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6.1 平行四边形的性质
第六章 平行四边形
第2课时 平行四边形对角线的性质
一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地，由于年迈体弱，他决定把这块土地分给他的四个孩子，他是这样分的：
当四个孩子看到时，争论不休，都认为自己分的地少，同学们，你认为老人这样分合理吗 为什么
上节课我们研究了平行四边形的边和角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢
A
B
C
D
O
边：
角：
平行四边形的性质
对边相等且平行.
对角相等，邻角互补.
A
B
C
D
O
如图，在□ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O.
OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系
猜一猜
OA = OC，OB = OD
1
平行四边形的对角线的性质
这个结论正确吗？证明看看！
度量法
A
B
C
D
O
5.5 cm
5.5 cm
7.5 cm
7.5 cm
剪拼法
A
B
C
D
( C )
( A )
( D )
OA = OC，
OB = OD
OA = OC，
OB = OD
动手操作
O
证一证
已知：如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O. 求证：OA = OC，OB = OD.
证明：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD = BC，AD∥BC.
∴ ∠1=∠2，∠3=∠4.
∴△AOD≌△COB（ASA）.
∴ OA = OC，OB = OD.
A
C
D
B
O
3
2
4
1
A
C
D
B
O
平行四边形的对角线互相平分.
平行四边形的性质
几何语言：
∵□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，
∴ OA = OC，OB = OD.
要点归纳
1. 在 □ ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，OA = 12 cm，OB = 19 cm，则 AC = cm，BD = cm.
B
C
D
A
O
24
38
练一练
例1 已知：如图，□ABCD 的对角线 AC，BD 交于点O. 过点 O 作直线 EF，分别交 AB，CD 于点 E，F.
求证：OE = OF.
A
B
C
D
F
E
O
证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ODE = ∠OBF，
∠DOE = ∠BOF.
∴△DOE≌△BOF(AAS).
∴ DO = OB，AD∥BC.
∴ OE = OF.
总结
你能利用平行四边形的性质判定老人这样分地合理吗
老二
老大
老三
老四
△AOD≌△COB
S1
S2
S3
S4
S1 = S3
△AOB≌△DOC
S2 = S4
△AOB与△AOD
等底同高
S1 = S2
∴ S1 = S2 = S3= S4
E
平行四边形的两条对角线把平行四边形分成 4 个面积相等的小三角形.
如图，□ ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，∠ADB＝90°，OA = 6，OB = 3，求 AD 和 AC 的长.
解：
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ OB = OD = 3，
AC = OA = 12．
∵ ∠ADB＝90°，
∴ 在 Rt△ADO 中，
做一做
【尝试·思考】
还记得小学学过的梯形的 “样子” 吗 画一画，将它与平行四边形比较，并试着给出梯形的定义。
两组对边
分别平行
一组对边平行
一组对边不平行
一组对边平行、另一组对边
不平行的四边形叫作梯形。
如图，平行的两边称为梯形
的底，较短的底通常称为上底，
较长的底通常称为下底。不平行的两边称为梯形的腰，两腰相等的梯形称为等腰梯形.
上底
下底
腰
腰
高
【尝试·交流】
等腰梯形是轴对称图形吗 将等腰梯形纸片折一折，你有哪些发现 与同伴进行交流。
归纳：等腰梯形是轴对称图形，等腰梯形在同一底上的两个角相等。
平行四边形
性质
对角线互相平分
对边相等且平行
边
___________________
角
____________________
对角线
_____________________
对角相等，相邻两角互补
1. 如图，□ ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC + BD = 16，CD = 6，则△ABO 的周长是（ ）
A. 10 B. 14
C. 20 D. 22
B
B
C
D
A
O
2. 下列性质中，平行四边形不一定具备的是（ ）
A. 对边相等 B. 对角相等
C. 对角线互相平分 D. 是轴对称图形
D
3. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，AB = 10，AD = 8，AC⊥BC，求 BC、CD、AC、OA 的长.
8
10
B
C
D
A
O
解：
∴ △ABC 是直角三角形.
又∵ AC⊥BC，
∴ BC = AD = 8，CD = AB = 10.
又∵ OA = OC，
∴
∴
？
？
？
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，

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