∵点P是抛物线的顶点，
∴设抛物线的函数表达式为
∵点B（4，0）在抛物线上，
∴16a+16=0，
解得：a=-1.
∴抛物线的函数表达式为
（2）解：由点D，E在抛物线上，不妨设点E的坐标为
∵DE∥AB，交y轴于点F，
∴DE=2m.
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，OA=OB，
根据题息，得DE+CF=9，
解得：（不符合题意，舍去），
∴m=3.
答：DE的长为6米，CF的长为3米.
（3）解：如图矩形灯带为GHML，
根据题意，得A（-4，0），B（4，0），C（0，4），
设直线AC和BC的表达式分别为：y=kx+4，y=px+4，
故-4k+4=0，4p+4=0，
解得k=1，p=-1，
故直线AC和BC的表达式分别为：y=x+4，y=-x+4，
设点
则矩形周长
根据抛物线的性质，得抛物线的最大值为
故矩形周长的最大值为米
12．【答案】（1）解：将点，点代入
得
解得
此二次函数的解析式为．
（2）解：，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为(-1，4)，
当时，取最小值为．
，
当时，取最大值．
（3）解：①
②或
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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