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2026年中考数学重点专题专练：数与式-江苏适用
一、单选题
1．已知函数，则自变量的取值范围是（ ）
A．且 B．且 C． D．
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．年，我省上下深入贯彻落实习近平总书记对辽宁的重要讲话和重要指示批示精神，按照省委、省政府工作要求，加快新旧动能转换，全面提升发展能级，全省经济运行总体平稳．根据地区生产总值统一核算结果，前三季度，全省地区生产总值为亿元．将数据亿用科学记数法表示为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在数轴上表示2.4的点可能是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
5．对于任意4个实数，，，定义一种新的运算：．例如：．则关于的方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定
6．按一定规律排列的代数式：，，，，…，第个代数式是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知等腰中，，是延长线上一点，作（、在直线的同侧），使得，则当逐渐增大时，的面积大小变化情况是（ ）
A．一直变大 B．一直变小 C．先变小再变大 D．保持不变
8．将三张边长各不相同的正方形纸片①，②，③按如图方式放入矩形内（纸片①与②、纸片①与③均有部分重叠），且满足，未被三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．设正方形纸片①，②，③的边长分别为a，b，c（其中）．若要求出上下两个阴影部分周长的差，则只要知道下列哪个代数式的值（ ）
A． B． C． D．
9．定义新运算：，则不等式组的最小整数解为（ ）
A． B． C． D．
10．任取一个非零整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数．就将该数除以2，这叫把该数进行1次运算．在平面直角坐标系中，将点(其中x与y均为非零整数）中的分别按上述运算得到新点的横、纵坐标．例如：点经过1次运算得到点，经过2次运算得到点；以此类推．若点（其中均为非零整数）经过10次运算后得到点，则点不可能是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．两千多年前，中国人就开始使用负数．某班期末考试数学的平均成绩是82分，小亮得了90分，记作分，小英的成绩记作分，她得了_________分．
12．分解因式： ______．
13．计算：的结果是______．
14．使等式成立的实数的取值范围是，则关于的一元一次方程的解为______．
15．将三张大小一样的正方形纸片按如图所示的方式重叠地放置在长方形内部，．将中间的正方形纸片上下平移时，阴影部分的面积和不变．设，则每个正方形纸片的周长为_____（用含m的式子表示）．
16．对于个连续正整数，任取其中两个数，形如和记为同一种取法．若“所取的两数之和大于”的不同取法为，如当，共有两种不同取法，则．
（1）当___________；
（2）对于正整数和，当时，___________．
三、解答题
17．计算和化简
(1)；
(2)．
18．完成下列各题：
(1)求不等式组 的解集；
(2)先化简，再求值：，其中 ．
19．按照要求解答：
(1)如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______．
(2)类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式．
(3)结合上述经验，将因式分解的结果是______．
20．计算：．
21．
背景 校体艺文化周期间，小艾所在的班级也开展各种竞赛活动，需要去商店购买A、B两种款式的运动徽章作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，若买15枚A款徽章、10枚B款徽章，共需230元；若买25枚A款徽章、25枚B款徽章，共需450元．
素材2 该商店搞促销活动：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的八折出售（已知小艾在此之前不是该商店的会员）；线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的九折出售且包邮．
