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2026年中考数学重点专题专练：三角形与四边形-江苏适用
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，，点C在直线上，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，已知中，，，，的垂直平分线分别交，于，，连接，则的长为（　　）．
A． B． C． D．
3．如图，是的平分线，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，连接，过点作于点．若，则的长为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，的三个顶点都在一圆上，将绕A点顺时针方向旋转，得到，B，C的对应点分别为点和点，且恰也落在此圆上，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作，使（如图）．以O为圆心，的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，平行四边形的边上有一动点E，连接，以为边作平行四边形，且边过点D．若，，，，则平行四边形的面积为（ ）

A． B． C． D．
8．如图1，在矩形中，，点P从点A出发，沿的路径匀速移动，设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y与x之间的关系图象．当时，x的值为（ ）
A．16 B．4或16 C．4或 D．20
9．如图，在中，，，将线段沿方向向右平移，得到（点D的对应点为E，点C的对应点为F），连接，再将沿折叠，使点B落在平面内的点G处．当时，线段的长度为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
10．如图，正方形中，点为中心，连接，，分别以，为圆心，以的长为半径，在正方形内部作弧，两弧交于点，连接，，分别交，于点，，若，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图所示，在中，，、分别是、的中点，，，则______．
12．如图，直线l同侧有两点A，B，在直线l上找一点P，使得的值最小．若点A到直线l的距离是4，点B到直线l的距离是2，A，B在直线l上的正投影间距为5，则的最小值为______．
13．如图，在矩形中，，，E为的中点，连接，过点A作，与延长线交于点F．
（1）的值为________．
（2）已知边上有一点G，连接．若平分，则的长度为________．
14．如图，是的直径，正方形的边与相切于点E，是的弦，且与相交于点G，若，则______．
15．如图，在矩形中，，，垂直平分，交于点，点，在对角线上．当时，四边形的周长为____．
16．如图，正方形中，，点在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连结、．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论是___________．
三、解答题
17．如图，在中，，，，点是线段上一点，作点关于的对称点，连接，．
(1)当点落在上时，求的长；
(2)当点落在内部时，求的取值范围；
(3)当平行于的一边时，求线段的长度；
(4)当时，直接写出的值．
18．如图，在中，点，分别是，的中点，过点作，垂足为，点在的延长线上，．
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，，求矩形的面积．
19．如图1，在正方形中，平分，交于点F，过点C作，交的延长线于点G，交的延长线于点E．
(1)求证：；
(2)如图2，连接、，求证：平分；
(3)如图3，连接交于点M，求的值．
20．一副三角板如图1摆放，，，，点F在上，点A在上，且平分，现将三角板绕点F顺时针旋转（当点D落在射线上时停止旋转）．
(1)当___时，；当____时，；当____时，；
(2)在旋转过程中，与的交点记为P，如图2，若有两个内角相等，求的度数；
(3)当边与边分别交于点M、N时，如图3，若，比较与的大小，并说明理由．
21．如图，在和中，与交于点，，．
(1)求证：．
(2)如图，将图中的“改成，并分别延长交于点，若，求的度数．
(3)如图，是等边三角形， ，在平面内将线段绕点按顺时针方向旋转得到线段，连接，是的中点，连接．若，，求的长．
22．综合探究应用：
(1)如图1，在四边形中，若分别是边上的点，，求的长；
(2)如图2，在中，与点D，分别是边上的点， ，Q，P分别是上的点，求的长；
(3)在矩形中， ，将矩形绕B逆时针旋转得到矩形，连接M，N分别是边上的点，，请直接写出的最大值．
《2026年中考数学重点专题专练：三角形与四边形-江苏适用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B D C B C B D A
1．B
【分析】根据平行线的性质得到，由三角形内角和定理得到，再利用等腰三角形的性质得到，从而求出的度数．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
．
2．A
【分析】设，由垂直平分线的性质可得，由勾股定理的逆定理可判断出．在直角中，利用勾股定理构造方程，并解出的值即可．
【详解】解：设，
∵，，，
∴，
∴是以为斜边的直角三角形，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
在直角中，，
∴，
解得，
∴．
3．B
【分析】过点作于点，由角平分线的性质得，由线段垂直平分线的性质得，由勾股定理得，即得，再根据勾股定理计算即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，
∵平分，于点，
∴，
由题意可知，是的垂直平分线，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴，
∴．
4．D
【分析】连接，由旋转的性质可得，由圆内接四边形的性质可得，再由等边对等角得出，最后由三角形内角和定理计算即可得出结果．
【详解】解：如图，连接，
，
由旋转的性质可得，
∵，
∴，
∴，
∴．
5．C
【分析】勾股定理求出的长即可得出结果.
【详解】解：由题意，，，
∴，
∴点P所表示的数.
6．B
【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
7．C
【分析】连接，过点D作于点H．先根据平行四边形的性质得到．利用锐角三角函数求得，然后根据平行四边形的面积公式求得即可．
【详解】如图，连接，过点D作于点H．
，
．
在中，，，
∴．
，
．
8．B
【分析】本题主要考查从图像中获取信息和解方程组，由图像可知三角形的最大面积为24，此时点P位于边BC，当点P与点C重合时x为14，设和，即可列出，结合已知即可化简得到，解得a和b，进一步分点P位于上和点P位于上时，利用三角形面积公式求解即可．
【详解】解：设，，
由图像知，，
化简得，
解得，
∵，
∴，
则，
当点P位于上时，，
解得，则；
当点P位于上时，，
解得，
则；
9．D
【分析】先说明四边形为平行四边形，再由翻折可得，进而得到，再解直角三角形即可．
【详解】在中，，，
，
四边形为平行四边形，
，
，
又沿折叠，点B落在平面内的点G处，
，
四边形为矩形，
，
又，
，
，
．
10．A
【分析】连接，连接并延长交于点，则，利用正方形和等边三角形的性质，可以求出的长，再利用平行线分线段成比例求出，进而求出四边形的面积，就可以求出阴影的面积．
【详解】解：如图，连接，，连接并延长交于点，由等边三角形和正方形的轴对称性得，，
∴，
由尺规作图可知，
，
∵四边形是正方形，点是其中心，
∴，，，，
∴，，，
，
，
，
∴，
，即，
，
同理：，
∴，
∵，
，，
∴，
∵，
∴，
，
．
11．
【分析】此题主要考查了三角形中位线定理，勾股定理，关键是熟练掌握三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．首先根据三角形中位线定理可得，再由可得到的长，然后在中利用勾股定理可以算出的长．
【详解】解：、分别是边、的中点，
，
，
，
在中，，，
．
故答案为：．
12．
【分析】作A关于l的对称点，连接，，，过作于E，根据轴对称的性质可得出过点C，，，证明四边形是矩形，得出，，在中，根据勾股定理求出，根据，则当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为，即可求解．
【详解】解：由题意，得，，，，，
作A关于l的对称点，连接，，，过作于E，
则过点C，，四边形是矩形，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当、P、B三点共线时，取最小值，最小值为，
即的最小值为．
13． 3
【分析】（1）证明即可解答；
（2）过点G作于点H，证明，再推出，可得，解得即可解答．
【详解】（1）四边形为矩形，
，
，
，
，即，
，
，
，
E为的中点，
，
；
（2）如图，过点G作于点H．
，
，则，
，，
，
．
，平分，
，
，
，即，
解得，
．
【点睛】根据，作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
14．
8
【分析】如图，连接，设圆的半径为，先分别用含的代数式表示出的长，然后利用勾股定理列方程求解，进而即可得到答案．
【详解】解：如图，连接，设圆的半径为，
∵是的直径，正方形的边与相切于点E，
∴，，，
∴，
∴四边形为矩形，四边形为矩形，，
∵，
∴，
∴，
∴在中，，
∴或，
∵当时，，
∴取，
∴．
15．/
【分析】连接，根据矩形的性质结合勾股定理可求得AC的长，由矩形的性质结合垂直平分线的性质证明，从而可得，进而证明四边形是菱形，设，则，依据勾股定理依次求得，，的长，最后根据菱形的性质求解周长即可．
【详解】解：如图，连接，
在矩形中，，，，
，
垂直平分，交于点，
，，
，
，即，
四边形是矩形，
，
，
，，，
，
，
，，，
四边形是菱形，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
，解得，
即，
，
．
四边形的周长为．
16．①②③
【分析】由翻折的性质可得，，，由“”证明，得出①正确；由全等三角形对应边相等可得，设，得出、，由勾股定理列出方程求出，得出，得出②正确；由等边对等角可得，由全等三角形对应角相等可得，由三角形的外角性质得出，得出，即可证明，得出③正确；证明，求出，最后利用，得出④错误．
【详解】解：正方形中， ，
，，
，
，
对折可得： ，， ，
①在与中，
∵，，，
∴，①正确．
②可得：，，
设，则，，
在中，有，
， ，，
可得：，
解得：，
∴， 结论②正确．
③∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∴， 结论③正确．
④过作，
，
，
，
，
，，
，
，
，
结论④错误，
综上可知，正确结论是①②③．
17．(1)
(2)
(3)或
(4)或
【分析】（1）利用轴对称得，由等面积法求，再用勾股定理求．
（2）先求落在上时的：由轴对称得平分，作、得，面积法求，由求，进而得；结合在上的，确定范围．
（3）①：设，证，用相似表示线段，在中由勾股定理列方程求解．②：延长交于，交于，证，得，求；证得，结合面积法求，得．
（4）分两种情况：①在左侧，交于，证，由面积关系得，进而得，求．②在右侧，证，得，进而得，结合（3）得结果．
【详解】（1）解：当点落在上时，如图，
在中，，，，
∴，
∵、关于对称，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：当在上时：
∵、关于对称，
∴，平分，
作于，于，
∴，
设，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∴；
由（）得，当点在上时，，
∴在内部时，；
（3）解：①时，
设，则 ，令交于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
由折叠得，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴或（舍去），
∴．
②当时
延长交于，令交于，
∵，，
∴，
由折叠得，，，
∵，
∴（），
∴ ，
∴，，
∵，
∴，
在中，
∴，
∵，，，
∴，
∵，
∴,
∴
解得，
∴，
综上，或；
（4）解：情形一：在左侧时，令交于，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