问题解决：
(1)某商店在无促销活动时，求A款徽章和B款徽章的销售单价各是多少元？
(2)小艾计划在促销期间购买A、B两款徽章共40枚，其中A款徽章t枚（），若在线下商店购买，共需要______元；若在线上淘宝店购买，共需要______元．（均用含t的代数式表示）
(3)请你帮小艾算一算，在（2）的条件下，两种购买方式只能选一种，请问选择哪种购买方式更合算？
22．某市快递收费标准因快递公司、包裹重量、目的地（省内/省外）和是否轻抛件（体积较大而重量较轻）而异，以下是2026年快递公司收费规则：
快递公司 省内 省外
首重（） 续重 首重（） 续重
顺丰 12元 2元/kg 22元 8元/kg
德邦 11元 3元/kg 11元 10元/kg
轻抛件计费规则：取实际重量和体积重的较大值进行计费，其中体积重体积．
例如：用顺丰寄往省内的轻抛件实际重量，体积为，其体积重，由于，则按收费共需支付元．
某商家需采购省内外的乒乓球（轻泡件）和乒乓球拍（非轻泡件），由于厂家不同，乒乓球与球拍需分开计算快递费用，其3月进货量如下：
种类 省内 省外
重量/kg 体积/ 重量/kg 体积/
乒乓球 2 24000 0.5 6000
乒乓球拍 15 / 10 /
(1)若该商家3月与顺丰合作，请计算3月的快递费用共需多少钱？
(2)因乒乓球热销，该商家计划于5月再采购一批乒乓球，由于仓库容量有限，暂拟采购，省内外均有订货，且全部发轻泡件并按体积重计费，预计用顺丰比德邦便宜50元，问该商家省内与省外的体积重分别是多少kg？
《2026年中考数学重点专题专练：数与式-江苏适用》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C D C A D B D B
1．D
【详解】解：，
解得．
2．D
【分析】根据积的乘方、单项式乘法、完全平方公式、单项式除法的法则，逐一计算判断即可得到正确结果．
【详解】解：A、，计算错误；
B、，计算错误；
C、，计算错误；
D、，等式成立，计算正确．
3．C
【详解】解：亿．
4．D
【分析】先确定2.4所在的区间范围，再匹配数轴上对应的点即可．
【详解】解：由数轴可知表示2.4的点应在数轴上2和3之间的位置．
所以，在数轴上表示2.4的点是点．
5．C
【分析】先根据新运算规则整理出关于x的一元二次方程，再利用根的判别式判断方程根的情况．
【详解】解：根据新运算定义可得：，
整理方程得，
∴，
∵对任意实数，都有，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根．
6．A
【分析】本题考查代数式的规律探索，分别拆分分子、分母找对应规律即可求解．
【详解】解：根据题意得：
第1个代数式为，
第2个代数式为，
第3个代数式为，
第4个代数式为，
依此类推，第个代数式为：．
7．D
【分析】设，，根据计算即可解答．
【详解】解：∵是等腰直角三角形，
∴设，
则，
设，则，
，
∴
，
∴的面积大小不变．
8．B
【分析】由题意易得上方阴影部分的周长为，下方阴影部分的周长为，然后可得，，进而问题可求解．
【详解】解：如图，由题意得，上方阴影部分的周长为，
下方阴影部分的周长为，
∵四边形为矩形，，
∴，，
∴上下两个阴影部分的周长的差为．
9．D
【分析】先根据新定义的运算规则，将新运算转化为常规一元一次不等式组，再分别解不等式得到不等式组的解集，最后找出解集中的最小整数即可．
【详解】解：定义新运算，
原不等式组可转化为：，
整理得，
解不等式，
，
解不等式，
，
；
不等式组的解集为，
解集中的最小整数解为．
10．B
【分析】本题根据给定运算规则，先验证得所有选项横坐标都符合要求，只需计算各选项纵坐标经过10次运算的结果，利用周期规律简化推导即可得到答案．
【详解】四个选项横坐标均为，为偶数，每次运算都除以2，经过10次运算后得，符合要求，只需验证纵坐标：
A． 纵坐标
∵是奇数，第1次运算得，第2次运算得，运算周期为2，
∴10次（偶数）运算后结果仍为，符合要求．
B． 纵坐标
∵第1次运算得，第2次运算得，运算周期为2，偶数次运算结果为.
∴10次运算后结果为，不符合要求．
C． 纵坐标
∵是偶数，连续10次除以2得.
∴10次运算后结果为，符合要求．
D． 纵坐标
∵前8次连续除以2得，剩余2次运算，由A的推导可知经过2次运算结果为.
∴10次运算后结果为，符合要求．
综上，点不可能是B选项．
故选：B.
11．79
【分析】根据正负数的含义确定计算方式，再计算即可．
【详解】解：由题意得，平均成绩为82分，超过平均成绩记为正，低于平均成绩记为负，因此小英的实际成绩为分．
12．
【分析】先提取多项式的公因式，再利用完全平方公式进行二次分解，即可得到结果．
【详解】解：．
13．
【分析】先拆分指数，逆用积的乘方法则，再结合平方差公式化简计算，即可得到结果．
【详解】解：
，
∴的结果是．
14．
【分析】先根据二次根式的性质，得出的值，再根据一元一次方程的定义，得出的值，最后代入方程，再解方程即可．
【详解】解：根据二次根式的性质，要使等式成立，需满足且，
即且．
又的取值范围是，
．
是关于的一元一次方程，
，
解得，，
将，代入方程得，，
解得，，
关于的一元一次方程的解为．
15．
/
【分析】本题考查了平移的性质、正方形和矩形的性质以及周长计算，解题的关键是利用阴影部分面积不变得出线段相等关系，进而推导出正方形的边长．
根据中间正方形上下平移时阴影部分面积不变，得出对应线段相等；利用矩形边长关系确定正方形边长为；根据正方形周长公式，边长乘以，计算出周长为．
【详解】解：如图．
∵中间的正方形纸片上下平移时，阴影部分的面积和不变，
∴，
由正方形及矩形性质可得：
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
即正方形的边长为．
则每个正方形的纸片的周长为．
16． 6 10
【分析】（1）根据定义，列出时，所有的不同取法，即可得到k的值；
（2）分两种情况：当为偶数和为奇数，分别探究出对应的k的规律，然后代入，解得n值即可．
【详解】解：（1）当时，这两个数分别是：，共6种
．
（2）由题意可知，当时，有，则；
当时，有，则；
当时，有，则；
当时，则；
当时，有，则；
∴当为偶数时，所有取法；当为奇数时，所有取法，
当时，若为偶数，则，整理得，解得（负值已舍去）；
若为奇数，则，解得为无理数，舍去，
故．
17．(1)
(2)
【分析】（）先进行乘方、除法和开方运算，再进行加减运算即可；
（）先进行减法运算，再进行除法运算即可；
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．(1)
(2)，
【分析】（1）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；
（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，然后代值计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴不等式组的解集为：；
（2）解：
，
∵
∴原式．
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）通过两种方法计算同一阴影面积，验证平方差公式；
（2）通过两种方法计算同一几何体体积，推导并证明立方差公式；
（3）拆项构造立方差公式，结合提公因式、完全平方公式进行因式分解．
【详解】（1）解：据图可知，对于阴影部分的面积，
方法：；
方法：，
故．
（2）解：据图可知，对于图中几何体的体积，
方法：；
方法：，
故，
证明：
，
左边，
左边右边．
（3）解：
．
20．
【分析】根据绝对值的性质、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可．
【详解】解：原式
．
21．(1)A款徽章和B款徽章的销售单价分别是10元、8元
(2)，
(3)当购买A款徽章的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算；当购买A款徽章的数量少于15个，线上购买方式更合算；当购买A款徽章的数量为15个时，线上、线下购买方式一样合算
【分析】（1）设A款徽章和B款徽章的销售单价分别是x元、y元，根据买15枚A款徽章、10枚B款徽章，共需230元；买25枚A款徽章、25枚B款徽章，共需450元，列出方程组，即可求解；
（2）根据线下商店购买和线上购买的优惠方法列代数式即可；
（3）再根据两种购买方式所需费用，列出不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设A款徽章和B款徽章的销售单价分别是x元、y元，
由题意，得，
解得，
答：A款徽章和B款徽章的销售单价分别是10元、8元；
（2）解：当小艾在线下商店购买时，需要：元；
当小艾采用线上购买时，需要：元；
（3）解：当选线下时，，解得；
又∵，
∴；
当选线上时：，解得，
又∵，
∴；
答：当购买A款徽章的数量超过15个且少于40个时，线下购买方式更合算；当购买A款徽章的数量少于15个，线上购买方式更合算；当购买A款徽章的数量为15个时，线上、线下购买方式一样合算．
22．(1)3月的快递费用共需174元
(2)该商家省内体积重是，省外体积重是
【分析】本题考查有理数混合运算与二元一次方程组的实际应用.
（1）先根据轻抛件计费规则确定各包裹的计费重量，再结合顺丰的收费标准分别计算各部分费用，求和得到总费用；
（2）设省内和省外的体积重分别为未知数，根据总体积和费用差列出二元一次方程组，求解即可得到结果．
【详解】（1）解：计算省内乒乓球费用：体积重，，按计费，费用（元）；
计算省外乒乓球费用：体积重，，按计费，费用（元）；
计算省内乒乓球拍费用：非轻抛件按计费，费用（元）；
计算省外乒乓球拍费用：非轻抛件按计费，费用（元）；
总费用（元）；
答：3月的快递费用共需174元；
（2）解：，
设该商家省内体积重为，省外体积重为，
由体积重公式可得总体积满足，
整理得，
计算顺丰总费用：，
计算德邦总费用：，
由顺丰比德邦便宜50元，可得，
整理得，
联立方程组得
解得，
答：该商家省内体积重是，省外体积重是．
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