，
过作于，于，
∵、关于对称，
∴平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
情形二：当在右侧时，
∵，
∴，
∴，
由折叠得，
∴，
∴，
由（）知，
综上：或．
【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边中线性质、三角形面积法．熟练掌握轴对称性质、分类讨论思想、面积法转化线段比以及勾股定理构造方程是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由题意易得，然后可得四边形是平行四边形，进而根据矩形的判定定理可进行求证；
（2）由（1）可得，，设，则，然后根据勾股定理可得x的值，进而可得，最后问题可求解．
【详解】（1）证明：，分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，，
，
设，则，
在中，由勾股定理可得，，即，
解得：，
，是的中位线，
，
，
．
19．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先运用以及正方形的性质，证明，再运用正方形的性质，推导出，最后通过证明，证得；
（2）先运用正方形的性质以及平分，求得，再在中，运用三角形内角和定理证得，从而得到，运用“三线合一”定理，证得，结合“斜中半”定理，证得，最后运用正方形的性质，推导出，从而证得平分；
（3）先证，再证，从而可得．
【详解】（1）证明：∵过点C作，交的延长线于点G，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
在中，
∵，，
∴，
同理，在中，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴．
∵四边形是正方形，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴；
（2）证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∵平分，
∴，
由（1）可知，，
即，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴．
∵在正方形中，，
∴，
∴，
∴，
∴平分；
（3）解：如图，连接，
由（2）可知，，，
∴，
由（2）可知，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
即，
∵四边形是正方形，
∴，
∵在和中，
，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵正方形中，，，
∴，
∴．
20．(1)15；60；30
(2)或或
(3)，理由见解析
【分析】（1）分别画出对应的图形，根据角平分线以及三角形的内角和定理，再结合平行线的判定求解即可；
（2）分三种情况讨论，①；②当；③，然后结合三角形的内角和定理求解即可；
（3）由三角形的外角性质可得，，即，那么，故，再由等量代换即可求解．
【详解】（1）解：①时，，
如图：
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
②时，；
由①知，
∴当时，，
∵
∴
∴
∴；
③当时，，如图：
∵
∴此时
∴；
（2）解：①当时，
由（1）可得：，
∴，
∴即；

②当时，
∵，
∴；

③当时，
∴，
综上所述，的度数为或或；
（3）解：．
理由：如图6所示：
∵是的一个外角，
∴，
∵，
∴，
是的一个外角，
∴，
即，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
21．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（）利用“”即可求证；
（）在上取一点，使得，连接，由得，，即得，得到，进而得到，即得，即可求解；
（）延长至点，使得，连接，过点作于，于，可证，得到，即得，得到，又由旋转得，即得，即可得是等边三角形，再证明，得，，可得是的平分线，得到，由得，又由直角三角形的性质得，得到，即可得到，最后根据三角形中位线的性质解答即可求解．
【详解】（1）证明：在和中，
∵，
∴；
（2）解：如图，在上取一点，使得，连接，
在和中，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，延长至点，使得，连接，过点作于，于，
∵是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
由旋转得，，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴
22．(1)
(2)11
(3)的最大值为
【分析】（1）过点C作交的延长线于点G，连接，推导出，得到，进而推导出，是的中位线，则，即可解答；
（2）连接，过点F作交的延长线于点G，连接，过点G作于点H，推导出，得到，则，进而推导出，得到，证明，得到，求出，设，则，在中，根据三角函数求出，则，在中，由勾股定理，得，求出，继而求出，则，即可解答；
（3）连接交于点O，连接，由勾股定理，求出，推导出 是的中位线，进而得到，当M，O，N三点共线且M，N位于点O的两侧时，最大，最大值为，即可解答．
【详解】（1）解：如图1，过点C作交的延长线于点G，连接．
∴，
∵，
∵，
∴．
∴．
∵， ，
，即，
在中，由勾股定理，得
∵，
∴是的中位线
．
（2）解：如图2，连接，过点F作交的延长线于点G，连接、，过点G作于点H．
∵，
∴．
，
∴在中， ，
，
∴，
，
，
∵，
∴．
，
∵，
，
∵，
∴．
，
，
∴设，则．
，
∴．
，
∴
在中，
，，
，
．
在中，由勾股定理，得
，
解得，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
∴．
（3）解：如图3，连接交于点O，连接．
在矩形中， ，，
，
由旋转的性质可知，，，．
∵
∴M是的中点．
是的中位线．
，
，，
，
，
∴，
即，
如图4，当M，O，N三点共线且M，N位于点O的两侧时，最大，最大值为．
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